장음표시 사용
51쪽
46 Epist IV.De commensiirabilibus
numeri denominator C , metiatur suum numeratorern B, aut integrum numerum A: vel certe denominator C, si maxima mensura communis, numeratoris atque denomia natoris producti ex integro numero A ducto in fiactum e&rursum productum ex integro numero A ducto in se , non aequivalere integro numero: si neque fracti numeri denominator metiatur situm numeratorem B, aut integrum A: neque etiam denominator C st maxima mensura communis, numeratoris atque denominatoris producti ex integro Aducto in fractum . Etenim si C metitur A vel B, per primam partem prinpositae propositionis, C metitur A in B,adeoque per 4.axioma , m integro . Si vero C est maxima mensura numerorum C& A in B patetra I: & per ψ. axioma,
i, Breiso C ad A inta mi ad integru X:ergo per prima partε propositae propositionis,C metitur A in B: ergo per q.axi ma, in m integro. Praeterea, si neque C metiatur A vel B, neque C sit maxima mensura C de A in B quoniam Cnon est maxima mensura C de A in B. diuidendo A in B per numerum C , relinquitur aliquod residuum: atque adeo productum non est integer numerus aliquis X: ergo Cad Ain B non m I ad integrum numerum: sed etiam per hyp thesim C non metitur A vel Bet ergo per secundam partem propositae propositionis, in non aequivalet integro nu
52쪽
Et in inmensurabilibus quantitatis Propositio VII.
SIngulae litterae A&B. vulgares integro, humesos repraesentent: praeterea littera n significet aliquem d nominatorem apponibilem dignitatibus Avel B . Dico primo , A & B n, praeterea A n & B n , habere mensuram communem diuersam ab unitate: si A&B ha
Dico securulo,neque Α & B n . neque A n et B n , h bere mensiiram diuersam ab unitate: si A et B non habeant
Demonstratur prima pars primae assertionis . Per hypothesim A et B habent mensuram diuersam ab unitate :ergo per prop. s. etiam, B in B et A, hoe est B x et A, li bent talem menturam:sed per hypothesim, etiam A et B h bent talem menseram: ergo per prop. Atiam Ba in B et A. hoc est B 3 et A, habent talem mensuram: atqui per hypothesim , A et B etiam habent talem mensuram: ergo perprop. 3 .etiam B s in B et A: hoc est B et A habent talem mensuram. Simili planὸ argumento patet, B s et A, item B s et A , atque ita de caeteris dignitatibus B, quemcunque
denominatorem habentibus, atque adeo B net A, habere communem mensuram diuersam ab unitate. Vt dicitur in prima parte primae assertionis. Demonstratur secunda pars,primae assertionis. Per primam partem A et B a, habent communem mensuram diquersam ab unitate: ergo per prop. s. etiam A m A et B ahoc est A 2 et B x habent talem mensuram. Rursus, quia is iam
53쪽
8 Epist.IV De Commensiirabilibus
iam constat A 2 et B L habere communem mensuram diuersam ab unitate, per prop. F. etiam A 2 A et B et, hoc est A 3 et B et, habent talem mensuram communem: igitur perprop. 3. etiam A 3 et B a in B, hoc est A 3 et B a , habent talem communem mensuram. Rursus, quia iani constat A 3 et B 3 habere communem mensuram diuersam ab unitate, perprop. s. etiam A 3 in A et B 3 , hoc est A et B 3 , habent talem mensuram communem: igitur perprop. 3. etiam A A et B 3 in B , hoc est A q et B habent
talem mensuram communem. Simili plane argumento patet de reliquis dignitatibus A et B quemclinque, sed tamen eumdem denominatorem habentibus , quod habeant mensuram communem , diuersam ab unitate: adeoque constat A n , et B n habere mensuram communem diuersam ab unitate. Vt dicitur in secunda Parte primae asi
Demonstrariir prima pars, secundae assertionis. Per hypothesina A et B non habent mensuram communem diue sam ab unitate: ergo per propi s. etiam A et B in B, hoc est A et B L, non habent talem mensuram communem. Ru sus quia iam constat A et B a non habere mensuram communem diuersam ab unitate , et insuper per hypothesim A etB non habeat talem mensuram : per prop. F. patet A et B L in B,hoc est A et B 3 non habere talem mensuram communem. Rursus, quoniam constat A et B 3 non ha. bere mensuram communem diuersam ab Vnitate, et insuper per hypothesim Aet B non habent talemmensuram csimunem,per prop. .Patet Aet B 3 in B, hoc est A et B in non habere talem mensuram . Simili plane argumento patet
54쪽
Et incommensi irabilibus quantitatiae gy
patet de reliquis numeris signiscatis a dignitate B , cum ap-r
posito quouis denominatore, inter qui s luene atque adeo .constat A B n, non liabere mensuram communem diuersam ab unitate. Vt dicitur in prima parte secundae allar-tionis. Demonstratio secundae partis, secundae assertionis. Per praecedentem partem A&B2, non habent mensurana communem diuersam ab unitate: ergo per prop. 3. ctaam A iis A BE, hoc est A et Se B non habent talem mensuram communem. Ruisus quia iam constatA a Sc B a non habere mensuram i 5 nunem diuersam ab unitate,de insuper per praecedentem partem,A de B a non laabciat talem mensu
non habere talem mensuram communem : sed etiam per
priorem partem A s N B, non habent talem mensuram communem: ergo per prop. I. parci A 3 & B et in B, hoc A 3 B 3 non habere talem mensuram communem . Rursus, quoniam iam constat A 3 N B 3 non habere mens iam communem diu casam ab unitate, S insuper per praecedentem panem A & B 3 non habent talem mensuram communem: per prop. s. parci A 3 in A&B3 hoc est A N B 3 non habere talem mei isseram communem: sed per priorem partem etiam A ' Se B non habent talem communem nacLsuram : crgo per prop. 3, patet A & B 3 in B, hoc est A AE N B , non habere talem mensurana. Simili prorsus argumento patet de rei quis, hoc est de dignitatibus A dic B , qualemcunque, sed tamen eumdem denomia
natorem habentibus , quod non habeant communem Inen-
stram diuersam ab unitate: adeoque A n N B n non habe-
55쪽
so Epist. IV. de commensurabilibus
remensuram communem diuersam ab unitate. Vt dicitur, in secunda parte secundae assertionis .
