장음표시 사용
331쪽
tioni ipsius, M. ad, F G, ut, consideranti manifestum erae Ergo c. E F, ad c. F L, erit ut, EF, ad , F Κ, spectantem ad duodecimam diagonalem . Et, EF, ducta est ut cumm22 huiu - ergo o. c. B D, ad O. c. trilinei, ALCD, erunt ut o. l. Bad O. l. duodecimi spatij, & subinde vi, B D, ad ipsum. spatium duodecimum. Sed B D, est huius spatij tredecmplum. Ergo & o. c. B D, ad O. c. trilinei . ALCD, erunt vi I 3. ad I. seu eorum tredecupli. Recte ergo producto ex 3. & q. additur unitas, ut fiant I 3. qui ad I. habent du
Sed ut uniuersaliter fiat demonstratio sic procedemus. Quia ratio ipsius, E F, ad quamcunq; eius portionem resectam versius, F, per diagonalem assumpti spatij, quae sit ex. gr. F Κ, componitur ex tot rationibus ipsius, E F, a FG, quotum est ipsum spatium, nam ad diagonalem cuiusq; spatij terminatur una ratio, aequalis rationi ipsius, E F, ad , F G. Assumpto vero quouis potest. gradu, ratio put. E F, ad pol. F I, eiusdem gradus totuplex est eiusdem rationis, EF, ad, FG, quotus est numerus dictae potestatis. Ideo factum sub numero assumpti spatij, & numero pota exhibebit numerum proportionum,AB, EF, in ratione,ΕKad, F G, continuatarum, numerumq; spatij, ad quod parallelogrammum. BD, ostenditur esse, ut ipsius, BD, o. p. ad O. p. assumpti spatij. Sed parallelogrammum, BD, ad inuentum spatium est, ut numerus eiusdemmet spatij,vn, tale auctus, ad unitatem. Ergo o. p. B D, ad O. p. assumpti spatij crunt ut factum iub numero assumpti spatij.& numero potest. unitate aucto ad ipsam unitatem. Qi pd,&c.
In eadem figura proposito quocuns statis , regula ea
dem , CD, habetur ratis o. p. parasielogrammi, BD,
ηι ρ. p. propositi spatij ceiusdem tamen semper gra-δει cum pote II. BD,9 a prima, ct deincepi in insin
332쪽
a m continuanspotesatibus; si exponatur series numerorum a numero dati spaιθ nitate aucto, deinceps eodem numero spatij sese excedentium ,singulis ref
tium, AIC D, numerus eiusdem est 3. addita unitate fit ε. primus numerus huius seriei, in Qua numeri sele deinceps per 3.
semper excedunt. Dico ergo O. l.
B D, ad O. l. huius tertij spatij, B ICD, esse vi q. ad I. o. q. ad O. q. Vt I. ad I. O. c. ad O. c. Ut Io. ad I. o. hq. ad O. qq. vi I 3. ad I.&α retenta semper unitate pro communi omnium proportionum termino consequente. Hoc autem facile ex praece denti Prop. deducitur, - -, --- -inam si ducamus 3. nu- Α γ Io 13 I9 dic. merum spatij in nume- I I I I I 'Irum primae pol. seu Ii- -i- ---near, qui est I. fiet 3. & addita unitate, fiet q. pro antincedente proportionis termino, qui ad I. erit vio. l. B D, ad O. l. spatij, AIC B. Similiter ducto 3. in numerum s cundae pol. hoc est in a. fiet 6. & addita I. fiet 7. qui est in secundo loco seriei, ostendens o. q. B D, ad o. q. trilinei, AIC D, esse vi 7. ad a. Pariter ducendo 3. in numerum tertiae potest. seu cuborum,' qui est 3. fiet y. & addita I. fiet numerus Io. qui est in serie tertio loco, ostendens O. c. BD, ado. c. AICD, esse ut Io. ad I. Et sic patet ratio numerorum dictae series; qua arte & reliquae series pro reliquis trilineis pariter extendi possent. S C Η O L I V M. EX bibemus ergo insequenti Tabella feries numerorum pro dignoscend proportionibus o. f. BD, ado. f. eius
