장음표시 사용
121쪽
Sit pendulum compositum ex ponderibus quotlibet A, B, C, virgae, vel superficiei pondere carenti, inhaerentibus Sitque sus pensiam ab axe per D punctum ducto, qui ad planum, quod hic conspicitur, perpendicularis intelligatur. In quo eodem plano
etiam centrum gravitatis E , ponderum A , B, C, positum uti lineaque centri D E , inclinetur ad lineam perpendiculi D p , angulo EDF: attracto, nimirum, eo usque penduso. Hinc vero dimitti jam ponatur, ac partem quamlibet oscillationis conficere, ita ut pondCra A, B, C, perveniant in G, H, Κ. Vnde, relicto deinceps communi vinculo, singula intelligantur acquisitas celeritates sursum convertere, quod impingendo in plana quaedam inclinata, velut Q Q, fieri poterit, & quousciue possunt ascendere, nempe in L , M , N. Quo ubi pervenerint, sit centrum gravitatis omnium
punctum p. Dico hoc pari altitudine esse cum puncto E. Nam primum quidem, constat P non altius esse quam E , exprima sumptarum hypothesium. Sed nec humilius fore sic osten demus. Sit enim, si potest,P humilius quam Ε, & intelligantur pondera ex iisdem, ad quas ascenderunt, altitudinibus recidere , quae sunt LG, M H, NK. Vnde quidem easdem celeritates ipsis acquiri constat, quas habebant ad ascendendum ad istas altitudines , hoc est, eas ipsas quas acquisierant motu penduli ex C B A D in K H G D. Quare,si cum dictis celeritatibus ad virgam superficiemve, cui innexa fuere, nunc referantur, eique simul adhaerescant, motumque secundum inceptos arcus continuent; quod fiet, si prius.
quam virgam attingant, a planis inclinatis qua)epercussa intesti-
122쪽
gantur; absolvet, hoc modo restitutum pendulum, oscillationis partem reliquam,aeque ac si absque ulla interruptione motum con tinuasset. Ita ut centrum graVisaris penduli, E, arcus aequales E F, s x, descendendo ac ascendendo percurrat, ac proinde in R eadem ac in E altitudine reperiatur. Ponebatur autem E esse altius quam P centrum gravitatis ponderum in L, M , N, positorum. Ergo & Raltius erit quam P: adeoque ponderum ex L, M, N, delapsorum centrum gravitatis, altius, quam unde descenderat, ascendisset. quod est absurdum '. Non igitur centrum gravitatis P humilius est quam E. Sed nec altius erat. Ergo aeque altum sit necesse est. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO V. DAto pendulo ex ponderibus quotlibet composito, si singula ducantur in quadrata distantiarum siuarum ab axe oscillationis, s si ma productorum dividatur per id quod fit ducendo pondem ummam, in distantiam centri in
mitatis communis omnium ab eodem axe oscillationis; orietur
longitudo penduli simplicis compositouisochroni, e distantia inter axem s centrum oscillationis ipsius penduli compositi.
Sint pondera pendulum componenti quorum nec figura nec magnitudo, sed gravitas tantum considereturὶ, A , B , C, suspensa ab axe, qui per punctiam D, ad planum quod conspicitur, rectus intelligitur. In quo plano sit quoque eorum centrum commune gravitatis B; nam pondera in viversis esse nihil restri. Distantia puncti E ab axe, nempe recta E O3ocetur L Item ponderis A distantia AD, site; BD, f; CD, e. Ducendo itaque singula pondera in qua -
123쪽
drata suarum distantiarum, erit productorum summa aee - bff- egi Et rursus, ducendo summam ponderum in distantiam centa tri gravitatis omnium,productum aequale erit a d --b dric d Vnde,productum prius per hoc dividendo, habebitur Cui longitudini si aequalis statuatur longitudo penduli simplicis p c,
quae etiam x vocabitur; dico hoc illi composito isochronum esse. Ponantur enim tum pendulum F G , tum linea centri D E , aequalibus angulis a linea Perpendiculi remota, illud ab F H , haec ab D Κ, atque inde dimissali orari, & in recta D E sumatur D L aequalis F C. t laque pondus C penduli p C , integra oscillatione arcum G M percurret, quem linea perpendiculi P A medium secabit. punctum vero L arcum illi similem & aequalem L N, quem medium dividet
D K. itemque centrum gravitatis E , percurret similem arcum E I.
