장음표시 사용
101쪽
mus hic qui semper est idem j o, 361ii, 1688 . Summa erit togarithmus numeri qui spatium D EvBAD designabit, tribus rectis& curva D A B comprehensi , in partibus qualium parallelogram-mum DC est ioco oo,ooocio. Vnde porro facile quoque habebitur area portionis D A B.
Sit ex. gr. proportio D E ad B V ca quae 36 ad 1. Ab i, 1163o, 13oo8, logar . 36. auferatur o, 69897, COO s. logas'. F. iErit o, 81733, i 961. disser. log ' ' .9, 93Si , 9:816. logar . differentiar. Cui addatur o, 36121, 36887. logar'. semper addendus. Fit io, 29s36, 97 3. logar '. spatii D E v B A D. Habebit hujus logariti mi numerus ii characteres, quum characteristica sit io. Quaeratur itaque primo numerus proxime minor, conveniens invento togarithmo, qui numerus est 197 o. De inde ex differentia togarithmi ejusdem, & proxime eum in tabula. sequentis, reliqui characteres eliciantur 8ior 6, scribendi post priores, ut fiat 197 o8,io26o, addito ad finem etero, ut cisciatur numerus characteriam ii. Est ergo area spatii D E v n A D proxime partium i97 o8,io26o, qualium partium parallelogrammum D c
LIneas curvas exhibere quarum evolutione ellipsis shypedola de ibantur, ne sique inzenire ii em cum
vis aquales. Sit ellipsis vel hyperbole quaelibet A B, cujus axis transversus A c; centrum figurae D; latus rectum duplum ipsius A L. Et sum pto in sectione quovis puncto, ut B, applicetur ordinatim ad axem recta n x , & ad dictum punctum B tangens ducatur quae conveniat cum axe in F ; sitque B C ipsi F B perpendicularis, axique Occurrat in C ; & producatur B G usque ad H, ut B Had H o habeat rationem eam quae componitur ex rationibus C r ad pK, S: A D ad D E. Dico curvam E A M , cujus puncta omnia inveniuntur codem
modo 'luo punctum H, esse eam cujus evolutione, una cum secta E A , describetur sectio A B. Ipsam autem B H tangere curvam in
102쪽
go CHRISTIANI HVGENII., cies xuis H, & esse toti H E A aequalom. Quamobrem, si ab H B auferatur L Mis: : aui. reliqua recta portioni curvae H E aequabitur. Apparet autem, cum curvae puncta quaevis indifferenter, certaque ratione inveniantur, csse eam utrobique ex earum genere, quae mere geometricae censentur. Unde & relatio horum omnium punctorum ad puncta axis A C, aequatione aliqua exprimi poterit, quam aequationem ad sextam dimensionem ascendere invenio; minimumque habere ter-
minorum, si fuerit A B hyperbola cujus latera transversum reman que aequalia. Tunc enim ducta ex quovis curvae puncto, ut H, ad axem C A N perpendiculari H N; vocataque ΑC,a; CN,x;&NH, I , erit semper cubus ab x xy -a a aequalis 27 xx a a. Sed hoc casu brevius quoque multo, quam praedicta construmpne, curvae E H M puncta repcriri pollunt, ut in sequentibus ostendetur. Caeterum notandum est, in ellipsi singulos quadrantes singularum linearum evolutione describi; sicut quadrans A B L evolutione lincae A E H M, quadrans C Levolutione similis huic oppositaec o M. Est enim haec in sectione utraque diversitas, quod cum
Drincipium quidem curvae E H M , tam in ellipsi quam in hyper-ola, sit punctum Ε, sumpta A E aequali lateris recti; in lir per-bpla in infinitum inde dicta linea extenditur, at in ellipsi finitur
103쪽
Ponatur jam inventa; & quoniam tangentes omnes curvae D E, necesse est occurrere lineae ABF, G evolutione descriptae, ad angulos rectos; patet quodue vicissim eas quae ipsi A B p ad rectos angulos insinunt, ut a D,pE, tacturas evolutam C D E.
