Christiani Hugenii Zulichemii, const. f. Horologium oscillatorium, siue de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricæ

81쪽

HOROLOGII OSCILLATORII

PARS TERTIA.

De linearum cum rum evolutione s dimensione.

DEFINITIONES.

LINE A in unam parteF infima vocetur quam recta

omnes tangentes ab eadem parte contingunt. Si autem

portiones quasdam rectas lineas habuerit, ha ipsa producta pro tangentibus habentur. 1 I. Cum autem dua hujusmodi linea ab eodem puncto πυ-diuntur, quarum convexitas unius obversa sit ad cavitatem alterius, quales sent in figura adscripta curva Ala C, A D E, amba in eandem partem cava dicantur. III.

Si linea, in unam partem cama, filum seu linea exilis ridimmplicata intestigatur, es manente una fili extremitate illi

82쪽

εο CHRISTIANI HVGENI xa, aetera extremitar abducatur, ita ut pars ea qua simias semper extensa maneat; manifestum est cumam quamdam aliam hac si extremitate describi. Vocetur autem ea, Deseripta ex evolμορ'ς VIIa mero cui flum circumplicatum erat, dicatur Evoluta. In figura puperiori, ABC est evoluta , A DE des pia ex evolutione ABC, ut nempe cum extremitas fili ex A venit in D, pars fili extensa sit DB recta, reliqua parte B C adhuc applicata curva ABC. Manissum est autem D B tangere evolutam in B.

a omnis, qua evolutam tangit, lutione descripta ad angulos rectos.

Sit A B evoluta, A H vero quae ex evolutione illius descripta est. Recta autem FDC, tangens curvam A D in D, occurras in C curVae A C H. Dico ei Occurrere ad angulos rectos: hoc est, si ducatur C E recta perpendicularis C D , dico eam in C tangere curVam AC H. Quia enim D C tangit evolutam in D , apparet ipsam referre positionem fili tunc cum ejus extremitas pervenit in C. Quod si igitur ostenderimus filum,in tota reliqua descriptione curVae A C H, nusquam pertingere ad rectam C E praeterquam in C puncto, ma-

83쪽

. HOROLOG. OSCILLATOR.

nifestum erit rectam C E ibidem curvam A C II contingere. n A MSumatur punctum aliquod in A C praeter C, quod sit it , sitque primo remotius a principio evolutionis A quam punctum C, &intelligatur pars libera esse H G, cum extremitate sua ad H pervenit. Tangit ergo H G lineam A B in C. Cumque interea dum de seribitur pars curvae C H , evolutus sit arcus D G , occurret C D a parte D producta ipsi H G , ut in F. Ponatur autem G H occurrere rectae C E in E. Quia igitur duae simul D F , F G , maiores sunt quam D G , sive curva ea fuerit sive recta: fiet addendo utrinque rectam D C, ut rectae C F , F G simul majores sint recta C D & ipsa o c. Sed propter evolutionem, apparet utrisque simul, rectae C D , &lineae D G , aequari rectam H G. Ergo duae limul C F, F G majores quoque erunt recta H C ; & ablata communi P G , erit C F major quamis F. Sed p E major est quam F C, quia angulus C trianguli 3 c E esst rectus. Ergo F E Omnino major quam F H. Unde apparet, ab hac quidem parte puncti C, fili extremitatem non pertingere ad re

ctam C E.

Sit jam punctum H propinquius principio evolutionis A quam

punctum c. sitque fili positio H c , tunc cum ejus extremitas esset in ii , ducantur rectae D G , D H , quarum haec occurrat rectae C Ein E. apparet autem D G rectam non posse esse in directum ipsi H G , adeoque H G D fore triangulum. Iam quia recta D G vel minor est quam o K G , vel eadem, si nempe evolutae pars D G recta sit; addira utrique G H, erunt rectae D ci , c H simul minores vel

84쪽

ε, CHRISTIANI HVGENI i

eii tui lauti aequales duabus istis, scilicet D RG & C H , sive his aequali rectae Turiori. D C. Duabus autem rectis DC, CH minor est recta D H. Ergo haec minor utique crit recta D C. Sed D E major est quam D C , quia in triangulo D C E angulus C est rectus. Ergo D H multo minor quam D E. Si tum est ergo punctum H , hoc est cxtremitas fili C M , intra angulum D C E. Vnde apparet neque inter A & C usquam illam pertingere ad rectam C E. Ergo C E tangit curvam AC in C; ac proinde D C , cui C E ducta est perpendicularis, occurrit curvae ad angulos rectos. quod erat demonstrandum. Hinc etiam manifestum est curvam A H C in partem unam inflexam esse, & in candem partem cavam ac ipsa A G B , cujus evolutione descripta est. Omnes enim tangentes linea: A H C , cadunt cxtra spatium D G A H C : omnes vero tangentes lineae A G D , intra dictum spatium. unde liquet cavitatem A H C respiccre con

vexitatem A G D.

