장음표시 사용
61쪽
vel minor recto vel rectus ; ideoque angulus A B C vel major re- Dε Moxu is vel rectus. Quare in triangulo A B C latus A C. angulo B subtensum, majus erit latere A B. sed idem latus A C minus A C. Ergo omnino & A B arcu A C minor erit.
PROPOSITIO XVII. I dem possis, si tertia necta prioribus parallela D Κ, Gra
culum secuerit, qua ab ea qua centro propior es AF, tantumdem distet quantum haec a reliqua BG: dico partem tau- gentis in A, a parallela ultimo adjecta,'media interceptam, nempe AD, arcu A Caprimis duabus parallelis intercepto minorem esse. Hoc enim patet quum A D ipsi A n aequalis sit, quam antea
ostendimus arcu A C minorem esse.
VIII. SI circulum, cujus centrum E, duae recta parasiel ecu rint AF, BG; in a puncto B, ubi qua a centro remotior est, vel tantundem atque altera distat, circumferentia o F ij
62쪽
Ds Moru in currit, ducatur recta circumferentiam tangens : erit pars
hujus B A , a parallisis inurcepta, major arcu ab iisdem paraltilis intercepto B C. Ducatur enim in puncto C, recta MCL circumserentiam tangens , quae occurrat tangenti B A in L. In triangulo igitur Aci, angulus C aequalis est angulo MCF, hoc est, ei quem capit portio circuli C B F. angulus autem A aequatur angulo quem capit portio circuli BCC, quae portio quum siit major vel aequalis portioni C B F , quippe quum B G vel ulterius distet a centro quam CF, vel tantundem: crit proinde trianguli A C L angulus A minor vel aequalis angulo C : & consequenter latus C L vel minus vel aequale lateri A L. Atqui C L una cum L B majores fiunt arcu C B. Ergo &λα una cum L B , hoc est, tangens A B , eodem arcu C Bmajor erit. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XIX. II dem positis, si tentia necta prioribus parastela D Κ circu
lum secet, qua tantundem distet ab ea qua remotior est a centro quantum haec a reliqua A F Erit pars tangentis in E ,
63쪽
a parasi a media, s ultimo addita D Κ , intercepta, nimi- D. uomu iti
rum B D, maior arcu B C. Hoc enim manifestum est cum B D fiat ipsi B A aequalis, quam ostendimus arcu B C majorςm esse.
SI arcus circuli ,semicircumferentia minor, AB, in partes quotbbelsecetur lineis rectis parallelis, qua inter se, es cum rectis sibi parallelis per terminos arcus ductis, aqualia interealia constituant, quales sunt CD, EF, GH, KL . ducanturque ad terminum arcus alterutrum A , SP ad reliqua omnia sectionum puncta recta circumferentiam tangentes, omnes in eandem partem, s ut unaquaque occurrat prox, ma dictarum parallelarum , cujusmodi fiunt tangentes AC, DE, FG, HL fyc, Dico has tangentes, dempta prima A C simul sumptas, minores esse arcu proposito A B. Easdem vero omnes, non omissa AC, maiores se arcu A B diminuto parte extrema N B, hoc est, majores arcu A N.
