장음표시 사용
371쪽
ut, Crim, ari CrΦ, hoc est ut grauitas figurae, Cur, ad gracuitatem figurae, C r Φ. Si vero dictae figurae fuerint in scipsis quidem uniformiter aues, sed inter se diuersigradus, nec sint parallelogramri CD
v M. Δ mma, constituemus in eadem altitudine, CP,& in basibus. Πr, re, parallelogramma, Ar, TE, ita vi, A r, sit uniso miter graue cum, CΠr, & Er, cum, CrΦ. Supponemusqἔtraiecta plana in ipsis effecisse rectas, X&, MQ, FH, in , Ατ, α,&3. , HL,in, Er. Erit ergo grauitas, Π P, adgrau. yde, ut grau.rst, adgrau.& 2: quapropter grauitas, X&. ipsi, Πr, grau. aequalis, ad gr. & y, erit ut grau. 3 & , ipsi grau. ΓΦ, aequalis, adgrau.&2,&sic in caeteris. Ergo grauitates o. i. Ar, adgrau. O. l. Πr, erunt ut gr. O. l. ET, ad gr. o. l. CrΦ. inoniam vero, AP, Crir, sunt uniformiater graues, ide6 ut grauitates o. I. earundem, ita fiant o. L& ut oet,ita figurae, & ut figure ita earum grauitates. Eodem modo ostendemus grauitates O. I. Er, CrΦ , esse ut grauitates figurarum, Er, Cre. Ergo grauitates ipsorum, Ar, PE, adgrauitates figurarum, CΠr, CTΦ, erunt in eadem ramtione. are grauitas, AP, ad grauitatem, Er, erit ut grauitas, CHr , ad grauit. CrΦ. Sed grauitas, Ar, adgrauito Er,hab ct rationem compositam ex ratione plani, A P, ad planum, E r, scilicet ex ratione, Π r, ad , r Φ, & ex ratione gradus grauitatis ad gradum grauitatis , tam in planis, A r .r E, quam in lineis, Π r, r Φ: hoc est grauitates, A P, P E , sunt ut grauitates, Π P, r. . Ergo & grauitates figurarum, C Π r, Cro , erunt inter se, ut grauitates, Πr,rΦ. Quod patet de illis quoque si fuissent parallelograma. Denique alteram ipsarum, ut . CrΦ, supponamus dis,
formiter grauem iuxta limitem, CE , vel illi parallelam
372쪽
extra ductam, sed, E r, uniformiter grave. Ostendemus ergo modo, quo supra, grauitates O. l. A r, ad grauitates omnium linearum, C Πr ,esi e ut grauitates O. l. Er, adgrauitates o. I. Cro. Sed ut grauitates o. I. ita sunt grauitates figurarum etiam in unis grauibus , ut mox probabi- . tur. Ergo grauitates, C Π P, C r Φ, erunt ut grauitates, AF, r E, seu ut grauitates, Π r ,r Φ, &c. Praesuppositum vero sic ostendetur. Nam quaecunque figurae vel planae, vel solidae, aequaliter analogae in graui. tale siue uniformiter, siue disse iter graues, sunt aeque- graues. Si enim ex illis accipiantur duae quaecunque vel ambo planar, vel ambo solidae,& in libra suspendantur,
grauitates o. i. earundem in planis, seu o. planorum in s lidis, erunt inter se aequales, cum sint aequaliter analogae in grauitate:& ut unum ad unum sic omnia ad omnia. At Des tacentrum grauitatis o. i. scd o. planorum) cum sint aeque- grauia erit in medio retice iungentis carum centra grauitatis, & hoc commune est ipsis, & figuris . Ergo figu- Post. 3.rar aequeponderabunt, secus enim earum centrum gr. non
esset in medio. Quapropter erunt inter se aequegraues. Sieso velimus ex. Πr. probare grauitates n. I. CΠr, CP Φ, esse ut grauitates figurarum, supponemus quandam tertiam figuram uniformiter grauena cum, C Πr, sed aequaliter
analogam in grau. ipsi, C r Φ, cui idcirco ex demonstratis
erit aeqvcgrauis, sicuti & grauitates o. i. aequales erunt. Gravitates autem O. l. huius t ertiae figurae, & ipsius,C Πr, erunt ut grauitates ipsarum figurarum, quia erunt ut O. l. di subinde, ut figurae earumq; grauitatcs. Ergo&graui- i. huitu. tales o. i. C Π r, c r Φ, erunt inter se, ut grau irates earundem figurarum. Quod & de difformiter grauibus inter socomparatis manifestum est, conserendo eas cum uniformiater graui , verificari. In solidis autem eadem fiet demonstratio; ut in , C Πr, C ro, si nunc solidae intelligantur , & A r, P E, sint cylindrici , & si pro rectis plana sit bintelligemus.Quod tanquam intellectu facile Lectoris industriae relinquemus. Admoneo Des t. autem haec quoqiverificari quscunq;sit difformitas grauita- Post. eri
373쪽
eaed in rationes, ut consideranti manifestum fiet si modo an sumamus Post. s. qualiscunque situs isormitas grauitatis . COROLLARIUM.Parer igitur expraesenograritates o. ι inpianis, se o.pta. narum in solidis flue uniformitra , ὸ di miter grauibus, ese ut grauitates imorum planorum, vel olidorum. Grastitates autem e. t. seu o. planorum, nonsent ut o. t. vel o.flaisna , nsin uniformiter insestsis, or inter segrauibur, in quibusramgrauitates o. l. interse, quam O. linea interse, se V sigmra, ac earum grauitates iunt in eadem ratione. SCHOLIUM.
