장음표시 사용
21쪽
16 Epist.II De reselatione quarumdam
fraesentantes numeratorem aut denominatorem dignita iis , minuscula littera repraesentantur; carterim eadem limi ra, siue maiuscula siue minuscula repraesentetur semper eumdem numerum significat. Denique , O , semper hie r praesentat characterem oppositionis .
Slagulae litterae, d , e, g , ni, n, repraesentent vulgares
numeros : duo tamen numeri m & n, sint integri:atque numerus m sit duplus numeri ii . Denique d A n simul cum e A m aequetur numero G.
Dico primo. e A n simul cum g Aon D; ac prael .rsi numerum D , esse aggregatum numerorum e A n & gA O n: si in data aequatione numeri e A m & G , dissimili bus signis assiciantur. Vel numerum D, esse differentiamnunaerorum e A n Sc g A O n et si in data aequatione num ri e A m & G, smilibus signis assiciantur .mo secundo. e A n ius A O n π: G in E . Demonstratur prima pars . Per hypothesimd A n acum e Am G: sed quoniam per hypotefim denominator mest duplus denominatoris ii, patet, e Am me A iam An: ergo dAnsimul cum e An in A n ποῦ G: ergo singula huius arquationis membra di uidendo per eumdem numerum A n, etiam , sed N Ditem e A n: item A g Ai n :ergo simul m e A n g Α ο ni: ergo e A n simul cum g A O n o: quodque in hac ultima aequatione numeri e An&gAon, conueniant quo ad una ' vel ,- , si in data aequationc n
22쪽
Compositarum ae ira attonia m. II
meri e A m 5: G differant quo ad signa ' vel in f, aut e contra,quod in hac vitinia aequatione numeri e An &gA., niuiserent quo ad fgna ' vel, si in data aequatione numerie A m 5e G, conueniant quo ad signa ' vel : sed si in vltima aequatione numeri e Andeg Aon, conueniant quoad fgna ' vel - , manifestum est, numerum D esse aggregatum numerorum e An&gAon: & similiter si in vitima aequatione numeri e An Seg Aon, differant quo adsigna ' vel patet numerum D esse differentia innumerorum e Andeg Aon: igiture An simul cum g Aon& praeterea numerus D est aggregatum numerorum e A nde g Ao n, si in data aequatione numeri e A in Se G differant quo ad signa ' vel - ; aut E contra numerus D,est differentia numerorum e An Seg Aon, si in data aequatione numeri e A m de G , conueniant quo ad signa ' vel - . Vt asseritur in prima parte. Demonstratur secunda pars. Ex ipsa terminorum intelligentia patet, quod e An ad E A nudi: sed etiam A nadi I ad AOn: ergo e An ad E I ad Aon: atqui etiam i ad AOn ad gAο n: ergo e An ad E Gadg A O n: ergo per axioma 3 partis q. ideae e An in g A on Ut asseritur in secunda parte.
OValescunque sint numeri X et Z, quorum differentia sit D , atque X inqZes Det P. Dico radicem primam numeri P, aequalem esse aggrega
23쪽
18 Epis II De reselutione quarumdam
Constructio X Z D: quod supponi posse immedi te patet ex ipsa hypothesi. Demonstratio. Per theori l. appendicis lib. i. Logisti eae. X fZ 3 X et J X in Z: sed quia per comibuctionem X μ. Z-D , etiam X ,-- Z q-D 1: ergo Σ'Z1-Disti X inqZ : sed per hypothesim, Da. et lin X Z P: ergo Xl Z3 P: ergo X'Z Riη P ergo R i ' P aggregato numerorum X de L. Quod erat d nstrandum .
SInt qualescunque numeri X&Z, quorum VIK
tum sit D, atque D a. et ,-X inqZ P. Dico radicem primam numeri P, aequalemesie disserentiae numerorum X de Z. Constructio. Scriptio X Z, exhibeat differentiam
numerorum X&Z: quod supponi posse, manifestiun est ex ipsa bypothesi Demolestiatio. Per hypothesim D ποῦ X t Z: ergo D a. et sed per theor. r. appendicis lib. 2. Logisticae X X a. 4 Z Σιt t X in a Z: ergo D α πXΣ ' Ζαut X in α Z : ergo D ara ,-X in 1Z X α' Z L: sed quia
24쪽
ferentiae numerorum X de E. Quod erat demonLan
P Roposita sit quaecunque aequatio composita atque
consistens inter aliquem numerum cognithim,& duos numeros denominatos, quibuscunque signis affectos : ita tamen , ut duo isti numeri denominati habeant eamdem dignitatem: ac praeterea unius numeri denominator, sit duplus denominatoris alterius numeri denominati . Sive sup posito quod sint duo numeri denominati d A n & e A m , in quibus litterae d & e repraesentent indeterminate quos libet duos numeratores expressos numeris vulgaribus: Sc praeterea litterae, n & m, repraesentent eorumdem denominatorum numerorum denominatores , ita tamen ut denominator m sit duplo maior denominatore n: denique d A nsimul cum e A in cognito numero G: qualiacunque tamdem signa sint, quibus assiciuntur numeri constituentes aequationem. Oporteat reseluere propositam aequationem; siue inuernire valorem singulorum numerorum denominatorum d An&e Am.