333쪽
3os Exercitatio quarta: dem graiss spatiorum primi , fecundi, tertj, sec. usq; ad decimum , incipiendo a prima potes. se propediendo per illioecedentes pariter usq; ad decimam potest. quae es cccuborum. tamen numeri poterunt facile per aequale eorum incrementum in insinitum tam in spatys quam in potest.con tinuari, ut per se patet. Usus vero sequentis Tabella talis est. Si volueris scire quam proportionem habeant o. p. cuiusdam gradus a primo . Us; ad IO. parallelogrammi , B D, ad O. p. eiusdem gradus cui cunqipatis a primo usq; ad decimum, quares in fonte numerum potest. c patia later aliter in prima isera columna, in directumq; habebis numerum , qui ad unitatem erit in eadem dictarum pote troportιone. Vt volens scire quam rationem habeant o.qc. BD, ad O. qc. septimi statij. Eloniam qc. es s. potest. ideo quarens I. in fronte, ct later alite eptimum sparium, accipio in area n merum 36. qui ad unitatem es ut o. qc. BD, ad O. qc. septi
Sed isdem numeri Meiles facile ne Tabula habentur duricto numero fontali meu potest. in numerum Inrealem ,scussatis , addita enim unitate, ut in ant. Prop. dicebatur o prodam, idico habetuν dictus numerus areaus quaesi1 s. l a I 3 i ,-i s I . I I s I
334쪽
COROLLARIUM I. SI indicta Taselia confideremus feriem numerorum in eolumnis defendentio, illico intuebimur in columna prima potest. o. i. parallelogrammi , B duplas esse o. L priami spatij, iripias o. i. fecundi spa/j, quadruplas o. i. terti, Datij, ctc. At ex columna fecunis potest. fercipiemus o. q. B D, tripla esse o. q. primi θών, quintupla o. q. secvnino
xj ,septvla o. q. tertν, oc. Mmiliter ex tertia columna patebit o. c. B D, quadruplos esse o. c.primi spari ineptuplos o. c. fecunae, undecusos o. c. tertij, sec. in caeteris. Ita vi. in omnibus columnis appareat progresonem ,scu incremen tum fieri taxia numerum potes. propyιa celamna.
Si, proposito quocunq; ex res vis spatiit, BD, inant.=
gura, eiusdem numeri spatium quaeratur in latere δε- beta praecedestis Prop. e regione cuius sumantur m . . pr ma, in flecunda ρotectatum columna respondentes numera. Erit Iactum sed bis duobus numeris, ad
335쪽
eiusdem facti residi-m, ab eo dempto duplo disseren
tis di torum numerorum , cum numero minor s τι
o. q. B D, ad O. q. residui patij propositi, assumpta ea
dem πιν serioribus regula. Exposita denuo praecedenti figura assumatur ex. gr. primum spatiuin residuum, Λ GCB,& in Tabella praecedenti e regione primi spatij sumantur in prima, &secunda potest. columna numeri a.& 3. qui inuicem ducti facient 6. Eorum differentia I. duplicetur, fitq; a. qui numero minori a. additus facit A. quo dempto ex 6. I manent a. Dico ergo ut 6. ad a. ita esse . q. BD, ad inq. AGCB, regula, CD. Quod verum esse patet eX Prop. 2 O. Sumatur nunc secundum residuum spatium, & cum s cundo spatio ex dicta Tabella accipiantur numeri col.priamae, di secundae pol. nempe 3.& I.
Ab his factum est a s. eorum dis strentia et . duplicata , iunctaque ipsi 3. facit s. qui demptus eκ II. relinquit 8. Dico ergo vi I I. adita ede o. q. BD, ad o q. residui vispatij, seu semiparabolae, AH CB.
