장음표시 사용
41쪽
36 Epist V De commensurabilibus
Ut ex hac constructione propositam veritatem clarius inferam: primo ostendo numerum X metiri singula diuisionum residua, inter quae per hypothesim inuenitur Z,
atque adeo numerum X metiri numerum Z: ox quo patet numerum X, non esse maiorem numero Z. Deinde probo numerum X non esse minorem numero Z. Denique ex eo quod numerus X non siti or, neque minor numero Z: infero numerum X aequari numero Z : S: cum numerus X per constructionem sit maxima mensura numerorum A S: B, concludo etiam numerum Z esse maximam mensuram numerorum A N B.
Demonstratio. Numerum A diuidendo per numerum B, producatur integer F: atque residuus integer sit C ;igitur C-F: ergo A - C die F in B : sed per constructionem X metitur I adeoque per 3. axioma, X met, tur B in Fr ergo X metitur A -- C: sed etiam per constri ctionem, X metitur A : ergo , persecundum axioma, Xm thur C. Rursus numerum B diuidendo per numerum C,
producatur integer G residuus integer sit D; igitur - D diu G: ergo B - D m G ibi C: sed iam ostensum est, X metiri C ,adeoque per 3 axioma, X metitur G in C:
ergo X metitur B - D : sed, per constructionem, etiam X metitur B: ergo per 2 axioma,X metitur D. Rursus,*diuidendo per D, producatur integer Κ:& residuus sit integer E; igitur -E-Κ ergo C T E in D: sed prius ostensu est X naetiri L adeoq; per et,axioma,X metitur K in D: e go X metitur C - Ε: atqui etiam ostensuiri est X metiri C: ergo per a. axioma, X metitur E. Eodem prorsus argumento per subsequentes quotcunque diuisiones , ex quibus
42쪽
Et incommensurabilibus quantitaties 3
relinc suitur residuum , ostenditur , numerum X necessario metiri illud residuum ; quoniam vero ex hypothesimanifestum est, inter haec residua inueniri numerum Z: etiam patet numerum X metiri numerum L, adeoque numerum X non esse maiorem numero Z.Reliquum igitur est , ut ostendam numerum X non esie minorem numero Z. Itaq; posthactenus propositas diuisiones , ex quibus singulis relinquitur residuum, immediatὸ siccedat illa ex qua nullum relinquitur residuum: atque D diuidendo per E , producatur integer L, nullum relinquatur residuum ; quo posito,per hypothesim patet numerum Ε, aequari numero Z: QuOniam igitur ta L; per q. axioma, E metitur D : sed Z α: E: ergo Z metitur D: ergo, per 3. axioma, L metitur Diu Κe atqui Diu ΚααC-Exin C - Z: ergo L metitur C - Z: sed Z etiam metitur seipsum, hoc est Z : ergo, per a. axioma, Z metitur Cet ergo, per 3. axioma, Z metitur
iam ostensum est, etiam Z metiri De ergo, per 2. axioma, Z metitur B: ergo, per 3. axioma, Z metitur B-F: sed B in F e: A - C: ergo,Z metitur A C: atqui etiam ostem sum est Z metiri C: ergo, per α. axioma, E metitur Ar igitur cum Z metiatur B, 5e etiam Z metiatur A: patet Z esse communem mensuram Ade B: sed per constructionem X est maxima mensura A N B: ergo numerus Z non est maior numero X: sed prius ostensum est, numerum L non esse
minorem numero X: ergo numerus E aequatur numero X: atqui, per constructionem, numerus X est maxima mensura numerorum A de Br ergo etiam Z est maxima mensura
numerorum A de B . Quod erat demonstrandum.
