장음표시 사용
51쪽
tempus descensus per planum A C ad tempus descensus per ADDa o,--ia esse ut longitudo A C ad A D. Est enim tempus per Ac aequale temta' ' ' 'pori motus aequabilis pcr candem A C , cum celeritate dimidia ejus quae acquiritur casia per A C'. Similiter tempus per A D est Piopaequale tempori motus aequabilis per ipsam A D , cum dimidia celeritate ejus quae acquiritur casu per A D. Est autem h aec dimidia celeritas illi dimidiae celeritati aequalis ', ideoque diruina tempus 'Piop ρt Med. motus aequabilis per A C, ad tempus motus aequabilis per A D , crit ut A C ad A D. Ergo & tempora singulis istis aequalia, nimirum tempus descensius per A C , ad tempus descensus per A D , eandem rationem habebunt, nempe quam Α C ad A D. quod erat demonstrandum.
Eodem modo ostendetur & tempus descensus per A C , ad tempus casus per A B perpendicularem, esse ut A C ad A B longitudine.
SI ex altitudine eadem descendat mobile continuato motu per quolibet ac qine libet plana contigua, utcunque inclinatae, semper eandem in fine velocitatem acquiret, quae nimirum aequalis erit ei quam acquireret cadendo perpendiculariter ex pari altitudine.
sint plana contigua AB, BC, CD, quorum terminus A, supra horizontalem lineam D F per infimum terminum D ductam, altitudinem habeat quanta est perpendicularis E p. descendatque mobile per plana illa ab A usque in o. Dico in D cam velocitatem habiturum quam, ex E cadens, haberet in F. Producta enim c B occurrat rectae A E in G. Itemque D C producta ψ
52쪽
: ς- Roccurrat eidem A E in E. Quoniam itaque per A B descendens eandem acquirit velocitatem in termino B, atque descendens Prop. c. huj. Per G B'; manifestum est, cum flexus ad a nihil obstare motui ponatur, tantam velocitatem habiturum ubi in C pervenerit,
quantam si per G c planum descendisset; hoc est, quantam ha beret ex defccnsu per a C. Quare & reliquum planum C D eodem modo transibit ac si per E C advenisset, ac proinde in D denique parem velocitatem sabebit, ac si descendisset per planum E D, Doc est, eandem quam ex casu perpendiculari per E F. quod erat
demonstrandum. Hinc liquet etiam per circuli circumferentiam, vel per curvam quamlibet lineam descendente mobili nam curvas tanquam ex infinitis rectis compositae essent hic cons derare licet' semper eandem illi velocitatem acquiri si ab aequali altitudine descenderit: tantamque eam esse velocitatem, quantam casti perpendiculari ex eadem altitudine adipiscerctur.
PROPOSITIO IX. SI grave, a descensu, sursum conventat motum secum,
ascendet ad eandem unde venit altitudinem, per quasimnque plana/ si perficies contiguas, quomodoctauque inclinatas , incesserit.
Cadat grave ex altitudine A B , & ex puncto B inclinata sint sursum plana B O, C D, D E, quorum extremitas E sit eadem altitudine cum puncto A. Dico si mobile , post casum per A B, COI vertat motum ut pergat moveri per dicta plana inclinata, pervcn- tutum usque in E.
53쪽
HOROLOG. OSCILLATOR. 3s 'Dicatur enim, si fieri potest, tantum ad G perventurum. Proia Da n ς ducantur BC&CD, donec occurrant horizontali G F in F &H.
Cum igitur mobile, superatis planis BC, CD, habeat tantum eam velocitatem qua possit ascendere per D si , vel per D H ; nam adque eadem velocitate opus esse constat ex propositione 61, Ergo, superato plano a C , cam duntaxat habebat qua potuisset ascendere per C M , vel per C F. Ergo in B duntaxat eam qua potuisset ascendere per B F , hoc est, eandem quam acquireret descendendo per P B. Atqui in B habet velocitatem qua potest ascendere usque in A. Ergo illa velocitate quam acquirit grave descendendo per 3 a, posset ascendere per B A, hoc est, altiusquam unde dii cesserat, quod fieri non potest. Est autem eadem prorsus demonstratio quotcunque plana fuerint ter quae mobile ascendat. Vnde & si infinita fuerit planorum multitudo, hoc est, si superficies aliqua curva ponatur, per hanc quoque ad eam ex qua venit altitudinem mobile assuget.
