장음표시 사용
71쪽
punctum N ita sumptum. unde quidem tempus per B E post N n i μmajus erit tempore et , majoremque proinde rationem nabebit ad tempus dictum per B i cum dimidia celeritate ex ΒΘ, quam
arcus p H ad rectam p G. Habeat itaque eam quam arcus p H oad rectam F G. Dividatur p C in partes aequales P P, P Sc. quarum unaquaeque minor sit altitudine lineae N B, atque item altitudine arcus M o; hoc enim ficri poste manifestum eis; & a punctis divisionum agantur rectae, basi D C parallelae, & ad tangentem B O terminatae P Λ, M, Sc. Quibusque in punctis hae secant circumferentiam F H , ab iis, itemque a puncto H , tangentes sursum ducantur usque ad proximam quaeque parallelam, velut Δα, ΠΣ &c. Sinai litor vero & a punctis, in quibus dictae parallelae Cycloidi occurarunt, tangentes sursum ducantur velut s v , T M &c. addita vero ad rectam F C parte una G R aequali iis quae ex divisione, ductaque R o parallela similiter ipsi D C , patet eam occurrere circumfercniariae F H A inter H & o , quia C R minor est altitudine puncti A supra o. Iam vero sic porro argumentabimur. Tempus per tangentem v s cum celeritate aequabili quae acta quireretur ex B s , majus cst tempore motus continue accelerati per arcum B s post N B. Nam celeritas ex B s minor est celeritate ex N B , propterea quod minor altitudo B s quam N B. At celeritas ex B s aequabiliter continuari ponitur per tangentem V s, cum ccleritas acquisita ex N B continue porro acceleretur per arcum B s, qui arcus minor insuperest tangente v s, Omnibusque partibus suis magis erectus quam ulla pars tangentis v s. Adeo ut omnino majuS ut futurum tempus per tangentem V s cum ccleritate Cx B S, tempore per arcum B s post N B. Similiter tempus per tangentem M Τ, cum celeritate ex B Τ, majus crit tempore per a cum s T post N s, & tempus piat tangentem n Y cum celeritate ex B Y,majus tempore per arcum T Y post N T. Atque ita icmpora mo tuum aequabilium per tangentes omnes usque ad infimam quae tangit cycloidem in E , cum celeritatibus per singulas quantae acquiruntur cadendo ex B adusque punctum ipsarum contactus, majora simul erunt tempore per arcum A E post N B. Eadem vero Mminora essent, ut nunc ostendemu S. Considerentur enim denuo tempora eadem motuum aequabilium per tangentes cycloidis. Et est quidem tempus per tangentem V s cum celeritate ex B s, ad tempus per rectam B Λ cum celeritate dimidia ex F A, ut tangens circumferentiae Δ X ad partem
72쪽
axis p P . Similiterque tempus per tangentem M Τ , cum celeritate ex B T , ad tempus per rectam Λ E cum cadem dimidia celeritate ex F Α , ut tangens r Σ ad rectam P Atque ita deinceps singula tempora per tangentes cycloidis , quae sunt eadem supradictis, crunt ad tempora motus aequabilis per partes sibi respondentes rectae B I cum celeritate dimidia ex ΒΘ, sicut tangentes circumferentia: p H , iisdem parallelis comprehensae, ad partes rectae v c ipsis respondenzes. Sunt igitur quantitates quaedam rectae F P , P Q c. & totidem aliae, tempora scilicet quibus percurruntur rectae B Λ, Λ Σ&c, motu aequabili cum celeritate dimidia ex B Q; Et unaquaeque quantitas in prioribus ad sequentem eadem proportione refertur, qua unaquaeque posteriorum ad suam sequentem ; sunt cnim utrobique inter se aequales. Quibus autem proportionibus priores quantitates ad alias quasdam, nempe ad tangentes circuli Δ X,r Σ, &c, referuntur, iisdem proportionibus & eodem ordine potasteriores quoque referuntur ad alias quasdam, nempe ad tempora motus qualem diximus Per tangentes cycloidis Vs,MT &c. Ergo, sicut se habent omnes simul priores ad omnes eas ad quas ipsae referuntur, hoc est, sicut tota F G ad tangentes omneS π Δ , Γ Σ,&c. ita tempus quo percurritur tota B i cum celeritate dimidia cxBO, ad tempora omnia motuum quales diximus per tangentes cycloidis v s, M T , &c '. Et invertendo itaque, tempora motuum dictorum per tangentes cycloidis, ad tempus per rectam B I cum celeritate dimidia cx Η Θ, candem rationem habebunt quam dictae tangentes omnes circumferentiae F H ad rcctam F G ; ac minorem proinde quam arcu S F Ο ad rectam eandem F G ; quia arciis F Φ, ideoque omnino & arcus p o maior est dictis omnibus arcus
F H tangentibus ' Atqui tempus per B E post N B , ad tempus per
B I cum celeritate dimidia ex n Θ, posuimus esse ut arcus F o adrectam F G. Ergo dicta tempora omnia per tangentes cycloidis minora simul erunt tempore per B E post N B , cum antea majora esse ostensum sit ; quod est absurdum. Itaque tempus per arcum cycloidis B E, ad tempus per tangentem B I, cum celeritate dimidia ex B Q vel cx F Α , non habet majorem rationem quam arcus circumferentiae F H ad rectam F G.