43쪽
Hinc patet quod maxima mensura communis num rorum A & B erit unitas, adeoque numeros A se Bnon habere pro mensura communi numerum integrum unitate maiorem: si numerus Z i r ; hoc est, si in praeiacripto diuisionum ordine, prima diuisio occurrens, ex qua nullum remanet residuum, habeat pro diuisore unitatem , de similiter quod maxima niensura communis numerorum A erit numerus integer maior unitate: adeoque numeros A B pro mensiara communi habere numerum integrum unitate maiorem: si L aequetur numero diuerse ab unitate: hoc est, si in praescripto diuisionum ordine, prima diuisio ex qua nullum remanet residuum , habeat pro diuiserenumerum diuersum ab unitate.
SIngulae litterae A, B, C, D , repraesentent integros
vulgares numeros, praeterea Aad B a que A sit minor C . .
Dico primo, proportionem A ad B non constare miniamis terminis integris, si A non metitur C. Dico secundo , A metiri C, M B metiri D: si proportio A ad B constet minimis integris terminis . Demonstratur prima pars. Per hypothesim A non metitur C & tamen A est minor C: igitur diuidendo C per Apruducitur aliquis integer numerus Ε , & pro residuo reli quitur
44쪽
Et incommensarabilibus quantitatib' 39
licturalius integer numerus F, qui sit ininor diuisore A:
adeoque* αα E S i , de singuli numeri E N F integri sunt,
atqueFest minor quam A. Rursus quoniam per hypothesim A ad Bra C ad D, permutando etiam A ad C-Bia D: sed per hypothesim A est minor quam C, Se tamen A non metitur C: ergo etiam B est minor quam D tamen B non metitur De sed quoniam A ad C die B ad D , etiam patet, αα - , adeoque diuidendo D per B, habetur pro quotiente integer numerus E ; pro residuo relinquitur aliquis integernumerus Κ, qui sit minor diuisere B: igitur- - α E ' i , & snguli numeri E M K sunt integri, atque Κ est minor quam B. Quandoquidem igitur ostensumst 4-E πω, dc etiam ἀ- α E ' Κ', atque etiam ostensum sit , me . patet etiam E ' - - α E ' .. ergo Vtrin
que auserendo eumdem numerum E, etiam
A ad F diu B ad Κ: ergo permutando A ad B α F ad Κ : atqui prius ollaniam est, numerum F esse integrum, Sc minorem numero Ar item numerum K csse antegrum , atque minorem numero Ba ergo proportio A ad B diu F ad K: se tamen proportio Fad K constat minoribus terminis integris , quam proportio A ad B: ergo proportio A ad B non constat minimis integris terminis. Vt asseritur in prima
Dentonstratur secunda pars. Si A non metiretur C,per primam partem, proportio A ad la non constaret minimis terminis integris et sed per hypotliesim, proportio A ad B constat minimis integris terminis a ergo A metitur C. Quoniam vero per hypothesim A ad B ta C ad D, etiam per Guiando , A ad C m B ad D: sed iam ostensum est, A m
45쪽
o Epist IV De commensurabilibus
tiri C: ergo etiam B metitur D: igitur A metitur C , & m- super B metitur D. Vt eritur in secunda parte. - . ,
SIngulae litterae A de B integros vulgares numeros reis
praesentent . Dico primo,proportionem A vit B constare nimis in tegris terminis: si Aet B non habeant communem mensuram diuersam ab Vnitate. Dico secundo , proportionem AM B non constare in nimis integris terminis : si A de B habeant communem mensuram 1uersam ab unitate . . Demonstratur prima pars. Sit enim proportio F ad K integris, atque minimis terminis expressa: ita ut F ad Κ i, A ad B ; igitur per et, propositionem,F metitur A,adeoquα- α integro numero X: sed quoniam tu ad Ic me A ad Betiam permutando , F ad A ta: Κ ad B, adeoque -- α ergo eidem integro X: ergo per 4. axioma numerus.