in puncto axis minoris M, sumpta L M aequali lateris recti, secundum quod possunt ordinatim applicatae ad dictum minorem axem. Namque hos terminos esse hujus curvae, facile apparebit ortum ejus consideranti, quodque in ellipsi est sicut A D ad D Ε, ita L M ad M D. Horum autem demonstrationi non immorabimur, sed aci ipsam methodum tradendam pergemus, qua di hae curvae ex sectionibus conicis, & aliae innumerae ex aliis quibuscunque datis inve
DAta linea cureta, invenire aliam cujus evolutione ista de ibatur; f ' ostendere quod ex unaquaque cumva geometrica, alia curva ilia geometrica existat, cui re
cta linea aqualis dari possit.
Sit curva quaepiam, vel pars ejus, in partem unam inflexa ABF,&recta K L, ad quam puncta omnia referantur; & oporteat invenire curvam aliam, ut D E, cujus evolutione ipsa ABF describatur.
104쪽
Intelligantur autem puncta B, r , inter se proxima; & si quidem
αν--iοαι. a parte A evolutio incipere ponatur, ulteriusque inde distet p quam B , etiam contactus E ulterius quam D distabit ab A; intersectio vero rectarum B D , F E , quae est G , cadet ultra punctum D in recta B D. Nam concurrcre ipsas B D, F E necesse est, cum curvae E p ad partem cavam insistant rectis angulis.
Quanto autem punctum F ipsi B propinquius fuerit, tanto propius quoque puncta D , G & E convenire apparet; ideoque, si interstitium B F infinite parvum intelligatur, tria dicta puncta pro
uno eodemque erunt habenda; ac praeterea, ducta recta B H, quae curvam in B tangat, eadem quoque pro tangente in F censebitur. Sit B o parallela Κ L , & in hanc perpendicularcs cadant B κ, p L: secetque I L rectam B o in P, & sint puncta notata M, N, in quibus rectar, B D, FE, occurrant ipsi K L. Quia igitur ratio Boad C M est eadem quae B o ad M N , data hac dabitur & illa; & quia recta B M datur magnitudine ac positione,dabitur & punctum C in producta B M , sive D in curva CDE, quia C&Din unum convenire diximus. Datur autem ratio B o ad M N; simpliciter quidem in Cycloide,ubi primum omnium illam investigavimus, invenimus rue duplam; in aliis vero curvis, quas hactenuS examinavimus, peruarum datarum rationum compositionem. Nam quia ratio B oad M N componitur ex rationibus B O ad B P , sive N H ad L A , &ex B p sive κ L ad M N ; patet si rationes hae ut que dentur, etiam ex iis cόmpositam rationem B o ad M N datum iri. Illas vero dari in omnibus curvis geometricis, in sequentibus patebit;ac Proinde iis semper curvas adsignari posse, quarum evolutione describantur, quaeque ideo ad rectas lineas Lint reducibiles. Ponatur primo parabola esse A B F , cujus Vertex A , axis A Q. Cum igitur lineae B M , F N , sint parabolae ad angulos rectos; ductaeque sint ad axem A c perpendiculares ΒΚ, FL, erunt, ex proprietate parabolae, singulae M κ, NL dimidio lateri recto aequales; & ablata communi L M, aequales inter se KL, M N. Hinc, quum ratio B Gad G M componatur ex rationibus N H ad H L , & Κ L ad M N , uti dictum fuit, sitque earum posterior ratio aequalitatis; liquet rationem B G ad G M fore eandem quae N H ad ri L , & dividendo, B M ad M C, eandem quae N L ad L H, sive M K ad K na m L H, Κ Hpro. eadem habentur, propter propinquitatem punctorum B, F. Da. in autem est ratio M K ad K H, dato puncto B; quoniam tam M Κ, quam K H dantur magnitudine; nam M K aequatur dimidio lateri recto , KH vero duplae K A. Dataque cita istest positione α magni-
105쪽
tudine recta B M. Ergo & M o data erit. adeoque & punctum G, R
live D, incurva RD E; quod nempe invenitur producta B M usque a o tiosi
in o , ut sit B M ad MG sicut ' lateris recti ad duplam κ A. Et sic quidem, adsumptis in parabola A B s aliis quotlibet punctis praeter B, totidem quoque puncta lineae RDE, simili ratione, invenientur; atque hoc ipso lineam R D E geometricam csse constat , unaque proprietas ejus innotescit, ex qua caeterae deduci possunt. Vt si inquirere deinde velimus, quanam aequatione exprima tur relatio punctorum omnium curvae CD E ad rcctam A nducta in hanc perpendiculari D ua vocatoque latere recto parabolae ABF,a; AK, b; A Q, x; Quoniam ratio B M ad M D, hoc est, Κ M ad M Q. est ea quae ἱa aditi, estque ipsa ΚM Μ -a, erit & M aequalis 1 b Est autem M A , leta b. ergo A Q sive x aequalis 3 b - a.
