장음표시 사용
321쪽
Exposita quacunq; parabola, HBE, mi basi, HE ,
circa axim BG, cum νθι circumscripto parati
322쪽
adq. CK. ita est qq. FC,' i. ad qq. C I ; ideo ut o. q. CE, ad D. q. quadrilinei, C D E Κ , ita crunt Q. qq. C E , ad O. qq. trapezij , C D EI. Vt vero O q. CE, ad O. q. trapezij, CDEI, ita est factum sub tripla, FI, & q. E D, ad differcntiam cuborum, D E, C Ii& ita factum sub tripla, EF, & q. EG, ad differentiam cuborum, E G, G F quia, F E, respondet ipsi,' F I, EG, ipsi, ED,&,GF, ipsi, C I, in eadem Propotatione,ob similitudinem in teriorum trianguloru. Vt vero factum stib tripla, F E, & q. E G, ad differentiam cuboi um, E G, G F, ita ex hypothesi est, L, ad, M O. Ergoo. q. CE, ad O. q. trapezij, C D El, M stibinde o. l. C E, ado. l. qti adrilinei, CDE K, seu Q. q. C ad factum sub O. l. Coe. i. CE, Strilinci, CDEΚ, erunt ut, L. ad , MO. Sed factum tabulus. sub o. l. CE, CDEΚ , aequatur facto sub o. l. trilinei, FKE, L. huius.& quadrilinei, CDEN, plus o. q, CDEK. Ergo o. q. CE, ad factum sub o. LF Κ E, MDC, cum O. q. CDEΚ, siunt
Insuper quia o. qq. CZ, ad Q. qq. trapezij, CDEI,ostcnsa sunt esse, ut o. q. CE, ad O. q. quadrilinei, CDEN,&illa fiunt ut factum siub quintupla, F E, & qq. E G, ad disia Per ant. ferentiam qcuborum, EG, GF, hoc vero est ut, L, ad, MN. Ergo o. q. CL, ad O. q. C KED, erunt ut, L, ad, M N. Parct autem, cum O. q. C E, ad factum sub O. l. C E,&o. l. CDEΚ, probata suerint esse, ut, L, ad M O; D ictum au. tem sub o. l. C E,& o. l. C D ΕΚ , superet o. q. C D E Κ, culta probatum sterit aequari facto sub o. l. FΚΕ, ΚCDE,&o. q. KCDE, ideo, MO, superare, MN . Sunt ergo D. q.
323쪽
Eadem vero o. q. CE, ad O. q. quadrilinei, KCDE,osten- fa sunt esse, ut, L, ad , MN. Ergo colligendo, . q. CE,' ad O. q. CD ΕΚ,&ad bis factum lub, ΕΚ, ΚΕΙ', erunt ut,L.ad, MP. emadmodum vero illa sunt minbrao. φ'CE, ita, M P, minor erit, quam, L vel, M ch, eidem L, aequalis. Cum ergo o. q. CE, ad O. q. CDEΚ, cum bis . facto sub o. l. CDEΚ,ΚEF, sitvr,L,ad,MP; erunt per coudum' i ἡ uersionem rationis o. q. CE, ad O. q. trilinei ΚEF, ut, L, huius. ad , Pin Sic pariter erunt omnia solida similaria,& con- . ' 3μῆ ς sequenter cilcim rotunda, hoc est cylindrus genitus exd C E, ad segmentum fusi parabolici gentium ea. KEF. Quod ostendere oportebat.
Manissum erga est inuentam proportionem ver: aripariter de omnibae olidis diatribus gramisex parasielogrammo, C E, trilineo , K EHetiam , B G fit ean
tum Hametera qua proporrro nota eritin, GE, GRF4cum, angulo, C , noxaesupponantur . .
ET quari praenominatus Beau and aes cum aliaris ab eo demonstrarionibus, elegantismam Mo me misno me ara fusi parabolici, illiusque segmentorum, ut is
Praefat. innuebatar, idcirco ut Lector earim quoque persem --, andem hic apponemus , praemisso tamen ei dem risigni Lemmate, quod tale es.