quo avaret circum seriptio.or inseri into figura si ex parauelogrammis compositaru in figuris planis, vel ex Uum dricis in solidis cum excessu,vel defectu, - , qua iuxtas Archimedeu apponitur is si a figura huic idonea ν .
Moia Euclideis or Archimedeis viris notissimum non evstnos sed tantum hoc admoneo, cum figura , Crar inunonitur uni Mrmiter, δρον-ter grauis, ima tamen, A r,r E , deber unoni uni/νmiter grauia, ct grauitates basum, Π r , T Φ, communes am paraltilogrammis , Ar .r E, quam risic Πr , CP Tunc enim cum facta prius circumscriptione, o inscriptione usi, Crir, ae deinde Ust, Cro , probatum fuerit grauitat cm, A r, adgrauitatem figurae ex. r. circumscripta usi, C Π r , maiorem habere rationem, quam grauitatem , Er, σή grauitatem is ι C r Φ fendemus rati ratione hoc falsum esse.
374쪽
Pνobabimus en Pavitatem, ΕΗ, ΗΓ, esse vigνα sitis m. AH , ΗΒ oscuri famigraritates basum eorum Eem. Verum senonemus, DN, vnformitergraue, commarari existente grauitate, rix, tam is , DN, qaam κω, in x, eam deficientiarauitatis erat a , T , versus, C, s. emnia patebit grauitatem, Des, maiorem esse grauitate, st e totius circumscripta grauitatem esse maiorem Prauitate. , C r . . Cum vero descientia grauitatis eris . , C, verses, T. utemu guris,ACΠ or CEΦ,tan adis misergrauibus, quibus circumscriptionem, se inscriptionem factam oppon mus, eodem enim modo osedetur grauisate cisca crastae mai rem esseraritare, C r Φ . Sicuti grauitatem quoqι inscripta eadem esse minorem itidem patefiet. Carer a vero artificibus ad demonstrationem complendam nota sunt. Per huc ergo modum poterit fluHoses contexere demonstrationem in omnibus asinis cas bus, tam inplaais, quam in solidis huic circunfriptioni, ct inscriptioni congruis. Eaod sedes ceden/ι Proin potione, ac a s Mis oripis Indi isbilia hic procod nnιώδε ain nimis longa euadat Mς Mereis. dictum volo, quas cui
375쪽
Siqvidcunq;parallelogrammumsit dissormiter graue ιuxta limitem quodvis Vsius titus: centrum grauitatis eius d vi diuidet diametrum limiti insectentem, ita Ῥιpars
ad limitem ' reliqua dupla. SIt parallelogrammum
quodcuno; ABCD, di in eo quocilibet lat
quam si mes, & regula, penes quod sit uniformi ter difformker graue . Diis co centrugrauitatis ipsius Hsecare diametrum limiti insistentem, nempe, ΚM, in puncto, I, ita vi, ΚΙ, sit dupla, IM. Extendantur indefinite, BA, CD, parati telae,& in ijsdem sit constitutum quodcunq; triangulum, EFH,uniformiter graue,in quo diuisa basi,FH, bifariam in, C,& iuncta, EG, manifestum est centrum grauitatis esse
in, R, in quo secatur , EG, ita ut sit, ER, dupla, RG. Nunc inter, EB, FC, extendatur per, R , indefinita, ST, & alia quaecunq; , ambae aequidistantes ipsis, EB, FC: ipsius vero, QN, portio concepta in triangulo, EFΗ, sit, QP, &in parallesogrammo, AC, ipsa , N. Cum ergo, AB, sit limes grauitatis, & regula, cui aequidi stant, DC, ON, erit grauitas ipsius, DC, ad grauitatem ipsius, NO, ut distantia ipsius, DC, a limite, AB, ad distantiam, ON, ab eodem
limite, hoc est ut, MK, ad , KL, vel, FE, ad , E scilicet ut, FH , ad, QP ,& sibinde ut grauitas, FH , ad grauitatem ipsius, QP; & hoc ubi libet intra parallelas, EB, FC, verificabitur. Ergo parallelogrammum, AC,erit proportionat iter analogum ingrauitate ipsi triangulo, EPH. Qua -
376쪽
propter eentrum grauitatis parallelogrammi, AC, erit in eadem recta, ST, in qua est centrum, R, trianguli, EFΗ, ut , aequaliter absint a verticibus, E, AB, dictarum figurarum. Vnde illud erit in concursiu cum diametro, KM, est enim . . , quoq;in diametro, ΚM, hoc est in, I, in quo, KM, proportionaliter secatur vi, EG , in R, propter parallelas, EB, SΤ, FC. Cum ergo, ER, sit dupla, R G, etiam, ΚΙ, erit dupla, I M. Igitur centrum grauitatis parallelogrammi, AC, secat diametrum, KM, ita ut pars ad limitem, AB, sit dupla reliquae. Quod erat demonstrandum.