Unde b Μ π x -ia. Porro quoniam, sicut 'uadratum M K , hoc est, ; a a ad quadratum L n , noc est, a b, ita qu. M ui hoc est, b b d qui QD; erit qu. Q D, sive ia k Vbi, si in locum b substitua tur i x - a, quod illi aequale inventum est, fieIII di i 6 cub. l x- a divisis peris. Ac proinde aυ γ cubo ab χ - ia. Accipiatur A Rin axe parabolae rus: a; eritque R . x- : a. Curvam igitur C D ejus naturae esse liquet, ut semper cubus lineae Ruaequetur parallelepi-l edo, cujus basis qu. QD, altitudo a ; ac proinde ipsam parabo- Oidem esse, cujus evolutione describi parabolam A B supra ostendimus; cujus nimirum paraboloidis latus rectum aequetur lateris recti parabolae A n. tunc enim hujus latus rectuna aequale fit lateris recti paraboloidis, quemadmodum ibi fuit definitum.
106쪽
Quomodo porro ratio o B ad B P , sive N H ad H L , non tantum cum A s p parabola est, sed etiam alia quaelibet curva geometri ca , semper inveniri possit manifestum est. Quoniam tantum retacta F Η ducenda est, quae curvam in adsumpto puncto F tangat, der u ipsi F M perpendicularis : unde NH α datae crunt, ac proinde ratio quoque earum data. At non aeque liquet quo pacto ratio κ L ad M N innotescat, quam tamen semper quoque reperiri posse sic ostendemus. Sint rectae K T, L V, perpendicularcs super K L, sitque R T aequalis K M, dc L v aequalis L N, de ducatur V X parallela L N, quae occurrat ipsi x T in x. Quoniam ergo semper cadem est differentia duarum I. K , N M , quae duarum L N , Κ M , hoc est, quae duarum L v, Κ T ;cst autem differentiae ipsarum L v,κT aequalis X T , de X v ipsi L κ; erit proinde N M aequalis duabus simul v x, X T, vel ei quo v x ipsam x T superat. Atque adeo, si data fuerit ratio v x ad X T , data quoque erit ratio v x ad utramque simul v x, XT, vel ad excessum v x s upra X T , hoc est , data erit ratio v x sive Lx ad N M. Scicndum est autem, quoniam K T ipsi K M , de L v ipsi L N, aequales sumptae sunt, locum punctorum T , v, fore lineam quandam vel rectam vel curvam datam, ut mox ostendetur. Et siquidem sit linea recta; ut contingit si AB p conisectio fuerit, de Κ Laxis ejus; constat rationem v X ad X T datam fore, data positione ipsius lineae v T, quae locus est punctorum v, T ; semperque ea n -
107쪽
dem tunc haberi dictam rationem, qualecunqus fuerit intervallum Κ L.
