장음표시 사용
281쪽
ARenus de figuris planis egimus. Procedendum modo est ad solidoruntinaturam Contemplandam , incipiendo a parallelepipedis , quorum. cognitioreIiquorum uolidorum, quae super ciebus curvis ambiuntur , cognitio ne longe facilior est. Septimunia, octavum, nonum , & decimum Euclidis Libros relinquimus , tum quod eorum notitia parum , immo nihil fere ad uni versae Geometriae assequutionem neeessar. a sit , tum etiam quod hi Libri nullam , nec cum sex prioribus, nec cum undecimo , & duodecimo habeant
Orpus, seu solidum est extensio In Iongum latum , & Profumdum . QVemadmodum autem iunio Libri primi dierum i , caveam ex punctis constare , supers lem vero ex. ς i, hic dicimus , folidum ex superficiebus compo ἔ stuare ut linea sn nitis punsis, superficies in nitis lineis, ita solidam in uitis superficiebus una alteri Iu perpostis consare dicendum es. II.
282쪽
II. Exi diis solidi sent superficies . . iIII. Recta linea plauo alicui perpendicularis est, quum perpendicularis est omnibus lineis, a quibus in
mae pate/ , lineam AB c fig. lo. rab. y. else perpendicularem plauo cDEF , si sit perpendicularis liueis GH, IK , tis , o qaibus tangituν tu poseo. B. IV. Fianam alteri plana perpeudiculare est, quum
rectae lineae, quae in altero planorum ad Communem
utriusque plani seEtionem perpendiculariter ducuntur alteri quoque plano sani parpendiculares.
- Planam igitur EFGH s in. I 3-tab. s. est per pendiculare plano ABCD , s linea IK , quae perpetaricularis est communi sectioni EH, sit etiam pexpendicularis plano ABCD. Communis sectio duorum planorum dicituν liuea , fecundam quam duo plana sese
mutuo tamunt; ut EH. V. Rectae lineae ad planum Melluatio est acutua angulus , qui ab ea fit cum alia linea dii Sia a prioris extremo Planum tangente, Sc occurrente alteri linea ab altero lineae inclinatae extremo ad idem planum operpendiculariter ductae. AouIus igitur ILκ fig. ri. tab. s. qui μ α linea IL, una cum linea KL o currente perpendicularim ductae ab altero extremo I liue e IL, dicitur tu elinatio ejusdem liue e IL ad planum ABCD . VI. Plani ad planum inclisatio . et acutus angulus , qui fit a duabus lineis in iis lem planis ex stentibus, Re ad idem communis sectionis punctum perpondiculariter du his: Planam itaque EFGH sq. t a. rab. q. in imiis tum dioituν com'arate ad planum AACD, si aurus urIKL, qui sit a duabus lineis XJ, RI. concurrentιθας is stu Hum K, commavi femoui EM perpenicula νibus, sit acutus.
VII. Flauum ad plavum similiter inclivatum dici
283쪽
tur, atque alterum ad alterum, quando ambo inclinationum anguli sunt aequales.
Haec de itio clara es, praecedente bene ἰntelle Ha . Hinc colligi potes , illud planum magis esse ait
ri inelivatum , quam Gliud , cujus amulus iuclinationis minor es. VIII. Flava parallela sunt , quae aequalibus ubique intervallis a se cli stant.
IX. Similes ingurae solidae sunt , quae s milibus
planis, & numero aequalibus Com nemur.