Ponamus enim primo parallelarum aliquas transire ab utraque parte centri et, & sit G H , earum quae sunt a parte B, centro proxima, vel per ipsum centrum transeat. Itaque tangentes omnes inter C H & B o comprehensae, ut H Κ , L M , N O , singulae suis arcubus minores sunt . Porro autem & tangens G F , arcu se- Pt .is. huj.quente λ ominor est , de similiter tangens E D arcu DΑ. Itaque .pior. 13hus. tangentes omnes inter B o & C D interjectae, minores sunt arcubus B H & p A, ac proinde omnino minores arcubus B Η, H A, sive arcu B A , quod erat primo ostendendum. . Porro jam demonstrabimus tangentes omnes inter B Ο & Amajores csse arcu A N. Enimvero parallela G H , vel propius centrum et transit quam parallela E p , quam pono proximam me
64쪽
carum quae a parte A transeunt, Vel crit remotior, vel aeque di stabit. Quod si E s longius a centro vel aeque remota est ac CH, erit
tangens F G major arcu suo F H, & reliquae tangentes versus A, Prop is lini. nimirum BD, C A majores singulae arcubus suis '; adeo ut omnes simul C p , E D , C A majores sint arcu H A. sed & arcu H L major Prop.i,.huj. crit tangens L M , & arcu L N tangens N o; itaque tangentes omnes, praeter H Κ , majores simul crunt arcu A N ; multoque magis, accedente ipsa H Κ , tangentes omnes inter A & B com prenensae arcu codem A N majores crunt. Si vero G H a centro longius distat quam Ε F, erit tangens R H Prop. ν. i. major arcu H F ', id tangens M L ut ante major arcu L H, & tangens o N major arcu N L , & Omnes proinde tangentes o N, M L, K H majores arcu N F. Sed & tangens E D major est arcu suo r Prop.i . D & tangens C A major similiter arcu suo D A. Itaque tangentes omnes inter B o & Α , praeter G F , majores erunt arcu N A ;multoque magis tangentes caedem, accedente G F , hoc est, omnes quae inter B o & A interjiciuntur, codem arcu N A majores
Ex his vero etiam demonstratio manifesta cst in casibus aliis, qualiscunque semicircumferentiae arcus accipiatur, quippe cum vel eadem sit ubique, vel pars tantum praecedentis demonstrationi S.
SI mobile descendat continuato motu per qualibet plana
inclinata contigua, ac rursus ex pari altitudine defendat per plana totidem contigua, ita comparata ut gula a
titudine respondeant Angulis priorum planorum, majori quam illa sint inclinatione. Dico tempus descensus per misnus inclinata, brevius esse tempore descensus per magis in-
elinata. Sint scri es duae planorum inter easdem parallelas horizontales comprehensae ABCDE, pG HKL, atque ita ut bina quaeque sibi corrcspondentia plana utriusque seriei iisdem parallelis horizontalibus includantur; unumquodque vero scri ei FGHKH magis inclinatum sit ad horirontem quam planum sibi altitudine respondens serici ABCDE. Dico breviori tempore absolvi descen-ixesi per A u C D E , quam Per x G H Κ L.
65쪽
Nam primo quidem tempus descensus per A v , brevius esse
constat tempore descensus per FG, quum sit cadem ratio horum temporum quae rectarum AB ad F G ', sitque A B minor quam F G, Prop. 7. huj. propter minorem inclinationem. Producantur jam sursum retactae C B, H G , occurrantque horizontali A F in M & N. Itaque tempus per B c post A B , aequale est tempori per eandem B C post M B,
cum in puncto B eadem celeritas contingat, sive per A B , sive per M B descendenti . similiterque tempus per G H post F G, aequale .pior. 6. . crit tempori per eandem C H post N G. Est autem tempus per B cpost M B ad tempus per C H post N G , ut B C ad G H longitudine, sive ut C M ad H N , cum hanc rationem habeant de tempora per totas MC, N H, S per partes M B , N G ', ideoque etiam tempora Prop. .hui. reliqua. Estque B C , minor quam G H propter minorem inclinationem. Patet igitur tempus per B C post M B sive post A B , brevius esse tempore per C H post N G sive post F G. Similiter ostendetur, productis D C , Κ H sursum, donec occurrant horizontali A p in o & p , tempus per C D post A s C , sive post o C, brevius esse temporc per H K post F G H sive post P A. Ac denique tempus per D E post A B C D, brevius esse tempore per K L post p G H κ. Quare totum tempus descensus per A B C D E , brevius erit tempore per F G H Κ L. quod crat demonstrandum. Hinc vero manifestum est, considerando curvas lineas tan quam ex innumeris rectis compositas, si fuerint duae superficies , secundum lineas curvas esus dem altitudinis inclinatae, quarum in punctis quibuslibet aeque altis major semper sit inclinatio uniusquam reliquar, etiam tempore breviori per minus inclinatam Diave descensurum quam per magis inclinatam. Uelut si sint duae superficies inclinatae secundum curvas A B, C D , aequalis altitudinis, quarumque in punctis aeque altis quibuslibet E , F, major sit inci inatio ipsius C D quam A B , hoc est, ut
66쪽
recta tangens curvam C D in F, magis inclinata sit ad horiztem, quam quae curVam A B tangit in puncto E. crit tempus scensus per A B brevius quam per C D.
