장음표시 사용
71쪽
61 parallelas BD CL ite miconstituti; ergo duo rarallelogramma BDLΚ , BG pC sunt aequalia sper axi. 6. Eodem modo ostendi potest Paralle logrammum ΑΗLΚ aequale esse alteri quadrato AC PE , quum utrumque sit duplum duorum triansulorum ΑCH, ABE , quae sunt aequalia per φὶ Ex quo conciuilisetur totum quadratum ABDH aequale esse duobus quadratis BCFG , AC PE ; quod ope pretiam erat δε-
Haec demo ratio postulat, duas rectas AC, CF esse in directum positas, seu unicam lineam cousitu re , non secus, ac duas BC , CP 3 quod sane esidentes, duo anguli enim ACB , e GF s uon Deus ac duo BGε- , BCFὶ sunt recti , proindeque aequules duobus rectis, ex quo sequitur, duas lineas e , ti P esse
rectas s per i .) . ita Postulat etiam lineam CL esse duabus rectis AH, B D parallelam; qu/d patet per a8.ὶ nam gulaesuvi perpendiculares eidem lineae et B sper constrUCeleberrimum hocce Theorema 'othagoram primum solvi e feruui, qui, ut aliqui existimant , centum boves musis immolavit , quod se in tam pr.eclaro i Oento adjuverint; quod tamen Tullius lib. 3. de uat. Deorum iu dubium revoeat. SCOROLLARIUM. - : i Quadratum diagonalis AC quadrati ABCD, tri . . tab. 2.j est duplum ejusdem quadrati. est enim aequale duobus quadratis duorum laterum aequalium , phita ΒΑ, BC. Ratio est, quia diagonalis quadrati est hypotentia i trianguli reeianguli ABC. In parallelogrammo item rectangulo, quadratum diagonalis aequale est duobus . quadratis , quae fiunt sub duobus ejusdem parallelogrammi lateribus . : t: it t
72쪽
metriae pars , -- passim ea non adhibeatur, ut pluribus tu locis, tum in TrigovometriaeBποροωrdebimus. Ous ope item plura refo vuntur problemata , qua maximi Dut usus in Geometria, s ' ix sim eιs. Ex g. si quis velit quadratum deserihere aequales tribus , vel pluribus quadratis datis , puta tribus quadratis , quα e-cipi possun3 Iub tribus liveis AD, DE , EF fig. . tab. a. statuatur retia et D perispendieularis rectae DE ; s iungatur recta a re maniis Iesum es, q-dratum e m aequale esse duobus quadratis et CD , DE . α'od si fatuatur recta EF pem pendicularis rectae Sinti, uncta recta e re , manifestum est, quadratum AF aequale esse tribus quadra
Datis etiam pluribur circulis , puta circulo , eu itis diameter es fig. I s. tab. a. tum circulo, eujus item diameter es iam , inveniri potes circulus ipsis aequalir . di enim a puncto eis femidiametri AD excitetur perpendicularis e C aequalis semidiametro o CN , juncta recta CD , haec erit radius circuli aequa sis duobus propositis circulis simul sumtis . si cam cireati sunt inter se, ut quadrata diametrorum , aut semidiametrorum, ut demonserabamus in Libro I 2;atqui quadratum radii CD aequale es quadratis duorum radiorum AC, AN; eeto etiam ejus radii eirculus aequalis erit duobus circulis isti , - .
73쪽
Ouadrato super duas aequans Iineas de scripta sunt aequana.
'Dico , si duae reeta AS , EF sfig. ra. tab. 2. sint aequales, quadratum prioris aquale esse qga raro
Si dueantur duae diagonales et , EG, bae duo ouadrata proposita bifariam divident sin 3 . triangulum e C erit dimidium quadrata a BLU, triangulum EFG dimidium quadrati EFGH. Atqui haec duo triangula sunt aequalia s per 4. ob duo latera BC , BZAE aequalia duobus lateribus ita , Γ nccx hvpoth. obque auulum B aequesem augulo ririer axi. Io. ergo etiam eorum dupia, nimirum auo quadrata proposira, erunt squalia s per axi. 6.ὶ quod Erat ostendendum.
THEOREM A XXXIV. SI in triangulo quadratum unius lateris md uale sit summe quadratorum aliorum . laterum , angulus OPPositus lateri quadrati
majoris rectus erit. Dico, si in triangulo ABC ssu. I 6. tab. 2. quadratum lateris BC aequale sit duobus quadratis, quae concipi possimi sub duobus lateribus AB, AC , angu lum CAB et Ie rectum.
74쪽
Ducatur sper ra. recta AD perpendicularis rectae AC , S aequalis recta AB ;jungaturque recta CD.