Habeat jam, si potest, minorem. Ergo tempus aliquod majus tempore per arcum B E , sit hoc tempus et) erit ad tempus dictum
per B I, ut arcus F H ad rectam F G.
Quod si jam sumatur arcus N M aequalis altitudine cum arcu B
73쪽
Dividatur jam p C in partes Uuales F P , P &c. quarum unaquaeque minor sit arcus cycloidis B N altitudinc, itemque minor altitudine arcus circumferentia: O ;& addita ad F G una earum
partium C ducantur a punctis divisionum rectae basi o c parat telae , & ad tansentem B Θ terminatae, P o , Q c , &c; itemque a puncto crectas quae secet cycloidem in v , circumferentiam in , quibusque in punctis ductae parallelae secant circumserentiam p H , ab iis tangentes deorsum ducantur usque ad proximam quaeque parallelam, velut θ Δ, Γ Σ : Quarum infama a puncto A ducta occurrat rectae ζ n in X. Similiter vero &a punctis, in quibus dictae parallelae occurrunt cycloidi, ducantur totidem tangentes deorsum, velut s Λ, Τ Σ, Δ c. quarum infima, tangens nempe apuncto E ducta, occurrat rectae in ii.
Quia igitur p aequalis cis p C altitudini arcus B E , cui aequalis est ex cons fructione altitudo arcus N M , crit 6 Ρ aequalis altitudini arcus N M. fit autem recta P ci ex constructione superior re
Ε, sed cujus terminua superior N sit humilior puncto B , crit tempus per arcum N M majus tempore per arcum AE'. Manifestum autem quod punctum N tam propinquum sumi potest puncto B,ut differentia dictorum temporum sit quamlibet exigua, ac proinde minor ea qua tempus E superat tempus laer arcum Η Ε . Sit itaque punctum N itas impium. Unde quidem tempus per N M minus erit tempore g, habebitque proinde ad dictum tempus per B I,cum
dimidia celeritate ex B o, minorem rationem quam arcus F H ad rectam F G. Habeat ergo eam quam arcus L H ad rectam F G.
74쪽
D. M. xii in mino N. Ergo & Q, dc in ea punctum v, superius termino M. 'U' ' Quare, cum arcus s v aequalis sit altitudinis cum arcu N M, sed termino s sublimiore quam N, crit tempus per s v brevius tem
Atqui tempus per tangentem s Λ , cum celeritate aequabili ex B s, brevius est tempore descensus accelerati per arcum s T , incipientis in s. Nam celeritas ex B s, qua tota s Λ transmissa ponu Prop. a. hui tur, aequalis est cellaritati ex s T ', quae motui per arcum s T in fine demum acquiritur; ipsaque s Λ minor est quam s T. Similiter tempus per tangentem T a , cum celeritate aequabili ex B T, brevius est tempore descensus accelerati per arcum T Y post s T; quum ccleritas ex B T , qua tota T a transmissa ponitur, sit aequalis celeritati ex s Y, quae in fine demum acquiritur motui dicto per arcum T Y post s T; ipsaque T E minor sit arcu T Y. Atque ita tem pora omnia motuum aequabilium per tangentes cycloidis, cum celeritatibus per singulas quantae acquiruntur descendendo ex B, usque ad punctum ipsarum contactus, breviora simul crunt tem pore descensus accelerati per arcum s v. Eadem vero & longiora essent, ut nunc εstendemus. Est enim tempus dictum per tangentem s Λ , cum celeritate aequabili ex B s, ad tempus per rectam o Κ cum celeritate aequa pior ptiind. bili dimidia ex BO, sicut tangens semicirculi 3 Δ ad rectam p et . similiterque tempus per tangentem Tae, cum celeritate aequabili ex B T , cst ad tempus per rectam xl cum celeritate aequabili di
midia ex B Θ, ut tangens r Σ ad rectam M. Atque ita deinceps singula tempora per tangentes cycloidis, quae sunt eadem supra dictis, erunt ad tempora motus aequabilis per partes sibi respondentes rectae o n, cum celeritate dimidia ex B Θ, ut tangentes circumferentiae θ η, iisdem parallelis inclusae, ad partes rectae P c ipsis .