Quod verum esse ostendit Pro --- posit. et q. G Deniq; ut hoc uniuersalitcrostendatur. assumemus ex. gr. quartum residuum spa- id uim tium, ALCB. Sunt ergo o. q. BD, seu factum sub O. l. BD,&o. I BD, ad factum si ib o. I. B D, & sub o. I. spatij, 3 hvm ALCD, ut, BD, ad , ALCD, nempe ut . ad I. Item O. q. BD, ad O. q. ALCD, ex eadem Tabella, quaesita potest. a. pro quadratis in fronte,& lateraliter spatio
quarto, dignoscuntur ex numero areali esse ut 9. ad x. Sed vi s. ad I. ita, ducto utroq; in s. est factum qy. ad factumst. Et ut 9. ad I. ita, ducto utroq; per F. est factum 63. ad factum 3. Ergo redegimus has duas proportiones ad communem terminum antecedenrein q3. Quoniam
ergo o. q. BD, ad factum subo. l. BD,& o. LALCD, sunt
336쪽
Da vj, Indiuisibilium in Potestatib. cossicis. 3 o 9
sunt ut q3. ad 9. Et cadem o. q. B D , ad o. q. . Pro adratis AL CD, sunt ut qy. ad F. Ergo o. q. BI , ad factum sub o. l. B D, A L C D, minus o. q. A L C D , hoc est ad factum sub o. l. Λ LC B, A L C D , erunt ut mq3. ad differentiam num ci aerorum s. & 9. nempe ad 4. 2Et ad eandem bis suptam . erunt ut q7. ad 8. Sed ad 3o. q. ALCD, sunt ut 1. F ad s. Ergo colligςndo O.'. BD, ad factum bis subo. l. ΛLCB,ΛLCD, plus
o. q. ALCD, erunt ut qI. ad I 3. Dempto autem I 3. ex Abia remanent 3 a. Igitur o. q. B D, ad O. q. A L C D, erunt ut q3. ad 3 a. Hoc cst erunt ut factum sub s. & ς. numeris, col. I.& a. pol. e regione quarti spatij constitutis, ad residuum dempto ex qF. numero 13. qui conflatur ex duplaia .diff. q. dictorum numerorum, nempe ex S. & numero mi nori s. scilicet ut qy. ad 3 a. Quod, &c. Videproportionemo. q. BD, ado. q. residuorum patiorum D. ad decimum inprecedenti Columclia. COROLLARIUM. CVmergosis nota ratio o. q. BD, ado. q. residuoνumo tiorum eiusdem, B D, euadis quoque nota ratio omm. lia similarium solidorus ex ductis spatiis, auxia datam regu
337쪽
In eassim antecedenti Aura , regula eadem, o. e. B D, ad O. e. euiuscunque residus spatij , erunt it factum sub numeris prima , secundae , tertie eo lumna potestitum eiusdem Tabestae, e regione spatij existentibus , ad eiusdem residuum, ab eodem dempto facto sub triplo diserentiae numerorum prιmae,.secunda columnae,.sub numero tertiae, plusscto sub eisdem numeris primae , st secunda columnae.
VT ex. gr. assumpto primo residuo spatio, e regione primi spatii in dicta tabella sunt in I. a. & 3. col. potestatum hi tres numeri, a. 3. q. factum sub quibus est aq. Differentia inter a.& 3. est I. eius triplum 3. factum sub hoc triplo, &sub . est a a. fa m sub a. & 3. est 6. qui cum I a. facit I 8. quo dempto ex aq. remanent 6. Dico itur o. c. B D, ad O. c. primi r sidui spatij, Α G C B, esse ut a ad 6. Quod patet per Prop. II. Sed ut uniuersaliter fiat demonstratio, assumatur ex. gr. Quartum residuum spatham, A L C B. Quoniam ergo in Prop. ant. ostensiim est, o. q. BD, ad factum sub o. l. ALCB, ALCD, esse ut factumstb numeris .&9. r.& a. columnae e regione quarti spatij, scilicet s. ad di si rentiam inter s. & ς. nempe ad q. o. q. ergo, B D, ad tria plum facti sitho. l. ALCB, A L C D, erum ut qy. ad ra. Sed ut o. q. B D, ad triplum faeti: sub. o. l. Λ L C B, ALCD, ita est pactum subo. l. BD, dc sub o. q. BD, hoc est ita sunt o. c. B D,ad triplum facti sub o. l. B D, & sub ductoo. l.ALCB, in O.l. ALCD. Ergo o. c. BD, ad tria se ista
338쪽
sub o. l. B D , o. i. A LC B, & o. i. A L C D, erunt ut qI. ad I a. quod serua. Itein o. c. BD, ado. c. ALCD,quarti spatij, se ni vi I 3. numerus ter the col. ad I. Ergo o. c. B D , ad tria facta sub o. l. B D, A L C B, A L C D, plus o. c. ALC D, erunt ut factum iub 13. &qI. nempe 3 8 I. ad 3o I. Nam si proportionis qI.ad 1 a. commutemus terminos,duincendo utrosque per I 3. fiet pro anteced. numerus 38 . &pro consequente I 36. similiter si alterius proportionis terminos I 3. & I. ducamus per qF. fiet pro anteced. I 8 I. &pro consequente s. Retento ergo communi anteced. et .& iunctis consequentibus Is 6. & s. fiet consequens a I. Quaproptcr o. c. B D, ad tria faeta sub o. l. B D, A LC B, ALC D, plus o. c. ALCD, erunt ut 8 . ada o I. O. c. vero, B D, aequanturo. c. ALCB, ALCD,& 3. factis sub o. l. B D, ALC B, ALCD iuxta dicta ad partcm poste. riorem Prop. Iq. Ergo per conuersionem rationis o. c. BD, ad O. c. A L C B, erunt ut 381. ad residuum 38q. nempe ab eo dempto a I. Porro 38s. fit ex du ictu 13. in4s. & s. fit ex ductu I. in s. inare antecedens I 83.m ex tribus hisce numeris F. 9. I 3. primae, secundε,& tertiar col. cons ques vero cst residuum
numeri a o I. qui constatur ex numero II 6.& 63. quorum ille fit ex triplo differentii numerorum I. & 9. qui est Ia. ducio in I 3. hic vero fit sub I.& 9. Pa. tet ergo propositum ex hoc similiter in reliquis residuis spatijs quibuscunque.