Idemque continget si altera linearum rectae fuerit: dummodo inclinatio rectae, quae ubique est eadem, major minorve fuerit imclinatione curvae in quolibet sui puncto.
PROPOSITIO XXI I SI in Cycloide cujus axis ad perpendiculum erectus A
vertice deorsum spectante , dua portiones curva aequalis altitudinis accipiantur,sed quarum altera propior sit vertici; erit tempus desensus per superiorem, brevius tempore per inferiorem.
67쪽
se distent ac Ε c, F κ , inferiorem portionem E F includentes. Dico tempus descensus per curvam B D brevius fore tempore per E F. Sumatur cnim in B D purinum quodlibet L, & in E 3 punctum M , ita ut eadem sit altitudo Ε supra M quae B supra L. Et descripto super axe A C semicirculo, occurrant ei rectae horizontales LN, M o, in N&o, &jungantur NA, ΟΑ. Itaque quum punctum N sit altius puncto o, manifestum est rectam N A minus ad horizontem inclinari quam o A. Est autem ipsi N A parallela tangens curvae in L puncto , de ipsi o A parallela tangens curvae in M. Ergo curva B D in puncto L minus inclinata cst quam curva E p in puncto M. Quod si igitur portio E F, in variata inclinatione, altius extolli intelligatur velut in e f, ita ut inter easdem parallelas cum portione B D comprehendatur, invenietur punctum M inm, aequali altitudine cum puncto L. eritque etiam inclinatio curvae e f in puncto m, quae eadem est inclinationi curvae E F in M, major in clinatione curvae B D in L. Similiter vero, & in quolibet alio puncto curvae es major ostendetur inclinatio quam curvae B D in puncto aeque alto. Itaque tempus descensus per B D brevius erit tempore per e s , sive, quod idem est, per E F. quod erat demonstrandum.
LEMMA.E Sio circulus diametro A C , quem secet ad angulos rectos
DE, s a termino diametri A educta recta A B occurrat circumferentia in B , ipsi vero D E in F. Dico tres hasce, A s , AD, AF, proportionales esse.
Sit enim primo intersectio 3 intra circulum; & arcui a D rectasiibtensa ducatur. Quia igitur arcus aequales sunt A E , A D, erum anguli ad circumferentiam ipsis insistentes, E D A, Λ B D mu
68쪽
D. ubju les. Itaque in triangulis ABD, ADF, aequales anguli ABD, ADL ς oiv s Communis autem utrique est angulus ad A. Ergo dicti trianguli similes erunt, ideoque B A ad A D ut A D ad A F.
Sit jam punctum intersectionissextra circulum , & ducatur b uparalicia D E, quae occurrat rectae A D in H. Itaque secundum jam demonstrata erit ut D A ad A b, ita A b ad A H , hoc est, ita A ad A D: Ideoque rursus proportionales erunt As, A D , A b. Quare constat propositum.