At si locus alia linea curva fuerit, diversa erit ratio v X ad XT, prout majus minusve fuerit intervallum K L. Inquirendum est autem quaenam futura siit ista ratio, cum K L infinite parvum imaginamur, quoniam & puncta B, F, proxima invicem posuimus. Si militer itaque & puncta v , T , lineae curvae minimam particulam intercipere intelligendum est; unde recta vT, cum ea quae in Tcurvam contingit, coincidet. Sit ergo tangens illa T Y ; potest cnim duci quoniam curva, ad quam sunt puncta T , V, geometrica est. Ratio igitur Y K ad K T data erit, adeoque & v X ad X T. ex qua ctiam rationem L M ad N M dari ostendimus. Quaenam vero sit linea ad quam sunt puncta T , v, invenitur ponendo certum punetiam s in recta KL, & Vocandos Κ, x; ΚΤ, . Nam quia data cst curva A B F , eique B M ad angulos rectos du cta, invenietur indenuantitas lincae K M, Per methodum tangentium a Cartesio traditam, quae ipsi x T , sive t aequabitur, & cx ea aequatione, natura curvae T v innotescet, ad quam deinde tangens ducenda est. Sed clariora omnia fient sequenti exemplo. Sit A B p paraboloides illa, cui superius rectam aequalem invenitamus; in qua nempe cubi perpendicularium in rectam s x, sint inter se sicut quadrata ex ipsa s x abscissarum. Et oporteat invenire curvam CDE cujus evolutione paraboloides s B F describatur. Hic primum ratio B o ad n P facile invenitur, quia tangentem
paraboloidis in puncto B duci scimus, sumpta s H aequali s K. Cui tangenti cum B M ad angulos rectos insistat, dantur jam lineae
M H , Η Κ , ac proinde earum inter se ratio, quae est eadem quae o nad B P. Vt autem ratio Ap, sive R L ad M N innotescat, ponantur ad x L
perpendicularcs rectae R T, tu, aequales singulis Κ M , L N , sitque v X parallela L R. lam quia ex duabus simul Κ L , L N, aut rendo K M , relinquitur M N; hoc est, auferendo ex duabus X v, v L, sive X v, X K, ipsam K T ; hinc autem relinqui apparet V X & X T :erunt igitur hae duae v x, x T ipsi M N aequales , ac proinde ration L ad M N eadem quae v x ad duas simul v X, X T. Vt autem haec ratio innotescat cum intervallum x L est minimum; oportet secundum praedictit inquirere quis sit locus, sive linea ad quam sunt puncta T , v. Quod ut fiat sit latus rectum paraboloidis ABFrua;
Quia igitur proportionales sunt K H , Κ Β , Κ M , estque H K M
108쪽
Αd constructionem autem brevissimam hoc pacto hic perveniemus. ΚΥ sive κ M dicta fuit . Itaque M H crit 3 -Φ x. Et M H ad H Κ, sive o Bad BP,ut γ - : xad : x. 1ive,sumptis omnium duplis, ut 3 ac ad 3 x. Deinde quia YK, 3 x, erit Y κ ad YK 'ΚΤ, sive per praedicta, KLad M N, ut 3 a: ad 3 x - γ. Atqui ex rationibus o B ad B P,& K L ad M N, componi diximus rationcm B D ad D M. Ergo ratio B D ad D M crit composita ex rationibus 1 '3 x ad 3 x, S 3 x ad 3 x 'I;idcoque erit ea quae Σθ - 3 x ad 3 x - . & dividendo,ratio B M ad Μ D , cadem quaea ad 3 x 'I. Sit s et perpendicularis ad s κ, eique occurrat M B producta in Z.