LItterae A B, singillae repraesentent vulgarem inte
Dico primo, S praeterea aequari integro vulgari numero: si se aequatur integro vulgari numero. Dico secundo, neque u neque ζ' aequari integro vulgari numero: si non aequatur integro vulgari numero . Demonstratiar prima pars. Per hypothesim alicui vulgari integro E:ergo B in E-A C, A in I: ergo Iad Em: BA: ergo sngulos harum proportionum terminos, tO- .ries in seipsos ducendo ut singuli habeant denominatorem Π, ctiam. I ad En Bn ad An: sed quoniam E est integer Vulgaris, patet et metiri E, M per 3. axioma, E metitur E n, adeoque per primum axioma, I metitur E n: ergo B n merit ur An: ergo integro numero. Praeterea, quia B nmetitur An, per 3. axioma , B metitur B n e etiam per primum automa, B metitur Aia: ergo etiam integro; igitur N υ integro, atque etiam-m integro numero. t asseritur in prima parte .i Detmonstratur secunda pars. Per hypothesim B non metitur A: ergo per prop. etiam B non metitur A in A hoc est A 2: igitur si neque metitur A neque metitur A 2 :'ergo per prop. C. etiam B non metitur Ain Aa hoc est A 3 : igitur B neque.metitur A neque metitur A 3 : ergo per GProp. B non metitur Ain A 3, hoc est A q.Lodem pr 9rsus discursu
56쪽
Et incommensurabilibris quantit tib
discursi patet B non metiri A 3, vel A 6, vel A &c. adeoque B non metiri A n. Praeterea quia B metitur B , per axioma patet B metiri B n: igitur si B n metiretur An per primum axioma etiam B metiretur An: sed iam ostensum est B non metiri An: igitur Bn non metitur A n: constat igitur neque B metiri A n, neque Bn metiri An, si B non metitur A: ergo neque u neque aequatur integro vulgari numero, si h non aequetur intesro vulgari nae mero . Ut dicitur in secunda parte.
Corollarium. EX secunda parte propositae propositionis patet, quod
nullus vulgaris numerus non aequivalens integro
semel aut saepius in se ductus, possit producere numerum aequivalentem vulgari integro. Quiliscunque enim numerus vulgaris sit Κ, qui non aequivaleat integro, manis stum est dari posse vulgarem fractionem simplicem e , ita ut o K: quodque etiam fractio ἰ non aequabitur vulgari integro, adeoque per secundam partem propositae pro positionis, ed non aequabitur vulgari integro: sed ου nihil est aliud quam fractio , semel, aut saepius in seducta, siue numerus Κ semel, aut sepius in se ductus : ergo numerus Κqui non aequivalet integro, etiam semel, aut sepivs in se ductus non aequivalet intUro . Pro
57쪽
IU. De commenserabilibus, Propositio IX.
LIttera A repraesentet quemlibet numerum vulgarem integrum; ita tamen, ut R n A, non aequetur vulgari integro numero, Dico, Rn WA, non esse exprimibilem ullo numero vulgari. Constructio. R n A αα B. Demonstratio. Per constructionem R n A π: B: ergo per hypothesina, B non vulgari integro numero: sed quoniam per prop. 8. vel eius corollarium , nullus numerus vulgaris non aequivalens integro, semel aut saepius in seductus, producere potest numerum aequivalentem integro: tametsi per ipsam constructionem fatis pateat quantitatem B, aliquoties in se ductam producere numerum A; patet qua titatem B non numero vulgari fracto qui non aequivaleat
vulgari integro:et tamen non est posiIbilis numerus vulgatis diuersus ab iis qui aequivalet,vel no aequivalent integro:ergo B non aequatur vlli numero vulgari: sed per constructionem Rn m A m B: ergo R n R A non aequatur vlli numero vulgari: ergo Rn A non est exprimibilis ullo numero vulgari. Quod eratdemonstrandum.
