Christiani Hugenii Zulichemii, const. f. Horologium oscillatorium, siue de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricæ

91쪽

H o ROLOG. OSCILLATOR. isqvisIe, ac plana & solida dimcnsum eine. Item centra gravitatis tum plani, tum partium ejus invenisse. Primum Krennium cur vae cycloidis aequalem rectam dedisse. Me quoque primum reperisse dimensionem absolutam portionis cycloidis, quae recta, basi parallela, abscinditur per punctum axis, quod quarta parte ejus avertice abest. quae nimirum portio aequatur dimidio hexagono aequilatero , intra circulum senitorem descripto. Scipsum denique solidorum ac semisolidorum, tam circa basin quam circa axem, centra gravitatis dcfinivisse, iteriaque partium eorum. Lineae ctiam ipsius sed haec post acceptam a Wrennio dimensionem) centrum gravitatis invenisse, & dimensionem superficie

rum convexarum , quibus solida ista corumque partes comprehcnduntur earumque superficierum centra gravitatis. Ac deni que dimensionem curvarum cujusvis cycloidis, tam protractae quam contractae: hoc est earum quae describuntur a puncto intra vel extra circumferentiam circuli genitoris sumpto. Et ho

rum quidem demonstrationes a Paschalio sunt editae. A quibus suas quoque, de eadem linea, subtilissimas meditationes exposuit Cl. Wallisius, atque cadem illa omnia suo marte se reperisse, ac problemata a Paschalio proposita solvisse contendit. Quod idem&doctis sinus Lovera sibi vindicat. Quantum vero unicuique debeatur, ex scriptis eorum eruditi dijudicent. Nos propterea tantum praecedentia retulimus, quod silentio praetereunda non videbantur egregia adeo inventa , quibus factum est ut, ex lineis omnibus, nulla nunc melius aut penitius quam cyclois cognita sit. Methodum vero nostram, qua in hac metienda usi sumus, in aliis quoque cxperiri libuit, de quibus porro nunc agemus.

PROPOSITIO VIII.

rius linea evolutione parabola describatur . en-

dere.

Sit paraboloides A A , cujus axis A D ; vertex A ; proprietas autem ista, ut ordinatim ad axem applicata B D , cubus abscissae

ad verticem D A aequetur solido, basin habenti quadratum D B, altitudinem vero aequalem lineae cuidam datae M ; quae quidem Curva pridem geometris nota fuit; & pouatur axi D E juncta in directuin A E , quae habeat ipsius M. Iam si filum continuum Circa E A B applicetur, idque ab E evolvi incipiat, dico descri-

92쪽

o CHRISTIANI HVGENII

ni Ois, huis piam ex evolutione esse parabolam E F, cujus axis Exo, vertex

Ε, latus rectum aequale duplae E A. Sumpto enim in curva A n puncto quolibet B , ducatur quae in ipso tangat curvam recta B C , occurrengaxi E Α in C. & ex G ducatur porro G F, quae ad rectos angulos occurrat parabolae E pinr; & sit ipsi G p perpendicularis r H, quae parabolam in F continget;& denique F c ordinatim ad axem E G applicctur. Est igitur K o aequalis dimidio lateri recto, hoc est, ipsi E A; ac proinde, addita vel ablata utrimque A Κ, crit E K aequalis Ac. Est autem A c triens ipsius A D , quoniam B G tangit paraboloidem in B : illud enim ex natura curvae hujus facile demonstrari potest. EGgo & E Κ aequalis est trienti A D : & Κ H , quae ex natura parabolae dupla est K E , aequabitur duabus tertiis A D. Itaque cubus cx Κ Haequalis est cubi GAD, hoc est, solido basin habenti quadra-

tum D s , altitudinem vero aequalem M , hoc est, ipsi A E. Quam-Obrcm ut quadratum D B ad quadratum K H , ita crit K H longitudine ad Α E, hoc est ad K C. Erat autem K H aequalis 'AD, hoc est ipsi G D. Ergo ut quadratum B D ad quadratum D c ita est M K ad K C. Vt autem H K ad K G, ita est quadratum F Κ ad quadratum K c. Ergo sicut quadratum B Dad quadratum D G, ita quadratum p x ad quadratum K G. Et proinde sicut B D ad D Glongitudine ita p K ad K c. Vnde sequitur B G F esse lineam rectam. Sed o F occurrit parabolae E p ad angulos rectos. Ergo apparet B G, tangentem paraboloidis, productam occurrere eidem parabolae ad