PROPOSITIO II.

O Mnis curva linea terminata, in unam partem cava, ut A B D , potest in tot partes dividi, ut vulis partibus subtensa recta ducantur, velut A B, B C, CD; a simgulis item dimissionis punctis, ipsaque cuma extremitate rectae δε-

cantur curvam tangentes , ut AN, BO, C Ρ, qua occurrant iis

qua in proxime sequentibus divisionis punctis curva ad augulos rectos insistunt, quales sunt linea BN, C O, D P ue ut iu- quam subtensa quaque habeat ad sibi adjacentem curvae perpendicularem , velut A B ad BN, BC ad Co, CD ad DP, tionem maiorem quavis ratione proposita. Sit enim data ratio lineae E p ad FG, quae recto angulo ad F jungantur, & ducatur recta G E H. Intelligatur primo curva A B D in partes tam exiguas secta punctis B, C, ut tangentes quae ad bina quaeque inter se proxima puncta curvam contingunt, occurrant sibi mutuo secundum angulos qui singuli majores sint angulo FEM: quales sunt anguli Α Κ Β , B L C, C M D. quod quidem fieri posse evidentius est quam ut demonstratione indigeat. Ductis jam subtensis A B , B C, C D , & Crectis curvae perpendicularibus B N , C O, D P , quae Oscurrant productis AK, B L, C M, in N , o, P : dico rationes singulas rectarum, AB ad BN, BC ad Co, CD ad DP, majores esse ratione E F ad F G.

85쪽

HOROLO G. Os C LATOR. c;

Quia enim angulus λ κ B major est angulo HEF, erit residuus il- , . ta, oesilius ad duos rectos, nimirum angulus N R B , minor angulo GEp. ς

Angulus autem n trianguli x B N est rectus, sicut & angulus r in triangulo A po. Ergo major erit ratio K B ada N quam E a ad F c. Sed an major est quam X B, quoniam angulus Ic in triangulo Axa est obtusus, est enim major angulo M E F qui est obtusus ex con structione. Ergo ratio A Bad B N major erit ratione x B ad B Μ, ac proinde omnino major ratione a pad F C. Eodem modo de ratio BC ad Co,&CD ad DP, major ostendetur ratione E F ad ν c. Itaque constat propositum.

PROPOSITIO III. Dri curva in unam partem inseraris easdem partes

cava ex eodem puncto egredi nequeunt, ita ad se λιλcem comparata, ut recta omnis qua alteri earum ad angulos rectos occurrit, similiter occurrat s reliqua.

sint enim, si fieri potest, hujusmodi lineae curvae A C E , A G Κcommunem terminum habentes A, &sumpto in exteriore illarum puncto quolibet x , sit inde educta K E tecta, curvae A C Κ occurrens ad angulos rectos, ac proinde ctiam curvae Aon

86쪽

----Μ Potest jam recta quaedam sumi maior curva LGA, quaesit umi- , . ., insi. Visa autem intelligatur ipsa ΚC A , ut in propositione antecedenti dictum fuit, in tot partes punctis H G F, ut subtensae singulae ΚΗ, H G, C F, F Α, ad perpcndiculares curvae sibi contiguas HM, CN, F o, A P majorem rationem habeant quam linea Q ad rectam x E. Itaque & omnes simul dictae subtensae ad omnes dictas perpenditaculares majorem habebunt rationem quam Mid ς Ε. Producantur autem perpendiculares eaedem & Occurrant curvae AC E in D, C, B, nimirum ad angulos rectos ex hypothesi. Erit jam x E minor quam M D. Etenim, ducta E L ipsi K E perpendiculari, quoniam