X. Similes , ct aequaler Ioiadae riguina sunt, quaes milibus planis, & numero, S magnitudine aequali-
XI. Solidus angulus est plurium planorum in idem punctum inclinatio. Itaque angulus A sfig. I 6. tab. y. qui consituι- rur a rribus piauis B AEC, CAD, DAB in idem paurium A inclinatis , es angatas Molidus . XII. Prisma eli solidum , quod duobus planis smilibus, aequalibus, ct parallelis continetur, reliquis parallelogrammis. Ex hae de itione colligi potest , nomine promo sis Uetiire Ium cubum, tum parallelepipedum , quum titrumque Hua plava habeat smilia , aequalia , er νώ-rallelu , reliqua vero parallelogramma . Siquidem cu bus es solidum sex superficiebus quadratis consanI, mi ABCD sfig. I . lah. s. Parallelepipedum vero es bolidum , quod sex irem pluris parallelogrammis couti netur , quo in opposita sunt inter se parallela , clarequalia a ut ABCD sfig. I s. tab. s. ex quo potet, cu bum omnem se parallelepipedum , non vicissm; quem admodum utrumque pri a vocari potest, e so uou Om' ne prii a parallelepipedum dici possit. Hisma sorro commaniter vocatur, quod duobus planis triangularibus , O parallelis compreB-dim
284쪽
. Ruemadmodum resuN Hi area is plura quadra ta Loidi potes , quibus rectangulum metitur , ut mo-σώimat in de viriouibus Libri II , qastae quadrata , vel erunt pedes quadrati , vel Jexpedae , o c. ita solidum, parallelepipedum rectangulum iu plures cubos dioidi potes , qui vel erunt pedes cubici , vel se e cubi . diuare si longitudo sera parallelepipedi a - fig.. t s. tab. sc ponatur ese * pedum , longitudo vero EC a, pedum , altitudo denique CD 3 pedum , imum in a pedes cubieos dioidetur . Namsi multiplices per 2,. productum 8 dabit basim AC , quae multiplicata per altitudixem 3 dasit solidam et . Idipsum diei potes de cubo p tu quo tumeu , quum longitudo, latitudo, θ' estitudo aequales sui , ex ιrium numerorum aequalium multiplicatione ejus soliditas iu-nores et. Hinc cubus E CNC D fig. I . tab. S. να 64 pedes cubicor divisus intelligituκ , cujus radix cu-hica est linea AB 4 pedum Reliquar Euclidix de uitiones ad sequentem Libram remittimus, ad quem reUera spectant.
REVcta lineae. quae est in plano, G. Produ
catur erit in eodem plano .. Dico, lineam EF Aia i . tab..'quae est in plano ABCD, si producatur in H , in eodem plano
PRAE PAR ΛΤ Ioia Excitetur a puncto F In plano ABCD recta FG perpendicularis rectae EF, & reeta FH perpendiculari rectae FG. D
285쪽
Quoniam uterque angulus GFE , GFH rectus est per conser. duae rectar FH , FE erunt in directum constitutae per I4. t. , ct quoniam utraque est in plano ABCD per constr. sequitur, lineam EF ir , directum productam, seu totam EH ella in eodem plano ; quo t erat Oseudeudum.
O Mne triangulum in uno est plano Et
duae rectae sese mutuo secantes sunt in
eodem pliano Dico, omnia latera trianguli AEC c M. I . eas's esse in eodein plano; quod sane evidens est ; triangulum enim rectilineum nihil aliud est, quam planum triangulare. Ex quo patet etiam secunda pars propositionis, si enim duo latera AE, CE producantur in B, ' D, erunt in eodem plano i per i. quod erat osendendum. ' l '
SI duo plana sese mutuo secent, eorum com,
Mani sustum est c,mmunem se' mem duorum pi in rii ri AR D FFGH t. ta6.Wὶ esse rectam lineam FH. Νῖ enim per dura princta E, H in commu ni sectione duorum planorum sumta duae rectae lineae
286쪽
2s ducantur, hae s muI conVenient; siquidem duae rectae
spatium concludere nequeunt , atque adeo unicam rectam EH constituent, quae quum utrique plano proposito communis sit . eorum communis sectio erit;
diuod ostendendum susceperamus.
THEO REMA IV. SI reeta linea duabus rectis sese mutuo intersecantibul ad rectos angulos insistat etiam earum Plano ad Perpendiculum insistet.
Dico, rectam AB M. LO. tab. s. j quae est perpendicularis duabus rectis GH, IK sese intersecantihus in puncto B, etiam earum plano CDEF esse perpendicularem , Proindeque etiam lineae LM .PRAER ARATIO.
secentur bifariam duae rectae GH , IK , ita ut BG,
BH , BI, ΒΚ sint aequales , iunganturque reciae ΙG, HK. Ducantur etiam a puncto A ad singula puncta Ι, L,
Quoniam quatuor triangula rectangula ABG , ΑΒΗ , ABI , ΑΒΚ sunt aequalia cper ψ. r. Etiam has es AG, ΑΗ, Λ I, AK erunt aequales ς & ob eandem rationem duo triangula istoscelia BGI, BΗΚ, quum sint aequalia per V s. I. habebunt bases lG , ΗΚ aequales. Ex quo sequitur c per a 5. I. θ duo triangula BGL, BHM esse aequalia, & Proinde latus BL aequa-
287쪽
le esse interi BMi, S latus GL lateri HM. Sequitutotiam sper 8. r. duo triangula AGI , AHK asse aequalia, & proinde angulum AGI aequatum esse angulo ΑΗΚ ; ex quo item insertur per ψ. r. duo triangula AGL, RHM esse aequalia, R pr indu basim ΑL aequalem esse hasi AM . Ex quibus tandem Concluditur c per 8. r. duo triangula ΑBL , HI M esse , inter se aequalia , atque adeo angulos I. BA , MBRosse rectos sper I 3. r. & rectam AB esse perpendicularem rectae LM ; quod oseudodam erat.