93쪽

HOROLOG. Os C LATOR. i

angulos rectos. Idque similiter de quavis illius tangente demon- hi ciso Mstrabitur. Ergo constat ex evolutione lineae E A B, a termino E in- cepta. describi parabolam E p . quod erat demonstrandum. ' pro huj

PROPOSITIO IX.

rm lineam inmenine aequalem data portioni curva paraboloidis, ejus nempe in qua quadrata ordinatim applicatarum ad axem , sunt interse sicut cubi abscissarum

ad verticem. Quomodo hoc fiat ex prop. praecedenti manifestum est. Parabola vero E p ad constructionem non requiritur, quae sic pera- fetur. Data quavis parte paraboloidis hujus AB, cui rectam aequa-em invenire oporicat, ducatur B G tangens in puncto B , quae occurrat axi A si in c. Tanget autem si A G puerit tertia pars A D, inter

verticem & ordinatim applicatam B D interceptae. Porro sumpta A E aequali lineae M , quae latus rectum cst paraboloidis ΑΗ, dii catur E F parallela B G,occurratque lineae A F,quae parallela cst B D, in p. Iam si ad rectam B G addatur N F, excessus rectae E F supra E A, habebitur recta aequalis curvae A B. Cujus demonstratio ex ante dictis facile perspicitur.

Semper ergo curva A B tantum superat tangentem B G , quantum recta Ε F rectam E A.

Rursus autem hic in lineam incidimus, cuius longitudinem alii jam ante dimensi sunt. Illam nempe quam anno 1619 Ioh. Heuratius Harlemensis rectae aequalem ostendit, cujus demonstratio post commentarios Ioh. Schotenti in Cartesii Geometriam, codem anno editam, adsecta est. Et ille quidem omnium primus curvam lineam, ex earum numero quarum puncta quaelibet geo-

94쪽

navi A uu metrice definiuntur, ad hanc mensuram reduxit, cum sub idem talum bis i. tempus Cycloidis longitudinem dedisset Wrennius, non minus ingenioso epichcremate.

Scio equidem, ab edito Heu ratii invento, Doctissimum Walli sum Willielmo Nelio, nobili apud litos juveni, idem attribuere voluisse, in libro de Cis solde. Sed mihi, quae illic adfert perpen

denti, videtur non multum quidem ab invento illo Nelium abfuisse, neque tamen plane id adsecutum esse. Nam neque ex de monstratione ejus, quam Wallisius affert, apparet illum satis perspexisse quaenam Dret curva illa, cujus, si construeretur, mensuram datam sere videbat. Et credibile est, si scivisset ex earum n mero esse quae jampridemGeometris cognitae fuerant, vel ipsum, vel alios ejus nomine, tam nobile inventum Geometris maturius impertituros fuisse, quod, si quod aliud, merebatur ut Archime- deum illud ευ is exclamarent. Sane ejusdem inventi, tanquam a se profecti, etiam Ferinatius, Tholosanus senator ac Geometra peritissimus, demonstrationes conscripsit, quae anno 166o cxcusae

sunt; sed illae sero utique. Cum vero in his simus, etiam de nobis dicere liceat, quid ad

promovendum tam eximium inventum contulerimus: siquidem &Heuratio ut eo perveniret occasionem praebuimus, &aimensionem curvae parabolicae ex hyperbolae data quadratura, quae Fleuratiani inventi pars est, ante ipsum atque omnium primi reperimus. Etenim sub finem anni i61 in haec duo simul incidimus, curvae parabolicae quam dixi dimensionem, & superficiei conoidis parabolici in circulum reductionem. Cumque scholenio, aliisque item amicorum, per literas indicassemus,duo quaedam non vulgaria circa parabolam inventa nobis sese obtulisse , eorumque alterum esse conoidicae superficiei extensionem in circulum, ille litteras eas cum Heuratio, quo tum familiariter utcbatur, communicavit.

Huic vero, acutissmi ingenii viro, non difficile fuit intelligere, conoidis istius superficiei affinem esse dimensionem ipsius curvae parabolicae. Qua utraque inventa, ulterius inde investigans, in alias istas curvas paraboloides incidit, quibus rectae aequales absolute inveniuntur.