Ε Ε occurrit lineae cumae E C A ad angulos rectos, tanget E L cutavam ACE, occurretque necessario rectae M D inter D & M. Vnde

cum x K sit brevissima omnium quae cadunt inter parallelas E L, K M , erit ea minor quam M L , ac proinde minor quoque omnino quam M D. Eodem modo & H D minor ostendetur quam N C, &c C minor quam o B , & F B minor quam P A. Cum sit ergo P Amajor quam F B , erunt duae simul P A , o F majores quam o B. Item quum o B sit major quam o C, erunt duae simul o B, N G , majores quam N C. Sed duae P A, o F majores erant quam o B. Itaque tresimul P A , o F, N G Omnino majores erunt quam N C. Rursus, quia N C major quam MD, erunt duae simul NC, Mia majores quam MD. Vnde, si loco N C sumantur tres hae ipsa majores P Α , Ο F, N G, erunt omnino hae quatuor PA, O F,N G, M H majores quam M Da ac proinde caedem quoque omnino majores recta Κ E , quia ipsa M Dmajor erat quam K E. Diximus autem subtensas omnes A F, F c, C H , Η Κ majorem rationem habere ad omnes perpendiculares P Α, o F, N G , M H , quam linea Od ΚE. Ergo cum dictis perpendicularibus minor etiam sit x E , habebunt dictae subtensae ad κ κOmnino majorem rationem quam Rad K Ε. Ergo subtensae simul sumptae majores erunt recta Q Haec autem ipsa curva A G ς major sumpta fuit. Ergo subtensae A F , F C , G Κ, Η Κ simul majores erunt curva A C x cujus partibus su btenduntur; quod est absurdum, cum singulae suis arcubus sint minores. Non igitur poterunt etae duae

curvae lineae quae quemadmodulli dictum titit sese habeant. quod

erat demonstrandum.

PROPOSITIO IV.

SI ab eodem puncto duae linea exeant in partem unam in

flexa, s in eandem partem cava, ita vero mutuo comparata

87쪽

HOROLOG. OS CAELATOR. 6s parata ut recta omnes, qua alteram earum contingunt, alteri occurrant ad angulos rectos; posterior hac prioris evolutione, a puncto communi carpta, describetur.

Sunto lineae AB C, A D E, in partem unam inflexae, & quarum utraque in casdem partes cava existat, habeantque communem terminum A punctum. Omnes autem rectae tangentes lineam AB C, velut B D, C E, Occurrant lineae A D E ad angulos rectos. Dico evolutione ipsius A B c , a termino A incepta, describi A D E.

Si enim fieri potest, describatur dicta evolutione alia quaedam

curva A F G. Ergo lineae rectae quaelibet, evolutam A BC tangentes, ut B D , C E , occurrent ipsi A F G ad angulos rectos ', puta in F ' Prop-α G. Sed eaedem tangentes etiam ad rectos angulos occurrere Ponuntur lineae A D E. Sunt igitur lineae curvae A D p , A p G , eodem puncto A terminatae, inque partem unam flexae, &ambae in candem partem cavae, quippe utraque in eandem atque ipsa A B C ; nam de linea A D E constat ex hypothesii, de A p G vero ex propO- lxione prima hujus; & omnes quae uni earum occurrunt aa angulos rectos, etiam alteri similiter occurrunt. quod quidem fieri non potie antea ostensum est . Quare constat ipsam A D E descriptum 'pio iri evolutione lineae A A C. quod crat demonstrandum.

88쪽

CHRISTIANI HVGENII

PROPOSITIO V.

SI Cycloidem recta linea in vertice contingat, super qua, tanquam basi, alia cyclois priori similis G aqualis constituatur , initium sumens a puncto dicti verticis; ne qualibet inferiorem c cloidem tangens , occurret superioris pontioni, sibi se perposita, ad angulos rectos.

Tangat cycloidem A B C in vertice A recta A G , super qua, tanquam basi, similis alia cyclois constituta sit A E F, cujuS Vertex F. Cycloidem autem A B C tangat recta B K in B. Dico eam productam occurrere cycloidi A E p ad angulos rectos. Describatur enim circa AD , axem cycloidis ABC, circulus genitor A H D , cui occurrat B H, basi parallela, in is, & jungatur H A. Quia ergo B Κ tangit cycloidem in B , constat eam parallelam esse mmc is. rectae HA . Itaque A H B x parallelograminum est, ac proinde AR piomc i. aequalis H B, hoc est, arcui AH . Sit porro jam descriptus circulus '' K M, genitori circulo, hoc est ipsi A H D , aequalis, qui tangat basi AC in x , rectam vero B ς productam secet in puncto E. Quia ergipsi A H parallela est v x E, ac proinde angulus Ex A aequali S Κ AH, manifestum est a x productam abscindere a circulo Κ M arcum aequalem ei quem a circulo A H D abscindit recta A H. Itaque arcus K E aequalis est arcui A H , hoc est rectae H B, hoc est rectae R A. Hinc