Sed aliam , inquit i e , satis elegantem , c niuersat
. Mam, quam Prop. 3 p. I. b. Sec. Iram. Dd. Hi -
324쪽
mis rectis tantum enuntiauit flubnectere ect animus . Hane autem concipiam per modum canonis, seu regula inueniendi expositis parasielogrammis , aquealtis , , ducta diametro, assumptaque, DF, tanquam commum regula I rationem fiati pubo.' Aq, BF, ad actum sub o. 'trapeas. AD cuianguis. Dummodoμupponantur oe. Ast, ei aem essgradus cum O.ρ. trapeatis , APRcs , o. p. B F , eiusaem gradus cum O. p. triangulLPRO primo termino ergo,seu antecedente rationis quγsitae assumatur potestas rectae, Din, quae in eodem gradu subsistat, quo potestates, A Q, vel trapeχῆ, AD QC. Deinde componatur potentia abs, DF, minus, , in prima figura ἱ vel abs, D F, plus, F O, in secunda , quae in eodem gradu quoque sit, quo o. o. A O, vel
trapeae ij,AD . Quam . titates,e qu ibus componetur potentia,Ordinentur secundum ordinem in Algebra usitatum , atque prima quantitas diuidatur per numerum vn te maiorem numeri
ro gradus o. p. B F, vel trianguli, CQF . Secunda quantitas diuisedatur per numerum s
quentem in progressione naturali numerorum, tertia per numerum in eadem progressione sequentem, atq. eodem ordine residuae quantitates dividantur. Veluti si prima quantitas diuidaturper s. secundam opus erit partiri per 6. tertiam per '. quartam per 3. &c. Quo peracto habebis secundum terminum.
325쪽
certa quadam ratione resectorum dimensio ex hoc Lemmate petrileat, instituto circa o. q. propterea eius demmonstrationem extendere volui,ut hinc etiam pateat quinmoda demonstrandae sint reliquat Propositiones, quae ve lut e fonte en praecedente canone fluunt.
Est urgo fitium sub o. q. AF,BF, ad factum sub o. q. A
Cor. 3. F, C inr, uto. q. B F, ad O. q. trianguli, C Q F, hoc est huiu ut 3. ad Io vel vi q. D F, ade q. DF. Item ut bis factum,i. huiu, sub n. l. A F, δι o. c. B F, ad iactum stib o. I. A F, de o. c. EF, ita o. c. B F, ad O. t. C Q F, hoc est ita A. ad Iovetita duplum rectanguli, DF in adorectanguli DF Q. Item o. qq. B F , ad O. qq. C QF, sunt ut 3. ad. r. hoc est
vi q. in , ad Q q. Q F. Sed ut faetum sub o. q. A F , B F, 's. ., iactum iub o. i. A F, & sub o. c. v B, ita parallelo
'μφμβ graminum, AF, ad parallelogrammuna, BF, bis simplum, hoc est ita, DF,aci a. F vel ita q. DF, ad 2. rectan gula, DF in Et ut bis factum subo. l. AF, dc sub o. αις0y- 3 B F, ad Ooqq. B F, ita a. parallelogramma,AF,adparalle. 'ημ' -- logram imum, BF, hoc est ita a. DF, ad , F velita a.