X metitur A & B t sed per hypothesim A N B non habenti
mensuram communem diuersam ab unitate : ergo X die Ii: ergo i I , item J- A die F, item Bira X:sed proportio F ad Κ est expiessa minimis integris terminis: ergo etiam proportio A ad B est expressa minimis integris te minis . Ut asseritur in prima parte . Demonstratur secunda pars. Per hypothesin A&Bhabent communem mensuram diuersam ab unitate : sit. igitur talis mensura X: ergo hintegro Ritem tegro K: ergo A m Finci., item B in X crgo Lai' X αἰ
46쪽
Et incommensurabilibus quantitatib' r
tensum est γ ra F, per q axioma,F metitur A:ergo per praecedentem propositionem,proportio A ad B non constat minimis terminis . Ut asseritur in secunda parte.
SIngulae litterae A N B repraesentent integros numeros, quorum maxima communis mensura sit Z: atqueta F, item - - Κ. Dico, proportionem Fad Κ esse expressam minimis terminis, atque F-Κ ta A ad B. Demonstratio. Per hypothesim Z est maxima mensura A Se B: ergo qualemcunque integrum numerum ab unitate diuersum repraesentet X, tamen Z in X erit maiorquam Z: adeoque Z in X non est mensura A de B r ergo; nonra integro, vel non die integro: sed i l per Xa item ergo per X non m integro, vel
per X non integro et sed per hypothesim die Ritemet' ra Κ r ergo F per X non me integro, vel K per X non. integro et ergo X non metitur F & Κ: sed X est quilibet
numerus integer diuersiis ab unitate: ergo nullus numerus integer diuersus ab unitate, metitur F & Κ: ergo F et Knon habent communem mensuram diuersam ab unitate rergo, per 3. propositionem, proportio Fad Κ est expressa minimis terminis atque ut patet ex hypothes & coron. theor. partis q. ideae Logisticae ) F ad Κ diu A ad B. Quod
47쪽
a. Epist.IV De commenserabilibus Propositio V.
SIngulae litterae, A, B, C, repraesentent integros vulga
Dico primo, A-B et C, habere communeni mensuram diuersam ab unitate: si C et A, vel C et B, habeant
Dico secundo , A in B et Cnon habere mensuram communem diuersam ab unitate: si neque C et Α, neque C et B, habeant talem mensuram communem. Demonstratur prima pars. Per hypothesim singuli numeri Aet B sunt integri: ergo per axioma 3 singuli numeri A et B metiuntur A in Bet atqui per hypothesim C et A, vel C et B habent aliquam mensuram X communem diuersam ab unitate, adeoque Cet A, vel C et B mensurantura numero X: ergo aliquis numerus A vel B, mensurans numerum A in B, mensuratur a numero X: ergo, per primum axioma, numerus A in B mensuratur a numero X: ergo numeri A in B N C, habent communem mensuram
X: sed numerus X est diuersus ab unitate, ergo numeri A in B&C , habent mensuram communem diuersura ab unitate. Vt asseritur in prima parte. Demonstratur secunda pars. Facta suppostione quod liti era X indeterminate significet quamlibet mensuram nucme iC, diuersam ab unitate; quandoquidem per suppotationem X metitur C, per axioma primum, quilibet num rus qui metitur X, ctiam metitur C: sed quoniam per hypothesim CSc A non habent communem mensuram diuem
48쪽
Et incommensurabilibus quantitatib' 43
sam ab unitate, nullus numerus diuersus ab unitate, atque mensurans numerum C , metitur numerum A: ergo nullus numerus diuersus ab unitate, atque mensurans numerum X, metitur numerum A : ergo numeri X&A non habent mensuram communem diuersam ab Vritate: ergo per propositionem 3. proportio X ad A est expressa minimis terminis integris:ergo si X esset mensura numeri A in B,etiam aequaretur alicui integro numero F, adeoque X ad AB-F,&consequenter per prop. L. etiam X metiretur B: sed quoniam per suppositionem X metitur C, Se