Quod si in arcubus C M,NL, sumptis punctis quibus ibet, similiter
ipsos dividentibus, ut o & P , eadem celeritas esse ostendatur ponderis C in o , & puncti L in P; constabit inde aequalibus temporibus utrosque arcus percurri, ac proinde pendulum F G, pendulo composito ex A, B, C, isochronum esse. Ostendetur autem hoc modo.
sit primo, c potest, major celeritas puncti L, ubi in P pervenit,
quam ponderis ci in o. Constat autem, dum punctum L percurrit arcum L P , simul centrum gravitatis E percurrere arcum similem E usucantur a punctis Q, P, o, perpendiculares sursum, quae occurrant subtensiis arcuum EI, L N, G M, in R, S, Y. & S P vocetur . Vnde, cum sit ut L D, x, ad E D , d, ita s P, , ad R Q; eric R Q aequalis . Iam quia pondus G cam celeritatem habet in o , qua valet ad eandem unde descendit altitudinem ascendere, nempe per arcum o M,vel perpendicularem o Y ipsi P s aequalem; Punctum igitur L, ubi in P pervenerit, majorem ibi celeritatem habebit, quam qua ascenditur ad altitudinem p s. Dum vero L transiit in P, simul pondera A , B , C , sinsiles arcus percurrunt ipsi L P , nimirum A T, B v , C X. Estque puncti L celeritas in P , ad celeritatem ponderis A in Τ , quum vinculo eodem contineantur, sicut distantia D L ad
D A. Sed ut quadratum celeritatis puncti L , quam habet in P, ad quadratum celeritatis puncti A in T, ita est altitudo ad quam illa ccleritate ascendi potest, ad altitudinem quo hac celeritate ascendi potest . Ergo et iam,ut quadratum distantiae D L,quod est x x, ad , ruadratum distantiae DA, quod est ee, ita est altitudo quo ascenitur celeritate puncti L, quum est in P, quae altitudo major dicta est quam P s sive 3,ὶ ad altitudinem quo ascenditur celeritate ponderis A in T ; si nempe postquam in ae pervenit, relicto pendulo,
124쪽
seorsim motum suum sursum converteret. Quae proinde altitudo major erit quam Eadem ratione, erit altitudo ad quam ascenderet pondus B, celeritate acquisita per arcum B v, major quam Et altitudo ad quam ascenderet pondus C, celeritate acquisita per arcum C x, major quam N. Vnde,ductis singulis altitudinibus istis in sua ponadera, erit summa productorum major quam quiae proinde major quoque probatur quam - Nam quia posta est longitudo x aequalis , erit a d x b dx see Exaequale ae e -- bU-c g g. Et ductis omnibus ina, & dividendo per xx, erit 'aequale Vnde quod ductum est consequitur. Est autem summa ista productorum aequalis ci quod fit ducendo altitudinem , ad quam ascendit centrum gravitatis commune ponderum A, B , C, in summam ipsorum ponderum , a -- ι - - e; si nempe singula, uti dictum, seorsim quous que possunt moveantur. Quantitas vero producitur ex descensu centri gravitatis eorundem ponderum, qui descensus estn uisive γ, ut supra inventum fuit, in eandem quoque ponderum summam a b e. Ergo quum prius productum altero hoc majus ostensum fuerit, sequitur ascensum centri gravitatis pol derum A, B, c, si, relicto pendulo ubi pervenere in T, v, x , sinsula celeritates acquisitas sursum convertant, majorem fore ejusdem centri gravitatis descensit, dum ex A , B , C, moventur in T , V, X.
