장음표시 사용
361쪽
melaequatibus distanti suspenduntur: earum mome ta erunt in ratisnegrauitatum eorund-P--.
cunq; grauia, D,F, ab eadem,veletqualibus distatijs, AC, AB, in libra, BC, suspensa. Di-
ta em, ut ipsorum. mei grauitates. Summatur ipsi,F,quo
cunque molcs singulae aequegraues, G, Ηἔ&ipsi, D, aliae quotcunque singulae aequegraum, ut, E. QSoniam ergo, F, G, sunt moles aequegraues, de ab eadem distantia, AC, suspensae, ideo erunt aequalium momentorum. Eadem ratione ostendemus momentum ipsius, H, aequari momento ipsius, F. Motuplex ergo est grauitas ipsorum grauium, FGH, grauitatis, F, totuplex est aggregatum ex momentiri HGF, seu momentum, HGF, momenti, F. Eodem modo ostendemus quotuplex est grauitas ipsorum, ED, grauit iis, D, totuplex esse momentum ipsorum, ED, momenti, D. Si autem grauitas, FGH, multiplex primae, aequalis est grauitati, ED, multiplici secundae, etiam momentum , FGH, multiplex tertiae aequabitur momento, ED, multiplici quartae, & si illa erit maior, & hoc maius erit, &si minor, minus. Ergo prima ad secundam erit ut tertia ad quartam. Hoc est grauitas, F, ad grauitatem, D, erit ut momentum, F, ad momentum, D. Quod,&c.
362쪽
PROPOSITIO RSi quacunq; aequegrauis ab inaequabbus dictoidis se pen
dantur: erunt eorum momenta in ratione dictantia
D,quicunque,ab inq- qualibus distanti js, AC, AB, suspensa. Dico eorum . momenta esse in ration distantiarum , AC , AB. Intestigatur ab , EF, mai ris disntiae ablata moles LE, ad cuius grauitatem sit grauitas, A, reciproce, ut distantia, CA, ad AB Moles ergo, E, aequeponderabit ipsi, D, perohensa ab Arch, mede in Prop. 6. Libri Primi Aequepond. quae ut ibidenia ait & Guid. Vbaldus ad omnes quoque moles trasseruntur. Igitur momentum ipsius, E, erit aequale momento ipsius, D. Est autem momentum, EF, ad momentum, E, hoc est ad momentum, D, ut grauitas, EF, seu, D, ad grauitatem, E: & grauitas, D, ad grauitatem, E, est ut, CA, ad AB , ex hypothesi. Ergo momentum, EF, ad momentum, D, est ut, CA, ad AB. Quapropter aequegrauium mo
363쪽
mammunque trauium a quibuslibet dictantiis suspens
rum, momenta flumis ratione composita ex ratione dictantiarum, ἐν grauitatum .
quaecunq; grauia, E, D. Dko corum momenta esse in
ratione composita in ratione distantiarum,& grauitatum Deforis enim sumpta mole, F, ipsi, E, aequegraui, illa su-DEtii. spendatur in distantia, AG , ipsi, AB, aequali. Momentimi Primi Prgo, E, ad momentum, D , habet rationem compositam Ge. Ind- ex ratione momenti, E, ad momentum, F, scilicet, C A, prop.auti ad AG, Vel AB, quia, E, F, sunt moles aequegraues;& ex ratione momenti, F, ad momentum, D, scilicet eκ ratione grailitatis. F, scu, E, ad grauitatem, D, nam, GA, AB, .huius. aequat S distantiae. Ergo moinentum, E ad momem tum , D, est in ratione composita ex ratione, CA, ad, A B, di ex ratione grauitatis, E, ad grauitatem, D. Quod,&GS C Η O L I V M. SI ergo ostensa ab Archimede loco praeitato ad omnis generis grauia transferantur, patebit has tres proximas Propositione veriores de ijs quoque ver cari. Remisscatur autem sudiosus hoc , quodinpraesenti Prop. demonstratur μ' positum fuisse in Exerc. Tertia, CV . . Pet. 2 31. Illi ergo per
364쪽
tatis quotcunque molium eiusdem Farris: centrumgr uitatu aggregati ex omnibus istis erit in eadem recta area,.in ea qsius portione, qua mugis centra grauitatis molium extremarum. HAee Propositio ma niuesta est; si enim ex propositis
molibus duas quascunque acceperimus, earum cen trum grauitatis erit in recta iungente ipsarum centra grauitatis . Rursus assumpta alia quacunque mole, in in tercepta inter huius centrum grauitatis , & centrum prae dictarum duarum, erit harum trium centrum grauitatis. Idem vero ostendetur de quatuor , quinque, &c. Ergo omnium centrum grauitatis erit in iungente centra grauitatis extremarum, in hac enim erit centrum quotcunque assumptarum mosium. Quod, dec.