EX demonstratis constar punctum , I, nedum esse ee.trum
grauitatis parallelogrammi, AC,sed etiam cylindri cis axem, UM , seu in uniuersum cuiuscunque cylindrio circa axem grauitatis, UM , haec di ormia iuxta limitem planum , 'AB , vel, EB, dicta solida in una oppostarum basium H, AB , tangentem opponantur. Sit enim, PN, planum cunque 'duritum aquidstansi plano, EB, ct oriens in cylindrico, AC , Aguram , O N , t ex.gr. in cylindro, AC, circulum, ON. ' Erit ergo grauitas circuli, DC, adgrauitatem circuli, ON. I,
MY, ad , KL, idest ut grauitas, DC, tanquam lateris paraL DE MDommmi, AC, adgrauitase recta, O Pt qaia, AN, planam inter, EB, FC absq;electione ductum e equitur parasielogram, mum,AC, ct cylindrum,AC, esse magnitudinesproportionaeiter' analogas in grauitate. Habebunt ergo centrum grauitatis in huius eodem plano paralleo i , EB. Cum yero centrum grauitatis cylindri, quippe qui es solidum circa axem grauitatis , UMst in , K M, necessario erit in , I. Per hanc ergo ra- 8. huiusὸtionem explicatam Angularito in cylindro patet uniues L
377쪽
istra, ER,FC,plana parallela ducatur quodcunq; planum ipsis aqui-
distans, AN; centrum grauitatis parallelogram- α
mi, OC, o ubinde cuiuscunque cylindrici eire ais Naxemgrauitatis, LM, si si hac omnia esse dissormiter v grauia supponantur iuxtalmisem, EUHcare, L M, quemadmodum centrumnariearis Hape j, EFHρ, '- rmiter grauis secat, VG, ωametrum eisdem trapeῆν. Sunt enim hae magnitudines ex demonstratis Est,. t. de proportionaliter analogae in grauitate. Est quia, V G , ita ea Aeque- ιών ὰ centro grauitatis 'apeυ, , πνραυ ver 's p., i. reliqua sit, ut dupla, FH, una cum, πι, ad duplam, Lue. vati, una cum . Fre: est autem is, Fre, ad, αP, ita, FE , arise, MX,M, KL, ct subinde δ:dupla, FH, eam,' ad duplam, a P , eum, FH, ita dupla, MK, cum, ATL , ad duplam, VL, cum , MK. Auapropter centrum grauitatis parasi grammi, AC,seu cuiuslibet Utindrici circa axem grata nitatis, LM,-ὸ cst usius, LM, ita scabit Vsum, LM, vetan verses limitem, Ad ost ad reliquam, ut dupla, MK, cum , KL. ad duplam , KL, cum, MX , cilicet ut du.pla aestantia a limite remotioris basis, is cum Mantia ρνopinsoris, ad duplam sanna 'opinquioris una cum Mantia remotio ris basis.