ruod est absurdum , cum dimis ascensus descensui aequalis esse
Eodem modo, si dicatur celeritatem puncti L , ubi pervenerit in P, minorem esse celeritate ponderis G quum in O pervenerit; ostendemus ascensum possibilem centri gravitatis ponderum A, B, C, minorem esse quam descensum, quoa eidem propositioni antecedenti repugnat. Quare relinquitur ut eadem sit celeritas puniacti L, ad p transsati, quae ponderis C in o. Vnde, ut superius dictum, sequitur pendulum simplex p G composito ex A , B , C, isochronum esse.
Diso pendulo ex quotcunque ponderibus aqualibus composito; si summa quadratorum factorum a distantiis, quibus unumquodque pondus abest ab axe oscillationis, ap-
125쪽
HOROLOG. OSC LATOR. ios pueretur ad distantiam centri ravitatis communis ab eodem oscitationis axe, multiplicem secundum ipsorum ponderum numerum , orietur longitudo penduli simplicis composito Uochroni. Sint posita eadem quae prius, sed pondera omnia inter se aequa lia intelligantur, & singula dicantur a. Rursus vero nulla eorum magnitudo consideretur, sed pro minimis habeantur, quantum ad
Itaque penduli simplicis isochroni longitudo, per propositionem antecedentem, erit Vel, quia quantitas divisa ac dividens utraque per a dividitur , fiet nunc eadem longitudo,V. Qio significatur summa quadratorum a distantiis ponderum ab axe oscillationis , applicata ad distantiam centri gravitatis omnium ab eodem oscillationis axe, multiplicem secundum numerum ipsorum ponderum, qui hic est 3. facile enim perspicitur numerum hunc, in quem dueitur distantiad, respondere necessario ipsi ponderum numero. Quare constat propositum. Quod si pondera aequalia in unam lineam rectam conjuncta sint, atque ex termino ejus superiore suspensa; constat distantiam centri gravitatis,ex omnibus compositae,ab axe oscillationis,multiplicem secundum ponderum numerum, aequari summae distantiarum omnium ponderum ab eodem oscillationis axe '; ac proinde, hoc casia, habebitur quoque longitudo penduli simplicis, composito istoc roni, si summa quadratorum , distantiis ponderum singulorum ab axe oscillationis, dividatur pcr summam carundem omnium distantiarum.
DEFINITIO XIV. SI fuerint in eodem plano, luna quaedam, s. linea recta
qua ipsam extrinsecus tangat , s per ambitum figura alia recta, plano eius perpendicularis, circumferatur,super ciemque quandam descr/bat, qua deinde secetur plano predictam tangentem ducto s ad dicta figurae planum inclinato ι solidum comprehensium a duobus planis sis, s parte super
ciri descripta , inter utrumque planum intercepta, vocetur
neus super figura illa, tanquam bas, abscissus.
In schemate adjecto , estis Ec figura data; recta eam tangens
126쪽
o, e,,τια M D; quae vero per ambitum ejus circumfertur, E F ; cuneus au-
tem figura solida planis A BEC, MFG,& parte superficiei, a recta Ε F descriptae, comprehensa.
DEFINITIO XV. DI pantia interrectam, per quam cuneus abscissus est, s
punctum baseos, in quod perpendicularis cadit a cunei centro gravitatis, dicatur cunei Sub centrica. Nempe infiguris eadem , si Κ sit centrum gravitatu cunei, recta veno Κ I ad basin ejus AB EC perpendicularis ducta sit, s rursus a M' pendicularis ad AD; erit I M, quam subcentricam dicimus.