Hactenus sine Indiuisibilibus nunc vero per illa proce
365쪽
si linea indefinita transeat per centrum grauitatis cuiusque omnium larearum figurae pianae, vel cuiusque omnium planorum selisia, regula quavis sumpta: in eius portione in figura comprehensa, eris i in figura
centrum grauitatis . Dicatur autem talis rem axis
grauitatis eiusdem figura. ΙΝ figura quacunq; plana,
ABC,transeat recta indefinita , ML, per centra grausetatis cuiuscunque omnium linearum eiusdem, regula, BC,
ut per , Η, I, K, centra gruuitatis rectarum, FG, DE, BC, ipsi, BC, parallelarum,&sic in caeteris. Dico in , AB Κ, quae concipitur in figura, esse centrii grauitatis eiusdem figurae,ABC. Quoniam enimin, AK, sunt quarumlibet linearum ipsi, BC, parallarum simgillatim centra grauitatis, ideo in eadem, A Κ, ei it omnium centrum grauitatis, collectiuE sumptarum, hoc enim patet per methodum antecedentis. At idem est centrum omnium linearum, & figurae planae ABC . Ergo in, AK, erit figure, ABC. pariter centrum grauitatis . . Quod si supposuerimus, ABC, esse solidum, in quo, regula basi, BC, sint quotcunque plana ipsi, BC, parallela, DE, FG , & per eorum centra grauitatis, LI, Κ, transire, A Κῶε ostendemus eodem modo in , ΑΚ, esse centrum grauitatis omnium planorum solidi, ABC, regula, BC,& su
366쪽
Hscpatet veri icari e figuratam plana, quam solidae.
supponantur uniformiter , ue di ormiter graue1, quia Postulatum s comprehendit utrunque genus grauium. Si quis vero abhorreat ab Indiuisebilibus, recolat ostensa et ca uniformiter grauia a Luca Valerio Lib. Primo de cetrograu. solidorum, Prop. 22. ibi enim probat , Omnis figurae circa diametrum in ali cram partem deficientis in diametro super centrum grauitatis e uiuscunq; linea ad Vsam ordinatim applicatae, quia illam bifariam secat 2 csse centrum grauitatis. Idemq,colligit in Corollario eiusE m Prop. pro omnifolido circa axim qui transit per centrum grauitatis cuiuscunque plani , tangenti fotidaran in vertice aequid antis P hoc es in axe esse centrum grauitatis iuctisobri. Vniue saliter autem constat ex ibidem sensis; oninis figulae planar, siue solidae, cuiuS I semini omnis cauitas sit intcrior, atque idco intra icrminum
centrum glauitatis;& cuius pars aliqua esse possit, quae a tota figura de ficiens minori dcst ictu quacunque magnitudia ne proposita ,habeat centrum grauitatis in aliqua certa linea recta intra terminum figurae constituta, esse in ea recta Iinea totius figiuae centrum grauitatis. Per hac ergo habebusfurimus modum, quo sibi amplius fatisfaciat in νs
omnibus figuris, quas huiusmodi conditionem habere comperieris . in uniuersalis me pro omnibus figuris id demon- . . prare, aliter quam per Inditiis bilia dispoia i
367쪽
34o miscitotis quinta PROPOSITIO. IX.
qi aevoquegrauis fuerinit 'reportionaliter analoga
ingrauirates eorum centragravitatis aberunt aquaintera verticibus eorMaiam.
an earumque plano constitutae, hoc est in eadem
altitudine, duae quaelibet figurae planae, ABC, DE
F,siue uniformiter ambe, siue difformiter graues, vel una uniformite alte radi sirmiter grauis,qui ssint proportionaliteranalogae in grauitate. Dico earum cetra grauitatis aequaliter abesse a verticibus eam, dem. Ductis ergo quotcunque lineis rectis dictam communem altitudinem secantibus, & subinde ipsis, AG, B H, parallelis, sint ex eisdem in figuris interceptae, KN, LM, RV, PS,& fit, Κ N, in directum ipsi, RV,&, LM, ipsi, PS. Erit itque grauitas ipsius, KN, ad grauitatem, LM, quemadmodum grauitas, RV, ad grauitatem, PS, ex hy- Iothesi. Supponantur utraeque figurae suspensae a puncto, , a quo descendat recta, IOQT, ipsis, AG, ΒΗ, parallela , & subinde horizonti perpendicularis, & sit, I, centrum aequilibrij alterutrius diebrum, ut ipsius, ABC. Dico idem, I, esse centrum aequilibrij reliquae figurae, DEF. Namque dicta figura,DEF,manebit in hoc situ,in quo parallelf,RV, PS, sunt horizonti perpendiculares, quod sic probatur. Etenim momentum ipsius, KN, ad momentum, L M, habet rationem compositam ex ratione distantiae redit, Κλ ab, I,
368쪽
ad distantiam, rectar, L M, ab eodem, I, & ex ratione grauitatis, KN, ad grauitatem, L M, hoc est ex hJ pothesi ex ratione grauitatis, RV, ad grauitatem, PS. Sed ex ijsdem