rectangula, D E Q, ad q. F Q Itaque in prima figura factum sub o. q. AF, BF, minus bis facto sub o. s. A F, de sub o. c. BF, pliis o. qq. B F, ad iactum sub o. q. AF, dc trianguli, C m, minus bis facto sub o. i. A F, & sub o. c. C Q F, plus o. qq. C QF, erit veq. DF, minus a. rectangulis, DF Q, plusq. F, ad Φ3. See. DF, minus ἶ rectanguli, DF Q, plus ἰq. Q L. Elem cu Sed in prima figura fabum sus o. q. A Q, B F, aequatur
V c. . facto sub o. q. A F, B F, minus bis facto sub o. i. A F, M
326쪽
C. CQF, plus o. qq. CQ F. Item q. D Qx aequaturq. D F, minu. D F a. rei tangulis, D F Q, pitis q. FQ. Nunc in analogismo superius exposito aequalia aequaliabus subro entur. Igitur factum subo. q. Λἰ, BF, eandem: liabebit rationem ad factum sub o. q. trapezii , Λ D ,& trianguli, C Q F, quam q. D QUd q. DF, minus i ei tanguli, D F Q, plus q. QR Ordine non dissimi It concludetur in secunda figura factum sub o. q. A Q .B F, ad factum sub o. q. A D QC,CQF, esse vi q. D , ad ἰ q. DF, plus Orectanguli, DF plus q. . Porro ex praecedentibus colligitur factum sub o. q. ΛQ, BF, ad factum seb o. q. ADQC,CQF, se haber
Vro O q. D Q. ad 2 o. DF, minus 3 o. rectangulis, DF Q, plus I a. q. Q F. Verum I 3 . q. D in aequantur II. q. D F, minus 3α rectangulis, DF plus II. q. Q F, in I. figura. In secunda autem I s. q. D inaequantur 17. q. DF, plus 3 o. reetangulis, DF in plus a F.q QF. Itaque in utraque figura ut factum subo. q. A F, BR ad factum subo. q. AD QC, C F, ita erunt 6 Q. q. Din. ad . q. DF, plus II. q. D Q, minus 3. q. O F. Ves posterioris rationis terminos perbo. di itidendo, ita l. D in ad
o. q. trapezij, A D R C, & trianguli. C Q F, squale est facto sub o. q. AF, & trianguli, C F , minus bis facto sub o. i. AF, & sub o.
327쪽
3oo ' Exercitatis quota sPROPOSITIO XXX.
T T in autem arte , qua Caualerius usus est Libros b=π - 1. 1 Quarto Geometrie Ind. vel λrsitan ut sequitur de- Libri monstiari potest. Compleatur parallelogrammum, Α F', iunctaque, C Q, ducatur recta, G ΗΚ, ubicunque vol-lad '' ueris inter rectas, B in CF, modo sit eis parallela. Tum protrahatur per punctum, I, recta, L N M, parallela o j. arti dinate, DF. Quandoquidem natura para5oles, ut rectanis ςψN. gulum, D Q F, ad rectangulum, D K F, hoc est rectangu- 'φ' lum, L N M, ad rectangulum, LIM, ita esse constat,MQ, hoc est, Gk , ad , Ηλ. Idcoq. factum sub q. L N,& q. . N M,
328쪽
NM, ad facili in subq. LI, &q. IM, erit vi q. Gh, ad q-Ηk. Cum autem, G k, ducta sit absque electione inter recta S, BQ, CF, sequitur factum subo. q. AQ, BF, ad
factum sub o. q. Λ D QC, C QF, esse ut o. q. B F, ad O.q. trilinei, B QF.
Sed prior ratio demonstrata est aequalis ei, quae q. D Q, Uti ad ἔ q. m, plus Aq. DF, minus Ergo&pO- sterior. Porro fui us parabolicus est ibi idum ex reuol tione plani parabolici super recta ordinatim ad axem a plicata . Igitur rectam, D F, esse ad axim ordinatim applicatam supponamus. Solidum ergo ex reuolutione figurae, D B F, super recta, D F, genitum erit fusus paraboliacus in prima nempe figura. Solida autem ex reuolutione trilinei, B Q F, super recta, F , ex praecedentibu S notam
habent rationem ad cylindros rectos eiusdem axis, & baseos, eam scilicet, renuertendo, habet eylindrus ad soli
A. F. Sed in prima ligura eiusmodi solida sunt si uita fusi parabolici, quae planis axi paraboles paraliciis res cantur. Quare ii recta, DF, secta elisit bifariam in , Q,
puncto, cylindrus eκ reuolutione rectanguli, BF, superrecta, QP, genitus, ad solidum ex trilineo, BQ F, super e dem recta, λῆ, reuoluto procreatum eam ha bcrct rationem, quam II. ad 8. vii rectas ad numeros rcnocanti pa-
Iam erit. Verum in hoc casu cylindri praedicti duplus est