PROPOSITIO X. SI mobile cadat perpendiculariter, vel per quamlibet su
perficiem desiendat, ac rursis impetu concepto per quamlibet aliam feratur sursum, habebis Uendendo ac descen-ssendo inpuncta aeque altis eandem semper velocitatem.
Vt si mobile ex altitudine Α n decidens, motum deinde continuet per superficiem A c D, in qua piamstum C sit pari altitudine atque in A A est punctum E. Dico in C eandem velocitatem inesse mobili atque in E fuerat.
54쪽
Quum enim in C ea velocitas supersit mobili qua porro ascendat
'Prop. praeeed. usque ad D punctum, aeque altum ac A : cumque & ex descensuper A E velocitatem eam acquirat qua,converso motu,ascensurum 'ρ p p μω- sit per D ; Patet cum pervenit ad C ascendendo, eandem ipsum habere velocitatem, quam habebat in E descendendo; quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XI. SI miliis per superficiem aliquam deorsum tendat, ac
deinde converso motu seursum per eandem superficiem vel aliam similem similiterque positam feratur, aqualibus temporibur per idem statium descendet atque ascendet.
Velut si per superficiem A a descendat mobile, atque, ubi ad Blem & respectu plani horizontalis limiliter politam B C , alcendat, constat ex ante demonstratis, perventurum ad eandem ex qua venit altitudinem. Cum autem perpetuo, in punctis quorum' pior ptaeeed. cadem altitudo, eandem velocitatem nabeat ascendendo ac descendendo' apparet eandem lineam bis eadem velocitate singulis sui partibus percurri: unde S tempora utriusque motus aequalia esse necesse est;quod erat demonstrandum.
55쪽
E Sto cinculi ABC, diametro AC, cui ad angulos rectos
sit FG; huic vero occurrat a termino diametri A educta A F extra circulum, qua quidem necessario secabit circumferentiam , puta in B. Dico arcum BD, lineis G F, A F interceptum , minorem esse necta D F.
Iungatur enim BC,& ducatur ex B puncto tangens circumse-
Est igitur angulus B A c in circulo aequalis angulo E B C . quare& angulus p B E , qui una cum E B C constituit angulum recham FBC, erit aequalis B C A. Quia autem similia sunt triangula A a C, A G F, erit & angulus E aequalis angulo A C B. Ergo idem angulus F aequalis angulo F B E. Itaque is sceles est triangulus p EB, habens crura aequalia FE,EB. Addita ergo utrique eorum recta E D , fiet F D , aequalis duabus B E , Ε D. Hasce vero duas majores esse constat arcu B D , iisdem terminis intercepto, & in eandem partem cavo. Ergo & F D eodem arcu B D major erit: quare constat propositum.
PROPOSITIO XIII. I Udem positis , si necta A B occurrat Vsi D G intra circulum
Dico arcum B D , rectis G D, A B interceptum, majorem esse recta D F. Iungatur enim o C & ducatur arcui D B subtensa D n. niam ergo aruulus A n o aequalis A C D , hoc est, angulo AG ; angulus autem D F B major angulo A D F , sive A D G ;
56쪽
idem D F B etiam major DB F. Ergo in triangulo DFB latus D Bmajus latere D F ; unde multo magis arcus D B superabit eandem D p. Quare constat propositum.
SD cyclois ABC cujus basis A C axis B D. Vuomodo autem generetur ex definitione s descriptione mechanica superius traditis satis manifesum arbitror. Et circa axem BD, circulus descriptus sit B G D , s a quolibet puncto E in crcloide sumpto agatur E F basi A C parallela, qua occurrat axi
B D in F , secetque circumferentiam B G D in G, Dico rectam Describatur enim per E punctum circulus 1 x ipsi a G Daequalis, quique tangat basin cycloidis in K, & ducatur diameter
κ Est igitur recta A κ arcui E K aequalis sed tota. A D aequalis semicircumferentiae KEL; ergo x D aequalis arcui E L sive o n. Est autem K D sive N F aequalis E G , quoniam E N aequat s G F , & communi S utrique N C. Ergo constat & G E aequalem esse arcui G B.