SI reeta linea tribus rectis tineis in plano sese tangentibus ad rectos angulos iniistat,
liae erunt omnes in eodem plano. Dico , si recta AB s M. f. tribus rectis BF, BD, BC sese tangentibus in puncto B an rectos
angulos insitit , Iaae tres lineae erunt omnes In dem plano DCHΙ. i S M
Si tres lineae BC, BD, BF non sint omnes in eodem Plano, altera earurn, v. g. BF, erit in alio plano, puta in plano ABFK. Quoniam igitur linea ΛΒ estnerpendicu aris duabus lineis BD, BC ceat erit perpendicularis etiam communi see ioni BE, s μνe. proindeque angulus ABErectuS erit I atqui etiam angulus ABF est rectus ex Θ ergo duo anguli ABF, ABE sunt aequales'; ex quo sequitur, lineam' BF cum linea BE convenire debere, nec ultra rudiam BE attolli; quod demonstravdam susceperamas. iPRU-
288쪽
Dico, duas rectas AB , CD t'. zo 2 tab. s. sistit perpendiculares eidem Plana EI GH, esse inter id parallelas . . PRA PAR ΛTIO.
Juncta recta BD , excitetur a puncto D in plano EFGH recta DI perpendicularis eidem BD, S aequalis rediae βB dein jungantur tres rectae ΛD, AI, BE
Manifestum est , duo triangula rectangula BDP, ABD esse aequalia sper 4. I. j ob latus AB aequale dateri DI, per constr. S latus DB commune ; quare etiam hasis BI aequalis erit basi ΛD,& sper d. i. duo triangula ABI, ADI erunt aequalia , & anguluSAU I aequalis erit angulo ABI recto per def. q. Sproinde rectus. Recta igitur DI est perpendicularis tribus lincia DC, DA, DB, quae idcir o erunt omnes
in eodem plano per S a ξA quo sequitur ι ρα a. ob tri/ngulum ABD. duat rediai ΑΒ , CD perpend culares planta EFGH ας in eodem plano , atque ob duos angulos rectos CDd , Ad D esse parallelas l2π28. i. ὶ quod erat ostendendum.
Eu hac propositione sequitur, duas rectas paralle las esse in eodem plano. Kk a PRO-Diuitigod by Cooste
289쪽
THEOREM A VII. INter duas parallelas ducta recta linea est
in eodem Plano . Haec propositio evidens est a ea enim spectari po- est, ut corollarium praecedentis, ex qua aperte Coi igitur, rectam AD Gg. 2o. tab: s. ductam inter duas parallelas AB, CD esse in eodem plano ΛBCD.
THEOREM A VIII. :SI duarum parallelarum altera sit plano cuiquam perpendicularis, altera etiam erit eidem plano perpendicularis.
Dico, si duarum parallelarum AB, CD A. 2o. rab. s. altera AB si perpendicularis plano EFGH , alteram etiam CD esse videm Plano perpendicula
290쪽
Manifestum est , ut iu 6. in duo triangula ABD, BDI esse aequalia , non mimis ac duo ADI , ΛBI; quare ob angulum rectum ΑΒΙ sper des. 3. angulus ΛDI ipsi aequalis rectus erit: adeoque linea DI erit perpen liculeris duabus DA , DB , proinde etiam lineae CD , quae est in earum plano per 6 Quum igitur recta CD sit perpendicularis duabus rectis DB , DI, erit etiam Perpendicularis per ψ. a earum Plano EFGH ; quod erat demonstrandum.
Vae eidem redis in alio plano existenti sunt parallelae, sunt inter se parallelae.. Dico, si duae rectae ΑΕ , CD cri. snt parallelae rectae BF in alio plano existenti , eas esse inter se parallelas. PRAEPARATIO. Ducatur per punctum G ad libitum sumtum Inlinea BF in plano duarum parallelarum BF , CD recta GH perpendicularis rectae CD, quae etiam ipsi BF perpendicularis erit i per 39. r. Itemque in plano duarum BF, AE per idem punctum G ducatur recta GI perpendicularis rectae ΛΕ, quae patiter eidem BFerit perpendicularis .