Quoniam angulus CAD rectus est per conseri ouadratum lateris CD aequale est duobus quadratis AC . AD simul sumtis s per Α7.1 Le quoniam latus AD aequale est lateri ΑΒ sper corasr. j quadratum lateris AD aequale erit quadrato lateris ΑΒ per levi-ma praecedens quare quadratum CD erit aequaleta duobus quadratis AB, AC simul sumus i quae quum sint simul aequalia quadrato CB ex Θpoth. Iam quadratum CD aequale erit quadrato BC s i. t proindeque duo latera CB , CD aequalia ς & spei 8., triangulum ABC aequale triangulo ADC , ' angulus CAD aequalis augulo CAB c per I idcirco erit rectus, quod erat ostendendum.
75쪽
X plicata Parallelogrammi in genere natura in primo Libro, pergit modo Euclides ad explicandas proprietates ' parallelogrammi rectanguli, quod Reciariatam uno nomine vocari solet, conserens Inter id quadraia, ct rectansula, qu* sub aliqua recta linea , quomodo uumque secta, conficiuntur . :
mne paralleIogrammum rectavulum contineriis dIeitur sub duabus rectis lineis rectum angulum continentibus, quae duae rectae eius longitudi nem , S latitudinem exhibent . Sic figura ANC Dinss. l . tab. 2. dicitur Parallelogrammum rectangulum . sve abolure , Rectangulum , quod sub duabus rectis B, e D rectum avulum is conirnentibu comprehendi intelligatur. xuod si duae rectae aqualersint inter te, huiuimodi rectangulum iacitur Quaclratum . effantulum utplurimum concipi Iolet, qui e
tu tabula sit exaratum; sufficit enim , se dux rectae , Db quibus feri pores , exhibeantur . xuod 3dem Ocde quadrato, pro quo unica susscit bnea et siquiaemia omnia ejus latera aequalia sunt. Ioutitos superficiei alicaeus rectauuli
76쪽
rectanguli area Geitur, meritur totidem qnadratis, 'quot ipsum dividi potes ; sis retrangulum AHCD ssig. 7. tab. 2. qxtuderim quadrata dividitum; quae, - Iuut palmi , - pedes quadrati , vel exapedar, seu l expedae, &c. diuum euim super cies eoπcipiatur produci per liveam tu ira versum se movevreis, s ι neum aliquam , ut serD, super aliam serti ita move ri cogitemur, ut ipsi ad singulos retaos semper inspar, ubi haec ad N pervenerit , super ciem rectangulum a rBCD ab ea deseripta, fuisse' imestigemus . . Ex quo colligitur , coguitis duabus liueis , rectauinguli Jub Vsis . Tontenti aream sarim cognosti 'osse ;si enim una per alteram ducatur , prodauam dabat aream rectanguli: Ex. g. si liuea AD st 3 pedum , linea vero AB s pedum , s per 3 , habebis is
pedes quadrator, myuae es area eluviali. IH D. M tineae aliquaudo numeris exprimuUtur, quumsci licet possisut dividi ex aequo is patuerejundem magnitudinis , ut linea a LB, qua tu quinque partes dividitur , quarum singulae ..equales Dut sugulis partiatis lineae a secur si Dit iveomme uvab Hes , Dr τω iimus lusea ; tunc mim rectangulum, nee Numeris tutearis exprimi , nec in quadrata rividi test. . Guigitur etiaH, cnvita lineae alioujsr longitAdine , ejusdem quadra mi goosci in nime iueam aliquam per se ipsam ducas, ut liueam pedum , prodes 9um i 6 erit ejusdem lineae quadratum. Hine Omnis ms veruι , qui ex aliquo numero exsuriit in seipsum ducto, dicitur numerus quadratus; Numerus Uero Ille, ex cujus mutriplicatione exsurgit numerus qaadratar dicitur raiax quadrata ; A a es radix 4 ; 3 radix ';ψ radix elemm, 9.io: Dux Numeri quadra- . t. ἔ-omues unitates ex quibus eo ant, in form- quadriatam disponi possunt. Verum de his alibi Heeudam erit.
1L Si per aliquod punctum sumum ad libitum 1 a super
77쪽
super diagonalem trianguli dueantur duae rectae parallelae duobus rectanguli lateribus , proindeque ad re ctos angulos sese intersecantes , quatuor exsurgentrectangula, quorum duo, per quae non transit diago natis, una cum altero , per quae diagonalis transit, figuram efficient, quae Gnomon dicitur. Ruocirca duoeectangula NGEI, E H lfig. ig. tab. a. uua cum re rugulo EFG, gnomonem GCHE consituunt. MONITUM. . xuum rectauula , tum quadrata duabus fere triteris notabimus , quae nimirum ad angulas oppositos sum collocatsa
SI ex duabus lineis altera secetur in quot libuerit puncta , rectangulum , quod fit sub hisce duabus lineis , aequale erit simul omnibus rectangulis ; quae fiunt sub ea , quae minime divisa est, ct singulis partibus alterius.