57쪽
DAu in Cycloide puncto, rectam per istud ducere qua
cloidem tangat. Sit cyclois ABC , & punctum in ea datum B , per quod tangentem ducere oporteat. Circa axem cycloidis A D deseribatur circulus genitor A Ε D ,& ducatur B Ε parallela basi cycloidis, quae dicto circulo occurrat in E, & jungatur A E, cui denique parallela per B agatur H BN. Dico hanc cycloidem in B contingere. Sumatur enim in ca punctum quodlibet, a B diversum, ac prurimo versus superiora velat H , & per H ducatur recta basi cycloi dis parallela, quae occurrat cycloidi in L , circulo A E D in x , rectae A E in M. Quia ergo Κ L cst aequalis arcui K A, recta autem gM minor arcu Κ E , erit.recta M L minor arcu A E , hoc est, recta E B , sive M H ; unde apparet punctum H esse extra cycloidem. Deinde in recta H N sumatur punctum N inferius B , de per Nagatur, ut ante, basi parallela, quae occurrat cycloidi in circulo A E D in o , rectae A E productae in P. Quia ergo o M aequalis est arcui o A; o P autem major arcu O E ; Crit P Riminor arcu E A ,
hoc est, recta E B , sive P N. Unde apparet rursus punctum N esse extra cycloidem. Cum igitur quodlibet punctum praeter B , in recta H B N sumptum, sit extra cycloidem, constat illam in puncto B cycloidem contingere ; quod erat demonstrandum. Huic demonstrationi an locum suum hic relinquerem dubita vi, quod non multum ei absimilem a clarissimo VVrennio editam inveniam in libro UVallis j de Cycloide. Potest autem de unive sali constructione propositum absolvi, quae non cycloidi tantum sed & aliis curvis, ex cuiustibet figurae circumvolutione genitis, conveniat; dummodo sit figura in eandem partem cava, & ex iis
58쪽
Ducatur enim C B primum ad punctiam curvae B , quod distet ultra punctum A ab regula L D , intelligaturque figurae positus in B E D, cum punctum describens esset in s , contactus resulae in D. N punctiam curvae quod erat in C , cum punctiam describens esset in Α , hic jam sublatum sit in E; S iungantur E C, E B , tangatque figuram in E recta Κ H , occurrens regulae in H. Quia ergo recta C D aequalis est curvae E D ; eadem vero curva major est utraque simul EH, H D; erit E si major quam C H. Vnde angulus E C H major quam C E H , & proinde E C L minor quam C E R. Atqui addendo angulum Κ E B , qui aequalis est L C A , ad cE C, fit angulus c E B : & auferendo ab E C L angulum L C B , fit E C B. Ergo angulus C E B major omnino angulo E C B. triangulo C E B, latus C B maius crit quam E B. sed Ep/tet esse C A, cum sit idemmet ipsum una cum figura
is nMexnru Sit enim curva N A B , orta ex circumvolutione figuraeo L sua' ' per regula L D ; describente nempe puncto N , in circumferentia figurae o L sumpto. Et oporteat ad punctiam curvae A tangente ducere. Ducatur recta C A a puncto C, ubi figura regulam tangebat cum punctum describens esset in Α : quod punctum con tactus semper inveniri potest, siquidem eo reducitur problema ut duae rectae inter se parallelae ducendae sint, quarum altera tran. seat per punctum describens in figurae ambitudatum, altera figuram tangat, quaeque inter se dissent quantum distat punctum
datum A ab regula L D : dico ipsam C A occurrere curvae ad an gulos rectos' sive circumserentiam M A F descriptam centro cradio C A , tangere curvam in puncto A, unde perpendicularis ad A C per punctum A ducta curvam ibidem continget.