SD octois ABC, cujus vertex A'deorsum conversus sit, axe A D ad perpendiculum erectosumptoque in ea quolibet
puncto B, ducatur inde deorsum recta B I quae Cycloidem tangat, termineturque recta horizontali Α I. recta vero B p ad
axem perpendicularis agatur, s divisa bifariam F A in x , superea describatur icirculus F H A. Ducta deinde perpunctum quodlibet G incurva B A mptum, recta Σ G parallela
B F , qua circumferentia F H A occurrat in II, axi AD in Σ, --
testigantur per huncta C s H recta tangentes utriusque curvae, earumque tangentium partes iisdem duabur horis,ntalibi his,NT intercepta sint MN,s T. Iisdemque rectis Μs,NTincludantur tangentis B I pars o p, ' axis D A pars Q uuibus ita se habentibus, dico tempus quo grave percum. ret rectam M N , celeritate aequabili quanta acquiritur δε- scendendo per ancum Cycloidis B G , fore ad tempus quo per curretur recta o P, celeritate aequabili dimidia ejus quae acquiritur defendendo per totam tangentem in I , sicut est tan gens s T ad partem axis
Describatur cnim super axe A D semicirculus D v A secans rectam B p in v , &Σ C in Φ, iungatur A v secans recta, o PR, G Σ in Ε κ & Λ. Iungantur item Hr, MA, HX&Ao, quae postrema secet rectas o P R in punctis Δ & II. Habet ergo dictum tempus per M N ad tempuS per O P, rationem eam quae componitur ex ratione ipsarum linearum M N ad Ο Ρ, &ex ratione celeritatum quibus ipsae percurruntur, contrarier'α sumpta , hoc est, & ex ratione dimidiae ccleritatis ex B I sive ex . :ον. i. hui. F A, ad celeritatem ex B G, sive ex F Σ . Atqui tota celeritas ex
69쪽
s A ad celeritatem ex p Σ, est in subduplicata ratione longitu- o. Moetu tru
midia celeritas ex F A ad celeritatem ex F Σ erit ut F π ad F H. Itaque tempus dictum per M N ad tempus per o P habebit rationem compositam ex rationibus MN, adorum vero prior ratio, nempe M N ad F H ad H Σ.
Est enim tangens Cycloidis C I parallela rectae v A, que tangens M G N parallela recta: λ; ac proinde aequalis Δ Π, & o P aequalis Ε Κ. Ergo dicta ratio rectae M N ad o P eadem est quae Δ Π ad E K; hoc est, Δ A ad E A; hoc est, o A ad Λ Α ; hoc est v A ad Φ Α Est autem ut v A ad Α Φ ita F a Gmnia να- ad A H ; nam quia quadratum v A aequale est rectangulo D A p , & quadratum A Φ aequale rectangulo D A Σ , quae rectangula sunt inter se ut F A ad ΣΑ, hoc est ut quadratum F A ad quadratum A Merit proinde & quadratum v μ ad quadratum Φ Aut quadratum FA ad quadratum A H; atque etiam v A ad A st longitudine, ut FAad AH. Ratio itaque M N ad o P , eadem erit quae F A ad A H, hoc est, propter triangula similia F A H , F H Σ , cadem quae F H ad Σ, ut dictum fuit. Itaque dicta ratio temporis per M N ad Per o P, componitur ex rationibus p x ad p H & p H ad Aque eadem erit quae F x sive x H ad H Σ. Sicut autem lad H Σ, ita est tangens s T ad rectam uJ ; hoc enim spicitur. Igitur tempus motus qualem diximus per M N , per o P constat esse sicut s et ad QR. quod erat demonstrandi
70쪽
SD rursu ut in praecedenti propositione Cyclois A B C,
cujus verrex Α deorsum stetit et, axis A D ad horis,ontemere u sit ; s sumpto in ea quovis puncto B , ducatur inde deorsum recta B Θ quae Cycloidem tangat, occurratque recta horis mali Α Θ in Se recta vero B F ad axem perpendicularis agatur, suesuper F A describatur semicirculus p H A. Deinde alia necta G E, parallela F B ,secet Cycloidem in E , nectam B Sin I, circumferentiam FHAm H, s denique axem D A in G. Dico tempus descensis per arcum Θcloidis B E , esse ad tempus per tangentem B I cum celeritate dimidia ex BQ ,sicut
arcus FH ad rectam F G. Si enim hoc verum non est, habebit tempus per arcum B E addi etiam tempus per B I, vel majorem rationem quam arcus F H ad
rectam p c vel minorem. Habeat primo, si fieri potest, majorem. Itaque tempus aliquod brevius tempore per B E sit hoc tempus Σὶ erit ad dictum tempus per B I ut arcus F H ad rectam F C. Quod si jam in Cycloide supra punctum n sumatur punctum aliud N , erit tempus per B E post N B , brevius tempore per B E. Manis stum est autem punctum s tam propinquum sumi posse ipsi s , ut differentia eorum temporum sit quamlibet exigua, ac proinde ut minor sit ea qua tempus et superatur a tempore per B E. Sit itaque