cylindrus rectus, cuius axis, D F, & basis circulus, cuius radius rectar, BQ, sit aequalis. Item solidi ultimo comme morati duplus est fusus parabolicus ex reuolutione D BE, super recta, D F, productus. Quamobrem cylinctus rectus , cuius a Xis, D F, & basis circulus, qui radium habeat recta, BQ aequalem, ad susum parabolicum ex reuolutione figur ae, DBF, super rccta, DF, genitum eam habebitrationem, quam Is . ad 8. Igitur non tantum D si parab lici, verum etiam segmentorum, quae planis axi parabinlas parallelis abscinduntur, dimensionem . iuxta prO-
329쪽
s CEOLIUM. HAee elaborabar viriae ingem mss eum necdum ex
quodam morbo conualuisse, quem lethalem Mediciaeiudicarant, cui idcirco pauo post, maximo Reip. literaria detrimento mors occest. Enimuero cum occiderit florentibus annis, tantiumq; nihilominis in Geometricis progressus fuerit, quae, or qualias naturalem vita cursum ad leuisset,ab e perari poterant. hacsedulo perlustro actae qui ;poterit intesilere. Huic autem satis probabatur hae Ind. methodus, ut propterea ad me Italice scribens ob d. 8. Nouembris, Anno I figo. haec de eadem prolateris . La opplico ae feriuermi se ui ha applicato la sua intientione di dim Mare per σι' Indiui ili asta ricerca de' centri di grauita, ecordine, cive liene, at chegiugnera me gli place qualchedunta
empto . Veramente abretanto simo questa maniera di d mostrare, stoicheebreuisma ,eprocede diretramente, e non per Passurdo, sec. Porro iam demostratis quaedam pauca adhuc superaddemus, sinemq; imponemus praesensi doctrina quatenus nobis licuit exculo, alijs immensum speculati num campum ape russeueat iussicantes.
In quocunq; parastelogrammo, descriptis iuxta Prop. 23. diagonalibus a prima deinceps quoi libuerat,'retenta eadem regula, qua describuntur et O. p. quaecuηq; dicti parallituram mi ad O. p. eiusdem gradus cuι
cuur; spatij dictarum diagonalium, erunt ut factum
330쪽
Iub numero assumpta pote i ,-η-ero spatῆ,
unitate auctum, iaffam mviralem. Assiumpto quocunq; parallelogrammo, B D, in quo iuxta dictain Prop. 23. lint d scriptae quotcunq; diagona Ies, A G C, prima, A H C, secunda, Λ I C, tertia, A L C, quarta, &c. quousq; libuerit, regula latere, CD, quod hic quoq; sit regula. Dico os. parallelogrammi, BD,
aecunq; ad o. p. cuiuscunq, ex
dictis spatijs eiusdem tamen Hadus,esse ut factum sub numero a stumptae potestatis,&numero spatij, unitate aucto, ad ipsam unitatem. Ut si ex. gr. assumantur cubi, Quartumq; spatium, ALCD, dico o. c. BD, ad O. c. sipati1.
ALC D, else ut factum sub 3. qui est numerus cubi, & subq. qui est numerus spatij, hoc est ut II. unitate auctum , scilicet ut I 3. ad viastatem. Ducta enim in , BD, quacunq: recta, Ep, ipsi, CD, regulae aequidistante, ac secante diagonales in, G, H, I, L, quoniam proportio cubi, E F, ad c. FL, est triplicata proportionis, EF, ad, FL, seu composita ex tribus rationibus, EF, ad, FL. Ratio autem, EF, ad, FL, componitur eκ ratione, EF, ad , FG, FG, ad FH, FH, ad, FI, &, FI, ad, FL, quae sunt aequales, quia ex lege descriptionis dictatum diagonalium fiunt hae lineae, EF, G F, H F, I F, L F, continuo proportionales) hoc est eκ q. rationibus ipsius, A F, ad , F G. Ergo tres rationes, E F, ad, F L, aequabuntur Iet. rationibus ipsius, F E, ad , F C, qui numerus I a. habetur ex ductu 3. numeri potestatis, in q. numerum spatij. Et consequenter ratio cubi, E Radc. FL, duodecupla erit rationis, EF, ad, FG. Sed etiam ratio, quam habet, E F, ad eius portionem interceptam inter, AD,& duodecimam diagonalem, quae sit, Κ F, componitur ex Ia. rationibus ipsius, E F, ad , F G, terminate nim illa duodecimam proportionem, aequalem propor tioni