per hypothesim C & B non habent mensuram commuis nem ) patet X non metiri B: ergo X non metitur Ain Bratqui per suppositionem X est quaelibet mensura numeri C , diuersa ab unitate: ergo de qualibet mensura numeri C diuersa ab unitate. verum est, quod non metiatur Aiu B: ergo numeri A in B & C, non habent mensuram comm nem diuersam ab unitate. Vt asseritur in secunda parte. Animi gratia, placet hic apponere discursum a praec dente aliquantulum diuersum, quo inferri potest eadem secunda pars. Vel numerus integer C habet mensuram diuersam ab unitate, atque communemcum numero integro A, aut cum numero integro Ba vel non habet talem me
suram : neque est possibilis aliquis casus ab his duobus diauersus ; sed in primo casu, per primam partem, numeri
A in B S: C, habent communerei mensuram diuersam ab unitate, Ninsuper inanifestum est in aliquo casu possibili numeros A in B Se C non habere communem mensuram diuersam ab unitate: ergo in secundo casu numeri Aiu BC., non habent mensuram communem diuersam ab uni-F a Iate I
49쪽
4 Epist IV De commensurabilibus
tate: ergo numeri A mi, & C, non habent mensurana eoi munem diuersam ab Vritate,si neque C & A,neque C & B, habeant mensuram communem diuersam ab unitate. Ut asseritur in secunda parte.
SInsulae litterae A, B , C , repraesentent vulgares inte
Dico primo , C metiri Aiu B: si C metiatur A aut B, vel certe C-A in B ra I aliquem integrum numerum ἀDico secundo , C non metiri A in B et si C non metiatur A, aut B, neque etiam C ad A in B di: I ad aliquem inte
Demonstratur prima pars . Per hypothesim, vel C metitur A aut B: vel certe Cad A in B i r ad integrum:in priamo casu, quia per 3. axioma,singuli numeri A& B metiui tur A in B,& per hypothesim numerus. C metitur A vel B: etiam per primum roma C metitur A in B In secundocasii , quia per hypothesin C ad A in B dies 1 ad aliquem ii, tegrum , patet in alicui integro , adeoque per q. axioma , C metitur Ain B.. Quare in utroque casu primaeas *rtionis , constat C metiri A in B Vt dicitur ini prima
Demonstratur secunda pars Quonilam per hypothesim Cnon metitur A-tamen numerus. A integer est, patet numerum C esse diuersum ab unitate.Iam Vero, integer numerus C atq, diuersus ab unitate, Vel cum nullo ex duobus. Numeris A te B habet mensura comunem diuersam ab via
50쪽
Et incommensurabilibus. quantitatib' s
tate, vel certe cum aliquo ex duobus numeris A Se B habet mensuram communem diuersari ab unitate . In primo ca- , a quoniam Cest integer numerus diuersus ab unitate, de cum nullo xx numeris A & B habet mensuram communem diuersam ab unitate, per propositionem praecedentem C A in B non habent mensuram communem. diuersam ab unitate : sed integer C diuersus ab unitate metitur seipsum : ergo integer C non metitur Ain B . In secundo casu, quoniamsi & A vel B habent mensuram diuersam ab unitate , per propositionem praecedentem; etiam C N A in B habent mensuram communem diuersam ab unitate et itaque talis maxima mensura sit Z: igitur P diti alicui integro F ditem ποῦ alicui integro Κ , atque .per prop. F ad ΚC ad A in B, eritque proportio I ad K expressa minimis. terminis, adeoque per 3. prop. FS Κ non Iahent communem mensuram diuersam ab unitate : sed quia etiam per hypothesim C ad Aiu B non m I ad aliquem integrum , patet proportionis Fad Κ antecedentem terminum F non 1, sed esse numerum integrum diuersum ab unitate:igitur F ad K die C ad A in B tamen F non metitur K Iergo etiam C non metitur Ain B. Vt asseritur in siciuacia
H Iuc secile patet, quod si dentur duo numerius res simplices , quorum unus A sit integer, alter l-st fractus simplex;patet inquam productum ex integro Aducto infractum aequivalere integro numero: si vel stacti