Solutio. Si in proposita aequatione, meri e A m G, similibus signis assiciantur : inueniatur numerus P , qui sit aggregatum numerorum D a & G in E. Verum si in proposita aequatione, numeri e A m de G, dissimilibus signis assiciantur inueniatur numerus P, qui sit differentia numerorum D a & G in E. Deinde inueniantur duo
25쪽
1o EpistJLDe reselutione quarumdam
humeri X Z, ita ut numerus X sit aequalis dimidio aggregati duorum numerorum, quorum Vnus sit R I P, altersit D : atque eorumdem duorum numerorum differentiae aequalis sit numerus Z. Tertio inuentis, ut dictum est numeris X de Z, verum erit quod uni ex his duobus numeris X vel Z, aequalis erit, numerus denominatus e A ia: ade que cognito valore numeri denominati e A n, ex dictis cap. 6. lib. I.Logisticae, patet quomodo inueniri possit valor singulorum numerorum d A n & e A m: quorum valor erat inueniendus. Nota primo. Numerus denoniinatus e A n, quem diximus aequalem esse viai ex duobus numeris X & Z,constat ex numeratore qui conuenit numero denominato in aequatione proposito, habenti maiorem denominatorem: atque . ex minori denominatore, Se communi dignitati duorum numerorum denominatorum qui in proposita aequatione
Nota secundo. Si inuentus, ut dictum est numerus P vulgaris sit, atque per appendicem lib. primi Logisticae, inueniri possit eius valor : commodum erit hunc valorem prius inuenire, atque substituere loco R i , P. Vehum si per praxiin in dicta appendice traditam inueniri non positradix prima numeri P: etiam numeris vulgaribus exponi non poterit valor numeri denominati e A iar atque hoc casu ad ulteriorem problematis solutionem ultra dicta cap. 6. lib. i. Logisticae, requiri potest aliquid spectans ad modum inueniendi unum numerum radicalem aequivalentem pluribus, fgnis ' vel - , aut particulis in vel per connexis: de quo agimus in consideratione numerorum incommemsurabilium. Nota
26쪽
Nota tertio. In quolibet casu, certo statui non potest, quis ex inuentis numeris X & Z, aequalis sit numero denominato e A n: neque etiam illud necessarium est pro intenta problematis solutione: pro qua abunde sufficit, quod constet unum ex duobus inuentis numeris X vel Z, aequalem esse numero denominato e A n ; si enim supponendo
quod exempli gratia e A n X, per dicta cap. 6. lib. I. Logisticae inueniendo valorem duorum numerorum denominatorum qui in una aequationis parte inueniuntur, habeatur numerus aequalis illi , qui inuenitur in altera propositae aequationis parte ; iam certum erit e A n X . Si vero hoc modo non inueniatur numerus aequalis illi, qui in altera propositae aequationis parte inuenitur , tunc certum erite An zz: Z. Nota quarto. Diximus in quolibet casi certo statui non posse quis ex numeris X dc Z , aequetur numero denominato e A n ; si placet hos casus scire, & intelligere quid de sngulis verum sit: aduerte , quod si in proposta aequatione d A n simul cum numerus G cognitus, qui in una parte inuenitur, non sit positivus: ex antithesi patet quod non vitiabitur aequatio si numerus G sat positivus, dummodo singuli reliqui numeri d A n N e A m sant ii gatiui si fuerint positivi ; vel fant positivi si fuerint nega Gui , iam vero supposito quod numerus G, hoc est numenti cognitus qui inuenitur in una parte propositae aequationis , sit positivus: adhuc tres diuersi casus possunt occurrere ;quorum primus est, ut singuli nitineri denominati d A n ree A m sint positivi. Secundus casus est, ut numerus e A mhabens maiorem denominatorem si positivus, & alter nu
27쪽
ΣΣ Epist.Π.De reselutione quarumdam
merus d A n habens minorem denominatorem sit negativus. Tertius casus est si numerus e A m habens maiorem denominatorem sit negativus ,&alterd A n habens minorem denominatorem sit positivus. In primo casu numeruse A n aequatur minori ex numeris X & Z. In secundo casu numerus e A n aequatur maiori ex numeris X & Z . In te tio casu , ex i)s quae in proposito problemate supponuntur cognita,non potest certo statui, cui ex numeri aeque