Videproportionem O. e. BD , ado. c. residuorum flatiorum inque addecimum inpracedenti columella. Pro cubis.
339쪽
MEthodo igitur consseniis procedendo , expensis aliis suquentibus potest. poterit, qui voluerit o. i. qu rumcunque i us, BD , ado. p. eiusdem gradus residuorum quo rumube patiorum proportionem indagare. suoniam enim mihi non vaeat circa huia odi dominam amplius immor ri , propterea haec, or alia huiusmodi, qua circa hoc Deum dissimum theorema de infinitis diagonalibus . vel, ut alii vo carunt, insinuarum parabolarum, inquiri possunt, aliis, quibus plus es, quam mihi, otii, o sanitatis, ad alia properanti, indaganda relinquam. SCHOLIUM II. Non reticendum autem duxi hoc insigne circa potestates circuli,vel elli ae,ear deduciposse expor parabola tavi habita insuperiori figura ratione o. p. BD, ad O.ρ. A HEB memiparabola, regula , C D, incipiendo 2 prima, per re liquas deinceps progrediendo in inst nitum, habeatur quoque ratio oe. quadrati cιrculo,uelparallelogrammi elli elaeam- scripti, ad ol. eiusdem gradus cireusi,vel elti f. non in omnibus , fauem in aliquibus pol. gradibus, quod ex obiecta figura clarias percipietur.
340쪽
Sit em emiparabola , AER, diameter,a B, vertex, A. Oproducta, AB, A, C, ita vi. BC, At aquatis, BE, is descriptus quadrans circuli, vel AEUM, EBC, quacunque existente , BC , ct compleantur parallelogramma , DB, BF:
ducta Morue sit quaecunque i AC, squidistans, G Lfecans,
crum O. M. FB, ado. sq. EB C., ubinde vi II. ad 8. Pa. Cori 26. riter quia vi c. G I, adc. I Η, ita cc. L I, ad . IK nam hμ μδ' c. G I , adc. I habet triplicatam rationem eius, quam habet , G Ι , ad , I Η, hoc Is quam habet q. LI, . aeq. I V, quas aeuelicata ipsius , LI, ad , I x, ct ideo ratio c. GI , adc. ΙΗ, eri extuplicata rationis , LI, ad , IIT. Erit ereo ve .LI , adcc. I x. υ enim cc. sexta pol. ct ideo in ratione sextuplicata V us , L I , ad , I x. Ut ergo o. c. DB, ad O. c. ABE, ita erunt o cc. F B, ad O. cc. EB C, nempe via ad I 6 Habemas ergo rationem λί. FR, ad O. L. EB C, proxiamγ 6 Iq. ad II. Similiter o. q. F B, ad O. q. EBC, sunt τι 3. ad a. per Cor. Proposiri is ri L M. Terre Geom. inaene ratione cuborum numi& congat. De ys: Iam scimas o. q. FB,ado. qq. EBC , esse ut II. ad 8. De cateris pol. usque ad . nil inquisiui. o. cc F B, ad O. .E OC, iactum est esse vi ad i6. Ex reliquarum ergo pol. detecta rationem arab ia,possunt eadem rationes derivariis t. inculi, vetet sis. Et ita considerato oratiise harum pG. incisculo , puerit ι o.
fus attentare sem emergat nota vera ratis o I Fh , 'ado I. -
B C primae testatis; hoc est ratior rallelogrammi. FB , ad quadrantem circulit, vel inusis , ERC. seu vera circuli1 inatura . dius eduis Lectoris cras hac occasionepaucis indicasse. scenique, tanquam coronidem, addimus mensuram risi p. rbolici eiusdemqfgmentorum Ραμπρ punissecantiabus axi perbola parallelis, sensta tamen eiusdem spero