respondentes. Vnde, ut in priori tarte demonstrationis, concludetur omnes simul rectas P &c. hoc est, totam p cesse ad omnes simul tangentes θ Δ ,r Σ, &c. sicut tempus quo percurritur tota O si, cum celeritate dimidia ex B O, ad tempora omnia motuum quales diximus per tangentes cycloidis o Λ, T a, Sc. Quare & convertendo, tempora omnia per tangentes cycloidis , eam rationem habebunt ad tempus dictum motus aequabilisper rectam o si, sive per B I , quam dictae tangentes omnes arcus θ η ad rectam P c vel p C , ac proinde majorem quam arcus L H ad rectam F G ; est enim arcus θ H , adeoque etiam Omnino arcus L H, iii Oh i. iiiii. minor dictis tangentibus arcus θ η '. Sed tempus per N M posui
79쪽
mus ab initio ad idem tempus per B I se habere ut arcus L A ad rectam F G. Ergo tempus per N M , multoque magis tempus pers V, minus erit tempore per tangentes cycloidis. Quod est absur dum, cum hoc tempus, illo per arcum s v, antea minus ostensum fuerit. Patet igitur tempus per arcum cycloidis B E ad tempus per tangentem B I cum celeritate aequabili dimidia ex s Θ, non minorem rationem habere quam arcus F H ad rectam F G. Sed nec majorem habere ostensum fuit. Ergo eandem habeat necesse est. quod erat demonstrandum.
IN Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus est, vertice deorsum spectante, tempora descensus quibus mobile, a quocunque in ea puncto dimissum, ad punctum imum verticis pervenit, sunt inter se aqualia ue habentque ad tempus
casus perpendicularis per totum axem cycloidis eam rationem , quam semicircumferentia circuli ad diametrum.
Esto cyclois ABC cujus vertex A deorsum spectet, axis vero
A Dad perpendiculum erectus sit, & a puncto quovis in cycloide
sumpto, velut Β, descendat mobile impetu naturali per arcum B A, sive per superficiem ita inflexam. Dico tempus descensus huius esse ad tempus casus per axem D Α, sicut semicircumferentia cir culi ad diametrum. Quo demonstrato, etiam tempora descensus, per quoslibet cycloidis arcus ad A terminatos, inter se aequalia esse constabit. Describatur super axe o Asemicirculus, cujus circumferentiam secet recta Ap, basi D C parallela, in E; junctaque EA, ducatur ei parallela B G , quae quidem cycloidem tanget in B. Eadem vero occurrat rectae horizontali per A ductae in C : sitque etiam superrΑ descriptus semicirculus F Η Α. Est igitur, per praecedentem, tempus descensus per arcum cycloidis B A , ad tempus motus aequabilis per rectam B G cum cclaritate dimidia ex B c , sicut arcus semicirculi F H A ad rectam F A. Tempus vero dicti motus aequabilis per B G , aequatur tem pori descensus naturaliter accelerati per eandem B G , sive per
E A, quae ipsi parallela est & aequalis, noc est, tempori descensus
accelerati per axem DA . Itaque tempus per arcum B Α , erit raue ad tempus descensus per axem D A , ut semicirculi cir- Actes. erentia FH A ad diametrum EA. quod erat demonstrandum.
80쪽
D. M. u iis Quod si tota cycloidis cavi tas perfecta ponatur, constat inobi ς ς ' postquam per arcum B A descenderit, inde continuato motu Props huj. per alterum ipsi aequalem arcum ascensurum , atque in eo tan- Piop. ii. a. rundem temporis atque descendendo consumpturum . Deinde
rursiis per A ad B perventurum, ac singularum ejusinodi reciprocationum, in magnis parvisve cycloidis arcubus peractarum, rempora fore ad tempus casus perpendicularis per axem D A , sicut circumferentia circuli tota ad diametrum suam.
PROPOSITIO XXVI. II dem positis, si ducatur insiper recta horizontalis Hr qua
arcum B A secet in I, circumferentiam vero FHΑm Hrdico tempus per arcum B I ead tempus per arcum I A post s I, eam rationem habere quam arcus rimumferentia F H ad H Α.
Occurrat cnim recta M a tangenti B C in K, axi D A in L. Est itaque tempus per arcum B A,ad tempus motus aequabilis per B G cum .pios. . sui. ςςleritate dimidia ex B G , sicut arcus p H A ad rectam F A '. Tem pus autem dicti motus aequabilis per u G, est ad tempus motus aequabilis per B Κ, cum eadem celeritate dimidia ex B C , sicut B Gad B κ longitudine, hoc est, sicut F A ad F L. Et rursus tempus motus aequabilis, cum dicta celeritate, per B Κ, ad tempuS per ar- Prop. huj. cum B I, sicut F L ad arcum p H . Igitur ex aequo erit tempus per arcum B A ad tempus per B I , ut arcus F H A ad F H. Et dividendo , & convertendo, tempus per B I, ad tempus per i A post B I, ut arcus F H ad H A. quod crat demonstrandum.