Propositi problematis solutio a nobis allata, duos habet casus:in primo numeri e A in G assiciuntur sgnis similiabus. In secundo casu, ijdem illi numeri e A in & G assiciuntur signis dissimilibus ; claritatis gratia in singulis casibus seorsim demonstro problematis resolutionem Demonstratur solutio in primo casu. Per hypothesin d A m simul cum e A m G,& insuper numeri e A m & Ghabent signa similia:ergo per primam propositionem,etiame A n simul cum g AOn D, & insuper D est differentia numerorum e A n g A O n: sed etiam per primam propositionem e A n g A O n G in E: ergo cum per hypothesim P D a et ' G in E, etiam per secundam propositionem R I P aggregato numerorum e An et g A O n; igitur per theor. r. propositum pagina 89 Logusticae aggregatum numerorum etata et S. hoc est numerus X, aequatur maiori ex numeris e An et g Aon, earumdemque numerorum minori, aequatur differentia numerorum & φ hoc est numerus Z r ergo numerus e A riaequatur uni ex numeris X vel Z. Vt dicitur in solutione problem iis in primo casu; atq;ex his patet reliqua solutio
28쪽
Compositarum aequatio latam. 23
Demonstratur solutio in secundo casu. Per hypothesim
dA nsimul cum e A m-G,S: insupcr numeri e A in Ghabent fgna dissimilia: ergo per primam propositionem, etiam e An simul cum g Aon D, de insuper D est aggregatum numerorum e A n & g A O n : sed per primam propositionem, etiam e A n in g A O n G in E: ergo cum per hypothesim P τα D 2 G f G in E, etiam per tertiam propositionem R 1 - P ας differentiae numerorum e A nde g A O n: igitur per theor. I. propositum pagina 8' Logisticae, aggregatum numerorum Sc ' , hoc est numerus X aequatur maiori ex numeris e An&gAon, eorumdemque numerorum minori, aequatur differentia numerorum de R , hoc est numerus E ergo numerus e A naequatur numero X vel numero Z. Vt dicitur in solutione
problematis in secundo casu ; atque ex his iterum manifesta est reliqua solutio : Se demonstratur quod erat propositum . Placet hic addere pauca aliqua exempla proposti problematis, in quibus tamen non perueniatur ad numeros radicales , quorum valor exponi non potest per vulgares
Primo Proposita si aequatio in qua ue A α ' O A x
quoniam numeri 3 A di de similibus signis afficiuntur :inueniendum est aggregatum ex numero 6 ducto in se, ex numeris', , simul multiplicatis: hoc est aggrega, tum ex numero 3 6 5c-6o; quod aggregatum erit numerus I a os huius aggregati radix prima est 3 6 , quar numerus denominatus 1Arza uni ex duobus numeri pit ei ς -- e, hoc est uni ex duobus numeris etr vel Is , ecticeta ta notant 1 certum sit quod num rus denominatu
29쪽
Σ Epist.ILDe reselutione quarumdam
3 A a aequetur minori ex inuentis duobus numeris a r. et Is , hoc est numero is r tamen neglecta hac nota, atque
etiam verum est iuxta propositam aequationem, constat.
verum non est iuxta propositam aequationem : adeoque
falsa est suppositio assumpta nimirum , quod ν A I aequetur maiori ex numeris χΙ-I radeoq; constat s A I is. Vt prius suppositum fuerat. Secundo. Proposita sit aequatio in qua 8 A i , Α Σ 6, quoniam numeri 1 A a Se 6 dissimilibus signis assiciuntur, inuenienda est differentia duorum numerorum quorum unus sit 8 ductum in se, alter sit productum ex numeris 6, 2, , simul multiplicatis: hoc est differentia numerorum 64 48: quae disierentia est numerus 16: huius numeri radix prima est q: quare numerus denominatus 2 A a aequatur uni ex duobus numeris et vel 1 - ε, hoc est uni ex numeris si vel L. Iam vero supposito quod α A I 6: insero , ergo 8 A r m Σ , & praetereai A a 3 , adeoque i A 2 9, item a A 2 m 18, ac denique 8 AI-a AE a - Ι 842 6; quod quia etiam verum est iuxta propositam aequationem, constat 3 Aa 24, 3c etiam a Azzz I 8.
Tertio. Proposita aequatio st, 1 Aa igitur
30쪽
igitur quia 4 Aors s similibus signis assiciuntur, inu
niendum est aggregatum ex duobus numeris quorum unus est numerus 1 ductus in se, hoc est Σ3: alter vero est productum ex numeris 296, q, 4, simul multiplicatis: hoc est 6736; atque aggregatum numerorum 2s N 73 sy, erit numerus Wσi; cuius prima radix cst ; quare numerus denominatus 4 A 3 aequatur uni ex duobus numeris' i vel- θ, hoc est uni ex numeris 3 7 vel 3 a. iani vero supposito quod q 53 α-ῆ insero, igitur 3 A 3
' o aso ; quod quia etiam verum est iuxta propositam aequationem , constat qA6rna 6,&sA3 π: AP. Quarto. Proposita aequatio sit, 3 A 6 - A 3 αα ι 2. igitur quia 3 A6 5e is a similibus signis assiciuntur, inueniendum est aggregatum ex duobus numeris, quorum unus est numerus 3 ductus in se , hoc est numerus a s: alter vero est productum ex numeris is x, 3, 4, simul multiplicatis: hoc est i8xq; iam vero aggregatum numerorum ας & rs a 4 est numerus et 8qq, cuius prima radix est numerus η3 :quare numerus denominatus 3 A 3 aequatur uni ex duobus numeris et- ' τ