59쪽
rum. Ergo C Betiam major quam C A, hoc est, quam C F. unde Dan ς η uconstat punctum B esse extra circumferentiam M A P. Sit rursus punctum N in curva sumptum inter regulam L Dde
unctum A. Cumque punctum describens esset in N , ponatur situs gurae fuisse in v L , punctumque contactus L , punctum vero quod tangebat prius regulam in C, sit jam sublatum in v : & jungantur
C N , N V , V C, V L. Erit ergo v N aequalis C A ; imo erit ipsa C A translata in v N. Iam quia recta L C aequatur curvae L v, ac proinde major est recta L v , crit in triangulo C L v angulus L v C major quam LCv. Quare addito insuper angulo L v N ad L v C, fiet totus N v C major utique quam L C v, ac proinde omnino major angulo N C v, qui pars est LCv. Ergo in triangulo C v N latus C Nmajus crit latere v N, cui aequatur C A, ideoque C N major quoque quam C A, hoc est quam C M. Unde apparet punctum N cadere extra circulum M A F , qui proinde tanget curvam in puncto A. quod erat demonstrandum. Est autem eadem quoque tum constructio tum demonstratio, si curva genita sit a puncto describeme, vel intra vel extra ambitum figurae circumvolutae sumpto. Nm quod, hoc posteriori casse, pars quaedam curvae inta regulam descendit, unde nonnulla in demonstratione oritur divertitas.
Sit enim punctum A, per quod tangens ducenda est, datum in parte curvae N A B , quae insea regulam C L descendit, descripta nimirum a puncto N extra figuram revolutam sumpto, sed certam
60쪽
o. h. eiis,u positionem in eodem ipsius plano habente. Invento igitur pun. - in M. figura revoluta tangit regulam C D quum punctum describens esset in A , ducatur recta C A. Dico hanc curvae N A Boccurrere ad rectos angulos, sive circumferentiam radio C A centro C descriptam tangere curvam N A B in puncto A. Ostende tur autem exterius ipsam contingere , cum in curvae parte supra regulam C D posita interius contingat. Positis enim & descriptis iisdem omnibus quae prius, os lenditur rutius angulus ECH major quam C E H. atqui ad E c uaddito A c n fit angulus ECB;&aCE H aufercndo HEB, qui aequalis est o C A , fit angulus C E B . Ergo E C n major omnino quam C E B. unde in triangulo E C B latus E B majus quam C B. sed ipsi g n aequalis est C A , sive C F. Ergo & C F major quam C B rideoque punctum circumferentiae Fcis ultra curvam N AB a cen
Item mesus ostenditur angulus Lu C major LCv. Quare C v Ρ, qui cum Lu C duos rectos aequat, minor erit quam V C D. Atqui addendo ad v C D angula a C N , fit v C N ; & auferendo ab Qv P angulum P v N , fit C Q. Ergo angulus v C N omnino major quam C v N. In triangulo itaque C v N, latus v N malus erit quam C N. . Est autem ipsi v N aequa is C A sive C M. Ergo & C M major quam C N , ideoque punctum circumferentiae M crit ultra curvam N A B a centro C rcmotum. I taque constat circumferentiam M A ptangere curvam in puncto A. quod erat demonstrandum.
Quod si punctum curvae per quod tangens ducenda est, sit illud ipsum ubi regula curvam siccat, erit tangens quaesita semper regulae perpendicularis; ut facile esset ostendere.
D, ω h u ,, I circuli circumferentiam, cujus centrum E , secent recta ς ' parasiela A p, B G, quarum utraque ad eaUdem par tem centri transeat, vel altera A p per centrum ipsum: s a puncto Α, quo centra propior circumferentiam secat, ducatur recta ipsam contingens di partem hujus A Bi, a parallita utraque interceptam, minorem esse arcu AC , ab utraque eadem para ela intercepto,
Ducatur enim arcui A C subtensa recta AC. Quia ergo angulus B A p est aequalis ei quem capit portio circuli AH F, quae vel major est semicirculo vel semicirculus, erit proinde angulus B A F ,