378쪽
Si proponatur quodcunque triangulum, per cuius uret cem acta eiusdem basi parallela sit omes , iuxta quem
supponatur dissormiter graued tantrum grauitatis dicti ιriaugub erit ιn Mea recta ducta a vertue ad medium
punctum basis, 'fam ita diuidens, πιι pars ad me iuem sit reliqua ιripti. SIt quodcunq; triangulum, ABC, per cuius verticona, B, ducta, DE,
quem supponatur ipsum triangulum , ABC, difforamiter graue ι secta autem, AC, bifariam in, F, iungatur, BF, quae secetur in,I, itavi, BI, si tripla ipsius, I F. Dico punctum, I, esse centrum grauitatis trianguli, ABC. Ducantur per puncta, A, C, ipsi, BF, parallelae, AG, CH,& circa axim, BF, in basi circulo, AC, intelligatur conus, ABC, uniformiter gra uis. Insuper ducatur quod&nq; planum basi circulo, AC, aequidistans, & efficiens in cono circulum, L M, in paralle. logrammo, GC, rectam, ΚN, & in trian Eulo, ABC, rectam, LM , acin, BF, punctum, J. Igetur, ΚN, erit paralle Ia ipsi, AC, supponemus autem¶llelogramn:um, GC, difformiter graue iuxta limitem, DE. Grauitas ergo rect e, AC, ad grauitatem recta , KN, crit ut, FB, ad , BO.& grauitas, KN, ad grauitatem, L M, erit vi, KN,
ad LM , quia recta, KN , supponitiar in seipsa vnisormiter strauis I scit vi, AC, ad , LM , hoc est ut, FB, ad , BO. Igitur grauitas, AC, ad grauitatem, L M,
379쪽
habebit rationem compositam ex duabus rationibus ipsius sFB, ad io, nempe erit ut quadratum, FB, ad quadratum,. huius. Bo. Rursus grauitas circuli, AC, adgrauitatem circuli, L M, est ut circulus, AC, ad circulum, L M, quia conus supponitur uniformiter grauin hoc est ut quadratum, AC, .ualen. ad quadratum, L M, & rubinde ut quadratum, FB, ad quadratum, BO. Ergo grauitas, AC, rectae lineae ad grauit,t rectae, LM, erit ut grauitas circuli, AC, ad grauitatem circuli, LM,&, LM, ad libitum ducta est: igitur triangu- ' Ium, ABC, & conus, ABC, erunt magnitudines propotationaliter analogae in grauitate. Est autem centrum graui. -b iv tatis trianguli, ABC, cum sit figura circa diametrum, BF, e. vaι-BF, in qua pariter est centrum grauitatis coni. Ergo commune habebunt centrum grauitatis. Sed centrum gra r P 3M uitatis coni est punctum, I, ergo, I, erit quoq; centrum grauitatis trianguli, ABC. Quod, &α COROLL ARI U M. i
t flexuum quodcunq; refectum linea, vel plano bis. 33, AC ,staracteis, ut, ALMC, esse proportionaliter ana. Blogum in grauitate cum ' po com , LACM, eodem filano octo, , ideo haec habere
commune centram grauita siris. Uerum centrum graui
. BO, ad cubum , BO, ita, ri, ad IP , est enim punctum, P. Ergo, P, erit centrumva
380쪽
Si quodcunq; triangulum sutponatur dissorretur graue
iuxta limitem basim : rantrum grauitatis erit in huncto medio rectae tineae , qι- ,-ιtur a mertice ad in
diam punctum basis eiusdem ιrianguli.
C, aequalium laterum, AC, CB,& difformiter gravo iuxta limitem, AB, sectaque AB, bifariam in ,D, iungatur, CD, quae pariter bifariam se.
cetur in , E. Dico punctum, E,esse cetrum grauitatis trianis
guli, ABC. Fiat circa, DC, tanquam circa axim sphaera, CKDN, quae intelligature se uniformiter grauis . Percentrum in stiper, E , traijciatur planum, recte secans axem, DC,& eis ciens in sphaera circulum , KN, & in triangulo rectam, L M. Similiter ducatur aliud quodcunq; planum ipsi, DC, erectum, essiciens in sphaera circulum, FI, & in triangulo rectam, GH . Eiunt ergo arebo hac plana par-rallela plano per, AB, transeunti, sph tamqιtangenti, cum CD, propter aequalia latera , CA . CB, sit ipsi, AB, perpendicularis. Deniq; ex retia, GH, abscindatur, GO, aequalis ipsi, LM. Grauitas crgo rebae, L M, adgrauit tem rectae, GH, de foris sumpta grauitate rceiae, GO, habebit rationem compositam ex ratione grauitatis, L M, adgrauitatem, GO, hoc est ex ratione, ED, ad , DP,& ex ratione prauitatis, Go, ad graui attin, GH, nempe ex ra. tione , Go, vel, L M, ad , GH, Quia, GH, ponitur in seipsa uniformiter grauis. ut, L M, ad, CH, ita est, EC, ad , CP. Ergograuitas, LM ad grauitatem, CH, habet