componitur ratio momenti, RV , ad momentum, PS. Ergo momentum, KN, ad momentum, L M, erit vi momentum, si' 'R RμRV, ad momentum, PS. Idem quoque eodem modo de momentis quarumcunque ipsi, AG , parallelarum sibi respondcntium ostendetur, quod nempe sint proportionalia. Habemus ergo duos magnitudinum ordines, ncmpe m menta omnium linearum figurae, ABC, & mometa omnium linearum figurae, DEF, ita sbi, se habentia, ut unicuique momento lineae sumptae in , ALC, rcspondeat momentum lineae in directum cum illa existentis , scilicet hab cmus tot momenta in uno ordine, quot in alio. Cum vero, ABC,
per , IT, siccetur in figuras, Alo, i BCO,&, DEF, in figuras, D QT,QEFT : totque sint omnia momenta figurae , IBCO, quot omnia momenta figurae FT: similiter cum sint tot omnia momenta figurae, AIO quot omnia momcnta sigurae, D QT. Ideo omnia momenta, IBCO, ad omnia momenta, AIO, erunt ut omnia moenenta, .FT , ad Omnia momenta, Din, per dcmonstrata in Exercitatio . Quarta, & eius Scholio Prop. Io. Sed omnia momenta, IBCO, a quantur omnibus momentis, Alo, cum enim, I, sit centrum i aequilibrij figurae, ABC, crit in recta, IOT , tam Def. Q. centrum grauitatis eiusdem, ABC, quam omnium lincatu,' 'ABC, quarum, I, erit quoque centrum aequilibrij. Igitur& omnia momenta , QEFT , aequabuntur omnibus mom tis,DQT. Igitur, I, erit centrpna aequilibrii omnium li-ncarum figurae, DEF. Vnde in IT, erit earum centrun grauitatis, &subinde centrum grauitatiS quoq; figura , D Def. is. EF. Igitur centra grauitatis figurarum, ABC, DEF,aequari post, , liter aberunt a verticibus earundem, A , D. Vt velo intelligatur hoc verum esse de quibuscunque magnitudinibus proportionaliter analogis in grauitate, siupponemus posterius, AG, B H, esse plana parallela ,hor Zontique perpendicularia, & in ij idem, nempe in eadem altitudine constituta quecunque grauia proportionalit crana.
369쪽
autem quot ciliaque planis ipsis , AG, ΒΗ , para
ab ipsis fieri in solido, ABC , plana, L M, KN,&in figura plana, DEF,
rectas, PS , RV, ita ut planum, LM , & recta, PS , fia ni ab eodem plano, & a b eo dcin planum, KN, & recta, RV . Sint insia per ab , I, quod sit
centrum aequii: brin grauis, ABC, suspensa utraque grauia, descendente pariter ab , I, recta, IT, horiZonti perpendiculari, quae litin plano figurae, DEF . Vel si non sit in eius plano, intelligemus tamen illam suspensam in plano per , IT, transeunte, ac ipsis planis, AG , B H aequi distante, . Dico autem fig aram, DEF, ita suspensam, mansuram esse, existentibus, PS , R V, vel easdem cssicientibus parallelis planis, ipsi horizonti perpendicularibus. Ostendemus enim ut supra momenta planorum , Κ N, L M, esse vi momenta rectarum, RU, PS siunt enim, ΚN, RV, aequaliter distantia a plano, IT,&subinde a puncto, vel punctis sit spensi nis i & sic de caeteris. Unde concludemus omnia momenta, IBCO , ad omnia momenta, AIO, esse ut omnia momenta. QR FT, ad omnia momenta, DQT: ostendemusque omnia momenta, IBCO, A ID, adaequari, cum , i, sit centrum is
aequilibri; grauis, ABC. Quare patebit omnia momenta figurarum , FT, DQT, eme aequalia, & subinde vel, I. esse centrum aequilibrii, DEF, vel hoc, simul cum centro grauitatis eusdem , DEF, esse in plano per , IT, transeun. te , ipsis, AG, BH, parallelo. Qu.apropter centra grauitatis grauium . ABC, DEF, aequaliter aberunt ab eorum verticibus, AD. QEod,& pRO
370쪽
ze isu Ind. in edifr.grauibar. 3 6 3PROPOSITIO. X. Si duo quaecunque grauia plana, velduosoli afuerint A
portionaliter analoga ingrauitate: eorumgrauitates erut
inter se , mi grauitatιs lassium, seu quarumcunquo molium , in ipsis ex traiectione cuiuscunqueplani, comis munem altitudinem perpendiculanter secantii , icta'
duo quicunq; plana grauia, CH,Cφr, prportionali. ter analoga in grauitate, in communi altitudineo
rat cm , & a &e. Supponcmus autem primo eas esse unisod miter graucs in seipsis ,& inter se. Erit ergo ut grauitas, Π Des. a C. ad grauitatem , ro, ita grauitas cuiuscunque, ut, y & , ad grauitatem,& a ,&sic de singulis. Igitur ut unum ad unum Cor. iic omnia ad omnia. Nen re ut grauitas, Πr, ad grauita- Ezerc. 3.tem , ΓΦ , ita erunt grauitates Ο. l. c Π P, ad grauitates o. I. Tri. Cum vero ut grauitas, Πr, ad grauitat m, , itast, Hr, adro,& scin cateris: erunt grauitates . l. nr, r. huim, ad grauitate1 o. l. CrΦ, ut o. l. cnx, ad O. l. cro , scilicet vis