'r' 'S'' laeuis punctorum T , v, esse paraboloidem illam, quam cubic mvocant geometrae. Cui proinde ad T tangens ducetur, sumpta s Y dupla ipsius f K , iunctaque YT. Et jam quidem ratio v x ad duas simul v x,X T,quam diximus candem esse ac κ L ad M N,crit ea quae v x ad utramque simul YK, ΚΤ. Haec autem ratio data est, ergo de ratio Κ L ad M N. Sed & rationem o B ad p B datam esse ostensum est. Ergo, cum ex duabus hisce componatur ratio B D ad D M, ut supra patuit, dabitur & haec; & dividendo, ratio B M ad M D ; adeoque de punctum D in curva D E.
109쪽
Quia ergo ratio B M ad M D inventa est ea quae 3 ab - 3 hoc est hi
MB-3 BZ: erit proinde M Bad M D ut M B ad MB-3 BZ Vnde liquet M D aequalem sumendam ipsi MB--3BE. Atque ita quotlibet puncta curvae C D E invenire licebit. Cuius curvae portio quaelibet ut D s, rectae D B , quae paraboloidi s A B ad angulos rectos occurrit, aequalis erit. Constat autem geometricam esse, &si velimus, possumus aequatione aliqua relationem exprimere punctorum omnium ipsius ad puncta axis s K.
Simili modo autem, si inquiramus in paraboloide illa sive parabola cubica, in qua cubi ordinatim applicatarum ad axem, sunt inter se sicut portiones axis abscisae, inveniemus curvam cujus evolutione dei cribitur, quaeque proinde rectae lineae aequari poterit, nihilo dissiciliori constructione per puncta determinari. Nam si fuerit illa sAn; axis s M ; dicitur autem improprie axis in hac curva, cum forma ejus sit ejusmodi, ut ducta s et, quae secet s M ad angulos rectos, ea portiones similes curvae habeat ad partes oppositas; agatur per punctum quodlibet B, in paraboloide sumptum,
recta B D,quae curvam ad angulos rectos secet, axique ejus occurrat in M, rectae veros et in Z. Deinde sumatur F D aequalis dimidiae BM, ima cum sesquialtera B E. Eritque D unum e punctis curvae quaesitae R D vel R I, cujus evolutione, juncta tamen recta quadam R A, describetur paraboloides s A B. Sunt autem hic, quod notatu dignum est,quodque in aliis etiam nonnullis harum paraboloidum contimgit,auae evoluti nes in partes contrarias,quarum utraque a puncto certo A initium capit; ita ut evolutione ipsius A R D , in infinitum porro continuata, describatur paraboloidis pars infinita A B F; GO-lutione autem totius p Π Κ, similiter in infinitum extenta, tantum particula A s. Punctum autem A definitur, sumpta s pquae sit ad
110쪽
. latus rectiam paraboloidis, sicut unitas ad radicem quadrato-yadraticam numeri Via21, is cubus est ex 41ὶ applicataque ordinatim p A. Vnde porro punctum R,confinium duarum cumarum R RI, invenitur sicut caetcra omnia harum curvarum, hoc est, sicut punctum D modo inventum fuit. Denique, quaecunque fuerit ex paraboloidum genere curva s A B, semper aeque facile curvam aliam, cuius evolutione ipsa describatur, quaeque propterea rectae adaequari possit, per puncti inveniri comoerimus. At Que adeo constructionem universalem sequenti
Sit s B parabola, vel paraboloidum aliqua, cujus vertex s; recta s K vel axis, vel axi perpendicularis, ad quam referuntur aequatione puncta paraboloidis; & ipsa quidem s Κ semper ad partem cavam ducta intelligitor; cui perpendicularis s et . Ponendo jam S Κ x x; BKAI, quae a puncto quovis curvae perpendicularis est ipsi sK;&latere recto curvae , a, prior pars tabellae, quae ad sinistram est, naturam singularum paraboloidum singulis aequationibus explicat. Quibus respondent in parte dextra quanistates lineae B D , quae t icurvae s A B insistat ad angulos rectos, exhibitura sit punctum Din