Ac de Conoidis quidem superficie in planum redacta, ne qui S forte testimonium aesideret, pauca haec adscribere visum est ex. literis viri clarissimi, atque inter praecipuos hodie Geometras censendi, Franc. Slusii, quibus eo ipso anno mihi inventum illud, ac prolixius sorte quam pro merito, gratulatus est. In quibuhliteris

95쪽

HOROLOG. OSCIL LATOR. n

i . Decemb. annii 617. datis, ista habzntur. Duo tantum addo, unum is, Sc. e rei m est, me has omnes cureas, i umque adeo locum linearem in- ..tegrum, nihili pene facere prae invento hoc tuo, quo superficiei in comide para. lino rationem ad circulum suae basios demonstrasti. Hanc pro circuli quadratura pulcherrimam ἀ- ωγ ν praefero libens iis omnibus, quas ex loco si mari nec paucas olim deduxi, quas tecum, si ita j peris, data occasione

communicabo.

Anno autem insequenti etiam superficies conoidum hyperbo licorum & sphaeroidum reperi, quomodo ad circulos reduci possent, constructionesque eorum problematum, non addita tamen. demonstrationQGeometris quibuscum tunc litterarum commercium habebam, in Gallia Paschalio aliisque, in Anglia Wallisio impertii, qui non multo post sua quoque si aper his, una cum aliis multis subtilibus inventis in lucem edidit, fecitque ut nostris demonstrationibus perficiendis supersederem. Quoniam vero non inelegantes vis, sunt constructiones. nostrae, neque adhuc publice extant, placet hoc loco illas adscribere.

Conoidis parabolici superficiei curva circulum

aqualem invenire. SIt datum conoides cujus sectio per axem parabola A B C ; axis ejus B D , vertex B , diameter basis A C , qui sit axi a D ad angulos rectos. Et oporteat superficiei portionis curvae invenire circulum aequalem. Κ

96쪽

M CHRISTIANI HVGENII

ox irrui inuis Producto me a parte verticis, sumatur B E aequalis B D , & jungatur E A, quae parabolam A B C in A continget. Porro secetur An in o , ut sit A G ad G D sicut E A ad A D. Et utrisque simul A E, D G aequalis statuatur recta H. Item trienti basiis A C aequalis sit re cta L , & inter H & L media proportionalis inveniatur K. qua tanquam radio circulus describatur. Is aequalis erit superficiei curvae conoidis A B C. Hinc sequitur, si fuerit A E dupla A D, superficiem conoidis curvam ad circulum baseos fore ut i ad s. Si Α Ε tripla A D, ut i 3 ad 6. si A E quadrupla A D , ut i ad s. Atque ita semper . fore ut numerus ad numerum, si A E ad A D cjusinodi rationem habuerit.

Sphamidis oblongi superficiei circulum aqualem invenire.

Sto sphaeroides oblongum cujus axis AB, centrum c , sectio per axem ellipsis ADBE, cujus minor diameter D E. Ponatur D F aequalis C B , seu ponatur p alter focorum cilipseos ADBE, rectaeque F D parallela ducatur B G, occurrens productae Ε D in c. centroque C, radio C B, describatur super axe A B arcus circumferentiae B H A. Interque semidiametrum C D & rectam utrisque aequalem, arcui A H B & diametro D E, media proportionalis sit recta x. Erit haeς radius circuli qui superlicIei sphaeroi dis A D A E aequalis sit.

97쪽

HOROLOG. OSCILLATOR. 73 Sphaeroidis lati sive compress uperficiei circulum

aqualem invenire. SIt sphaeroides latum cujus axis A B , centrum C , sectio per axem ellipsis ADBE. Sit rursus focorum alteruter p , divisaque bifariam F C in C, intelligatur parabola A G B quae basin habeat axem A B, verticem

vero punctum c. Sitque inter diametrum D E, & rectam curvae parabolicae A C B aequalem, media proportionalis linea H. Erit haec

radius circuli qui superficiei sphaeroidis propositi aequalis sit. Comidis hyperbolici superficiei curva circulum

aqualem invenire. Sto conoides hyperbolicum cujus axis A n , sectio per axem hyperbola C A D , cujus latus transversum E Α , centrum F,

latus rectum A C.