Q uis proportio X-Z expressa sit quibuscunque numeris vulgaribus, qui snguli integri non
58쪽
Et incommensarabilibus qiuantitatib'
Dico, possibiles esse duos numeros vulgares integros , habentes eamdem proportionem, quam X habet ad Z . Nota, ex ipso conceptu numerorum quOS vulgares apis pellamus satis patere, omnes numeros vulgares compositos constare ex integris vulgaribus signo ' aut , vel certe particula in aut per connexis. Iam vero ex primis Logisticae nostrae fundamentis manifestum est, quomodo huiusmodi numeri compositi reuocari possint ad sinplices ipsis aequiualentes: quare etiam patet dato cuiuis composito vulgari numero , aequivalentem vulgarem numerum smplicem, esse possibilem ; Ze consequenter in sequenti constructione nihil supponimus quod non sit manifeste possibile. Constructio. X τ, praetarea Z sntque singuli numeri οὐ Se k vulgares simplices. Demonstratio. Per Corollarium theot. q. partis 4. idear Logisticae, Ain Κ ad Fin Κ AF: ergoρει--ν . Similiter B in F ad K in F B-Κ ; ergo etiam , c: -- .
igitur ὁμῆ α - , ad pH: sed per Corollarium theor. 4. partis q. ideae Logisticae etiam, Nod Ain K ad B in Frergo P ad ψ A in K ad B in F : sed quoniam per constructionem numeri 2 singuli sunt simplices atque vulgares, patet singulos numeros A, B, ΕΚ, esse vulgares integros, adeoque Ain Κ π: alicui vulgari integro M, item B tu F-alicui vulgari integro Ne ergo Ἀ- ad mMadmatque proportio M ad N est expressa vulgaribus integris numeris: sed quoniam per constructionem X -ν, item Z - , v ad a X ad Z : ergo etiam X ad Z m Mad N, atque proportio M ad N est expressa integris vulgariabus numeris: patet igitur possibiles esse duos numeros vulgares
59쪽
Epist. IV. De commenserabilibus
gares integros, habentes eamdein proportionem quam nu merus X habet ad numerum L. Quod erat demonstran
O Valescunque quantitates repraesentent singulae litterae
A, B, D; ita tamen Vt radix n, numeri D, non si exprimibilis ullo numero vulgari:ac praeterea Ain Bm perD: supposito quod denominator na, unitate maior sit denominatore n; sue quod R n A m m A. Dico proportionem A ad B exprimi non posse ullis numeris vulgaribus; adeoque quantitates A & B esse inter se in commensurabiles.
Constructio. Am ad Bm 1 ad Cm: Demonstratio. A m ad B in x-C m: sed quoniam per hypothesim A m B m per D , patet A m peri raBm per D , adeoque Amad I B in ad D, S: permutando A m-B m zz I ad D : ergo I ad C mm 1 ad D tergo D m C m: ergo Rn D Ria ν Cm: atqui per hypothesim Rn D, non est exprimibilis ullo vulgari numero : ergo R n C m, non est exprimi bilis ullo vulgari numero e sed R n . R C m C: ergo C non potest exprimi ullo vulgari numero: sed quoniam per constructionem A m ad Bm i, mi patet A ad B I ad C: ergo ex quatuor terminis discretim proportionalibus A, B, i, C , vltimus Cnon potest exprimi ullo vulgari numero, licet penultimus si vulgaris numerus , nimirum unitas vulgaris ; sed quoties tres termini dati A, B, 3, singuli sunt vulgares numeri,
60쪽
Et incommensurabilibus quantitatib8-
ex regula aurea patet inuenibilem esse quartum terminues proportionalem, qui sit vulgaris numerus: ergo ex duobus terminis A et B constituentibus proportionem A ad B, aliquis non est exprimibilis ullo numero vulgari: ergo pro portio A ait B non est exprimibilis ullis numeris vulgatibus . Quod erat demonstrandum.
EIusdem quadrati latus et diameter, sunt quantitates, inter se in coriarnensurabiles. Sive supposito quod alia cuius quadrati latus sit X ; atque eiusdem quadrati diametersit Z: impossibile est dari duos numeros vulgares A et Biita ut A adB X-Z. Demonstratio: Per Theor. q. cap. 3. partis 3. ideae, patet a Xa Z x: ergo X αα Laperet: s ed numerus et est integer, et tamen non habet radicem primam exprimi- bilem per numerum vulgarem integrum, Ut satis patet: ergo per propos s. numerus integer 2, non habet radicem primam exprimi bilem per ullum numerum Vulgarem: essio per propos Ir. proportio X ad Zexprimi non potest ullis numeris vulgaribus: ergo impossibile est dari duos numeros vulgares A et B, iti ut Am X ad Z. Quod erat demonstrandum.