89쪽

vero sequitur, ex cycloidis proprietate, cum circulus genitor M K niti, i xuutangebat regulam in x , punctum describens fuisse in E. Itaque recta K E occurrit cycloidi in E ad angulos rectos . Est autem x a ' Pri Dic is. ipse B K producta. Ergo patet productam B κ occurrere cycloidi '' ad angulos rectos. quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO VI.

SEmicycloidis ezolutione, a vertice carpta, alia semicyclois describitur evolutae aequalis si milis, cuIus basis

est in ea recta qua Ucloidem evolutam in vertice contingit. Sit semicyclois A B C, cui superimposita sit alia similis Αεν, quemadmodum in propositione praecedenti. Dico, si linea flexilis, circa semicycloidem ABC applicata, evolvatur, incipiendo

ab A , cam describere extremitate sua ipsam semicycloidem AE p. Quia enim ex puncto A egrediuntur semicycloides AB C, A E F , in unam partem inflexae, &ambae in candem cavae, ac praeterea ita comparatae, ut omnes tangentes semicycloidis ABC occurrant semicycloidi A E p ad angulos rcctos, sequitur hanc evolutione illius, a termino A incepta, describi . quod erat demonstrandum. Propos. 4.

Et apparet, si dimidiam cycloidem, ipsi Anc gemellam, con trario situ ab altera parte lineae C G disponamus, velut C N , ejus evolutione, vel etiam dum filum, jam extensum in C F , circa eam replicatur, alteram semicycloidem p N fili extremitate descri pium iri, quae simul cum priore A EF integram constituat. Atque ex his, & propositione is de descensu gravium, mani festum sana est quod supra in Constructione Horologii de aequa bili penduli motu dictum fuit. Patet enim perpendiculum , inter laminas binas, secundum semicycloidem inflexas, suspensum agitatum ue , motu suo cycloidis arcum describere, ac proinde aequalibus temporibus quaslibet ejus reciprocationes absolvi. Non refert enim utrum in superficie, secundum cycloidem curvata, mobile feratur, an filo alligatum lineam ipsam in aere per currat , cum utrobique eandem libertatem, eandemque in omnibus curvae punctis inclinationem ad motum habeat.

PROPOSITIO VII. Cnois linea sit axis, ste diametri circuli genitoris ,

quadrupla es.

90쪽

cs CHRISTIANI HVGENII

Repetita enim figura praecedenti: cum post totam semicycloi dem ABC evolutam, filum occupet rectam C F , quae dupla est A D , protterea quod axes cycloidum ΑΒ C, AEF sunt aequales;

apparet semicycloidem ipsam A B c, filo sibi circum applicito aequalem, duplam esse sui axis A D, ac totam proinde cycloidem axis sui quadruplam.

Apparet etiam tangentem B E, quae refert partem fili extensam, antea curvae parti B A applicatam, huic ipsi longitudine aequarti Est autem n E dupla ipsius B κ, sive A H, quoniam in propositi ne quinta ostensum est ΚΕ ipsi AH aequalem esse. Itaque pars cycloidis A A rectae A ia , sive B κ , dupla erit: existente nimiruma n parallela basi cycloidis: idque ubicumque in ca punctum B sumptum fuerit. Hanc cycloidis dimensionem primus invenit, via tamen longe alia, eximius geometra Christophorus Wren Anglus, canaque deinde cleganti demons ratione confirmavit, quae edita est in libro de cycloide viri clarissimi Ioannis Wallisij. De eadem vero linea, alia quoque multa extant pulcherrima inuciata nostri temporis mathematicorum , quibus praecipue occasionem praebuere

problemata quaedam a Blasio Paschalio Gallo proposita, qui in

his studus praecellebat. Is cum sua, tum aliorum inventa recensens , primum omnium Mersennum lineam hanc in rerum natatura advertisse ait. Primum Robervallium tangentes ejus defini-