Sumatur in axe recta Α Η, aequalis dimidio lateri recto A C. & ut H p ad A F longitudine ita sit A. p ad p x potentia. Et intelligatur vertice κ alia hyperbola descripta KL M, eodem axe & centro Fcum priore, quaeque latera rectum & traiiversum illi reciproce proportionalia habeat. Occurrat autem ipsi producta B C in M, sitque A L parallela B c. Erit jam sicut spatium Q M B, tribus rectis lineis & curva hyperbolica comprehensum, ad dimidium quadratum ex B C, ita superficies conoidis curva ad circulum baseos suae, cujus diameter C D. Vnde constructio reliqua facile absolvetur, posita hyperbolae quadratura. Quum igitur conoidis parabolici su perficies ad circulum redigatur, aeque ac superficies sphaerae, ex notis geometriae regulis; insuperscio sphaeroidis oblongi, ut idem fiat, ponendum est arcus

98쪽

ν ε CHRISTIANI HVGENII

circumferentiae longitudinem aequari posse lineae rectae. Ad sphae avo cui toti .. roidis vero lati, itemque ad concidis hyperbolici superfietem eadem ratione complanandam, hyperbolae quadratura requiritur. Nam parabolicae lineae longitudo, quam in sphaeroide hoc adhubuimus , pendet a quadratura hyperbolae, ut mox ostendemus. Verum, quod non indignum animadversione videtur, inveniamus absque ulla hyperbolicae quadraturae surpositione, circulum aequalem construi superficiei utrique simul, sphaeroidis lati & co noidis hyperbolici. Dato enim sphaeroide quovis lato, nosse inveniri conoides hy- erbolicum, vel contra, dato conoide nyperbolico, poste inveniriphaeroides latum ejusmodi, ut utriusque simul superficiei exhibeatur circulus aequalis. cujus exemplum in casu uno caeteris simpliciore sussiciet attulisse. Sit sphaeroides latum cujus axis s I, sectio per axem ellipsis S TI K ; cujus ellipsis centrum o, axis major T K. ponatur autem Ellipsis haec ejusmodi, ut latus tranversum T κ habeat ad latus rectum eam rationem, quam linea secundum extremam & mediam rationem secta, ad partem sui majorem. Sumatur B C potentia dupla ad s o , item B A potentia dupla d o x. & sint hae quatuor continue proportionales BC, BA, B F,

99쪽

HOROLOG. OSC ILLATOR.

B E , & ponatur E P aequalis E A. Intelligatur jam conoides hy- iii perbolicum M N , culus axis F P; axi adlecta, sive : latus trans- . koiti moti a versum p B ; dimidium latus rectum aequale B C. Hujus conoidis superficies curva, una cum superficie sphaeroidis s I, aequabitur circulo cujus datus erit radius M L, qui nempe possit quadratum T K cum duplo quadrato s I. Curvae parabolicae aqualem rectam lineam invenire. SIt parabolae portio A B C , cujus axis B K , basis A C axi ad an

gulos rectos; & oporteat curvae A B C rectam aequalem in- vcnire.

Accipiatur basi dimidiae A K aequalis recta I E, quae producatur ad H , ut sit I H aequalis A G , quae parabolam in puncto basis Acontingens, cum axe producto convenit in C. Sit iam Portio hyperbolae D E p, vertice E, centro I descriptae, cujusque diametersit E A ; basis vero D A p ordinatim ad diametrum at plicata. Latus

rectum pro lubitu si mi potest. Quod si jam super Das D p intclligatur parallelograminum constitutum D p v I quod portioni DE Faequale sit; ejus latus p u ita secabit diametrum hyperbolae in R, ut R I sit aequalis curvae parabolicae A n , cujus dupla cst A B C. Apparet igitur hinc quomodo a quadratura lirperbolae pendeat. curvae parabolicae mensura, & illa ab Eac vicissim.

100쪽

τ3 CHRISTIANI HVGENII

Quaecunque Vero problemata ad alterum e duobus hisce redvicuntur, quamlibet verae proximam solutionem per numeros ac cipiunt, togarithmorum admirabili invento. Cum per hos hyper bolae quadratura, ut Olim invenimus, numeris quam proxime explicetur. Est autem regula hujusmodi. Sit D A B portio hyperbolae, cuius asymptoti c

logarissimorum qui conveniunt numel S, eandem inter se rationem habentibus quam rectae D E, B V;cjusque differentiae quaeratur togarithmus. Cui addatur togarith -