PROPOSITIO VII. C eur super plana figura qualibet abscissus, plano in
clinato ad angulum semirectum, aqualis obolido, cpuod si ducendo figuram eandem, in altitudinem aqualem distantia centri gravitatis figura, ab recta per quam abrissus est
Sit, super figura plana AC B, cuneus A n Dabscissus plano ad angulum semirectum inclinato , ac transeunte per E E , rectam tangentem figuram A C B , inque ejus plano sitam. Centrum vero Rr vitatis figurae sit F , unde in rectam E E ducta sit perpendicularis F A. Dico cuneum A C B aequalem esse solido, quod fit ducendo figuram A C B in altitudinem ipsit F A aequalem. Intelligatur enim figura A C a divisa in earticulas minimas aequales
127쪽
tes quarum una G. Itaque constat, si harum singulae ducantur in distantiam suam ab recta E E , summam productorum fore aequalem ei quod fit ducendo rectam A p in particulas omnes , hoc est, ei quod fit ducendo figuram ipsam ACB, in altitudinem aequalem A F. Atqui particulae singulae ut C , in distantias suas G H ductae, aequales stat parallelepipedis, vel prismatibus minimis, super ipsas erectis, atque ad supernciem obliquam A D terminatis, quale est CK; quia horum altitudines ipsis distantiis G H aequantur, propter angulum semirectum inclinationis planorum AD&ACB. Patet que ex his parallelepipedis totum cuneum ABD componi. Ergo &cuneus ipse aequabitur solido super basii A C B , altitudinem habeati rectae E A aequalem. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO UII LSI A nam planam linea necta tangat, divisaque intesti
gaturDura in particulas minimas aquales, atque a sim sutis ad rectam istam perpendiculares ductae erunt omnium arum quadrata, simulsumpta, aequalia nectangulo cuidam, multiplici secundum ipsarum panticularum numerum 3 quod nempe rectangulum fit a distantia centri gramitatis figura ab eadem recta, s asubcentrica cunei, qui per istam super figura abscinditur.
Positis enim caeteris omnibus quae in constructione praecedenti, sit L Acunei Ano subcentrica inrectam E E. Oporici igitur ostendere, iummam quadratorum omnium a distantiis particularum
128쪽
figurae A C B aequari rectangulo ab EA, L A, multiplici secundum
Et constat quidem ex demonstratione praecedenti, altitudincs parallelepipedorum singulorum,ut G Κ,aequales esse distantiis pariaticularum, quae ipsorum bases sunt, ut C, ab recta A E. Quare, si jam parallelepipedum ci x ducamus in distantiam G H , perinde est ac si particula G ducatur in quadratum distantiae G H. Eodemque modo se res habet in reliquis omnibus. Atqui producta omnia parallelepipedorum in distantias suas ab recta A E , aequantur simul producto ex cuneo A B D in distantiam L A , quia cuneus gravitat super puncto L. Ergo etiam summa productorum a particulis singulis C, in quadrata suarum distantiarum ab recta A E, aequabitur producto ex cuneo A B D in rectam L A , hoc est, producto ex figura A C B in rectangulum ab FA, LA. Nam cuneus A BD, aequalis est producto ex figura A C B in rectam FA'. Rursus quia figura A c B aequalis est producto ex particula una G, in numerum ipsarum particularum; sequitur,dictum productum ex figura A C B in rectangulum ab p Α, I. A, aequari producto ex particula C in rectangulum ab F A, LA, multiplici secundum numerum particularum G. Cui proinde etiam aequalis erit dicta summa productorum, a particulis singulis C in quadrata suarum distantiarum ab recta A E , sive a particula una Gin summam omnium horum quadratorum. Quare,omissa utrinque multiplicatione in particulam G , necesse est summam eandem quadratorum aequari rectangulo ab F A, L A, multiplici secundum numerum particularum in quas figura A C B divisa intelligitur. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO IX. D AEa figura plano. in eodem plano linea rectώ, qua
vel secet figuram vel non , ad quam perpendiculares cadant a particulis singulis minimis aqualibus,in quas figura divisa intelligitur; invenire summam quadratorum ab omnibus sis perpendicularibus sive planum, cujus multiplex,
secundum particularum numerum, dicta quadratorum summa aequale sit.