Dico, rectangulum AC trig. i9. tab. a. in quod sit sub duabus AB , AD , aequale esse tribus rectangulis AG. ΕΗ, FC simul sumtis, quae nimirum hunt luti tota AD, & partibus AE, EF, FB lineae AB; quocirea si linea AB sit 6 pedum, quaelibet vero pars, ut AE EF , FB, a pedum; linea vero AD 4 pedum σrectangulum 24 aequale erit tribus rectangulis 3. Idipsum in omnibus sere propositionibus hujus libri usu-
78쪽
Ducantur a punctis sectionum E , Sc p rectae EG, m lineae ΑΒ perpendiculares, quae erunt tum sibi invicem , tum duobus lateribus AD, RC parallelae per 28. ct 3 o. libri l. ob angulos rectos, qui sunt tria punctis Λ , E, F , B l per des. IO. l. Sc insuper erunt aequales sper 34. I. ob tria parallelogramma AG, ΕΗ, FC.
Manifestum est, rectangulum AG esse sub linea AD, Sc prima sectionis parte AE ; rectangulum E Hsub linea EG, vel AD ipsi aequali, Si altera sectionis Parte EF; regangulum denique FC sub linea FH , vel AD ipsi aequali , Sc postrema sectionis parte FB ;S quoniam tria haec rectangula congruunt cum tot rectangulo AC, sequitur s per axi. d. rectatigulum , quod fit sub linea ΛD , Sc tota AB, aequale e Te omni bus rectangulis, quae fiunt sub eadem AB. Si partibus ΛΕ, EF, FB alterius lineae AB; quod operaepre oum erat demonstrare
Ouadratum lineae quomodoquumque di. visae aequale est omnibus rectangulis , quae fiunt sub tota , di singulis sectionis partibus .
Dico , quadratum lineae AB s A. ao. rab. a. in divisae pro libito in puncto E aequale esse duobus rectan
79쪽
hus partibus ΑΕ, ΕΒ. Si igitur AB sit. 6 , pars AEa , pars denique EB 4 , evidens est quadratum 36 aequale esse duobus reclangulis ta , & a simul
Duela recta EF perpendiculari rectae AB, manI-sestum est, rectangulum AF esse sub recta AB, vel AD ipsi aequali , S prima sectionis parte AE ; rectangulum vero EC sub eadem AB, vel EF ipsi aequali , Saltera sectionis parte EB. Quumque haec duo rectangula congruant cum quadrato AC, jam sunt eidem aequalia sper axi. 8. quod ostendendum fusceperamos.
SI linea quaepiam in duas partes ad libitum
dividatur, rectangulum, quod comprehen-laitur sub tota, & altera sectionis parte, aequale est quadrato ejusdem partis, di rectangulo sub utraque sectionis Parte compreheni.
Dico , rectangum sub linea AB M. ar. tab. 2. divi sa pro libito in Princto E, & altera sectionis parte AE , comprehensum , nimirum totum rectangulum AC, a quale esse qua irato ejusdem partis ΛE , cili-eet AF , & simul rectangulo sub ZE , EB , nemp , rectangulo EC.
80쪽
. Ducta. a puncto sectionis E perpendiculari EF, quae si aequalis parti AE , manifestum est rectangulum AF esse quadratum primae sectionis partis AE , rectangulum EC esse sub duabus partibus AE, EB, rectangulum vero totum ΑC csse sub tota ΑΒ , Sprima sectionis patrie AE , sper coustr. J AtquI quadratum AF simul cum rectangulo EC , congruunt toti rectangulo AC; ergo sunt ipsi aequalia sper ax. I. quod osti evaeum se eperamu .
ΤΗΕΟREMA IV. Ouadratum lineae in puncto utquumque divise a quale est quadratis duarum sectionis partium, α simul duobus recta inuis sub iisdem partibus comprehensis.
Dico, quadratum DB lineae AB iij. 22. tab. 2. indivisae ut uumque in puncto E aequale esse duobus qua Mati3 paruum ' Ag , EB , & smul duobus rectan-xulis stib iisdem Partibus AE, EB comprehensis. PRAEPARATIO.
Ducta diagonali AC, ducatur a puncto sectionIssi recta EF perpendicularis rectae AB , S per pumetum Intersectionis G ducatur lipea HI parallelae . eidem ΛB; quae una cum EF dividet quadratum AC in quatuor rectangula, scilicet In duo quadrata AG, GC, S in duo parallelogramma LI , Η F , ut modo ostendemu1.