Sit data figura plana A B c , & in eodem plano recta E D ; divisaque figura cogitatu in particulas minimas aequales , intelligantur ab unaquaque earum perpendiculares ductae in rectam E D , sicut a particula F ducta est et K. Oporteatque invenire
129쪽
summam quadratorum ab omnibus illis perpendicularibus. D Sit datae E D parallela recta A L , quae figuram tangat, ac tota exta x irn ii. tra eam posita sit. Potest autem figuram vel ab eadem parte ex qua est E D , vel a parte opposita contingere. Distantia vero centri gravitatis figura ab recta A L sit recta C A, secans E D m E;&subcentrica cunei, super figura abscissi plano per rectam A L , si H A. Dico summam quadratorum quaesitam aequari rectangulo A G H una cum quadrato E C , multiplicibus secundum particularum numerum, in quas figura divisa intelligitur.
Occurrat enim pκ, si opus est producta, tangenti A L in L puncto. Itaque primum, eo casu quo recta E D a figura distat, & tangens A L ad eandem figurae partem ducta est, sic propositum osten .
detur. Summa omnium quadratorum P Κ aequatur totidem quadratis ς L, una cum bis totidem rectangulis KL p,& totidem insuper quadratis L p. Sed quadrata Κ L aequantur totidem quadratis E A. Et rectangula x L p aequalia esse constat totidem rectangulis E A G , quia omnes F L aequaes totidem C A . Et denique quadrata ' exup L F aequantur totidem rectangulis HAC , hoc est, totidem qua ta. 'r ρ' dratis A G cum totidem rectangulis A G H. Ergo quadrata omnia p Κaequalia erunt totidem quadratis E A, cum totidem duplis rectangulis E A G , atque insuper totidem quadratis A C cum totidem rectangulis A C H. Atqui tria ista; nempe quadratum E A cum duplo rectangulo E A C & quadrato A C; faciunt quadratum E G. Ergo apparet quadrata omnia r K aequari totidem quadratis E G , una sum totidem rectangulis A C M. Quod erat ostendendum. Porro in reliquis omnibus casibus, quadrata omnia F K aequantur totidem quadratis κ L, minus bis totidem rectangulis KL p, plus totidem quadratis L p; hoc est, totidem quadratis E A, minus totidem duplis rectangulis L A c , plus totidem quadratis A G , cum tO
130쪽
, diu , o dem rectangulis A G H. Atqui, omnibus hisce casibus, fit quadra ita, tum E A, plus quadrato A G , minuS duplo rectangulo EAG, aequale quadrato E G. Ergo rursus quadrata omnia F Κ aequalia erunt totidem quadratis E G , una cum totidem rectangulis A G H. Quare constat propositum.
Hinc sequitur, rectangulum A c H eadem magnitudine esse, utriusvis cunei subcentrica fuerit A H ; hoc est, sive per hanc, sive per illam tangentium parallelarum A L abscissi. Itaque A G unius casus ad Ac alterius, ut H G hujus ad H G illius. Sicut autem rectae A G inter se, ita in utroque casu cunei per A L abscissi, ut colligitur ex prop. 7. huj. Ergo ita quoque reciproce G H ad G H. Apparet etiam,dato figurae planae centro pravitatis G,& subcentrica cunei, per alterutram tangentium parallelarum A Labscisti, dari quoque cunei, per tangentem alteram A L abscissi, subcentricam.
ΡROPOSITIO X. Positis qua in propositione pracedenti; si data recta E Dtranseat per G, centrum gravitatis figura A B C ; erisse-ma quadratorum a dictantiis particularum, in quas figura