2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

311쪽

empti reductionis aequationum ad formutim Theorematis X II MIII. Si aequatio sto r -dd, si implo c erit 3ω - - c, coque substituto in locum ipsius atque ejus cin quadrato loco ' sublatisque iis, quae sc

Deinde asiumpto vix --'' ut terminus quoque a quationis, in quo inius dimentionis rei critur, plane evanescat, habebitur ae mi Ouo substituto in locum ipsius x,

atque ejusdem quadrato loco x x, ablatisque iis quae se invicem tollunt, reducta erit aequatio ad formulam requisitam. At vero ut

vitetur prolixior operatio loco scribatur 1 h, ita ut

fiat aequatio Π hxT , . . Tum assumpto vix FHeu x x b, coque substituto loco, in aequatio ne ac ejusdem quadrato loco xx erit, ivv-j H- Unde apparet, ante omnia hic est considerat

dum, utrum v it malus quam ue an contra ii nunmajus sit, crit casus Theorematis X lI; sin contra erit casus Theorematis X III. Ponatur itaque priui majus, ac proinde aequatio formulae Theorematis XII. Et constat exinde Locum quaestum Hyperbolam csse. Ad cujus peculiarem determinationem esto in apposta figura ipsius, initi uita immutabiles punctum, ea de inque x in uacati ab A versus Eliadclinit sc extendere intelligatur; sitque angul0β Nn 2 xlcm

312쪽

KL intercepta, veluti AK, EL, S c aequetur cognitae Delia

de producta Lx usque ad H, ita utri H sit, ideoque HL desinite sumpta Λh, hoc st v, ducatur per iunctum recta H G ipsi Ari parallela ita ut KH ad G sit, ut a ad . Quo facto, si per puncta recta agatur linea K B, habebunt omnium ipsi Ari parallelarum partes, quae inter Κλ intercipiuntur ut exempli gratia, LB), ad partes ipsius KL,intc casdem parallelas iunctum K interceptas ut verbi gratia,LΚ eandem rationcm, quae est inter bin a hoc est, erit ut ad citam L ad L in cum utraque sit utri H ad H G. Ideoque cummi sive A E indesinite sumpta sit mo , erit Lm , utri quaelibet ipsi parallela, inter KLS ΚΒ intercepta, o P ac proinde omnis linea supra Assi rectam exsurgens, quae possit esse I incognita, ad rectam DB producta, velut DB sve DE EL LBerit m hoc est, . Unde apparet, juxta Regulam lineam a sumendam est pro Hyperbolae diametro, ad quam ordinatim applicata sint ipsi Ari seu Di parallatae eritque ejus dem

313쪽

dem Hyperbolae centruin punctum. At vero cum X ante di- istis trianculum, id omnino sit cognitum, utpote lateribus

KH anguloque ad sub iisdem comprehenso notis, erit quoque cognita ratio lateris H ad K laoc est ipsius M quae per G ipsi Laequid istans intelligitur ad an , quae sit uta ad i. Quare cum G scii H L indclinit c litis, C B quoque indefinite concepta, hoc est , clua libet diametri portio, irier centruma ordinatim applicatas intercepta, crit . Cujus quidem interceptae quadratum cum juxta sormulam Rcguli unum aequationis terminum constituat, per multiplicationem aut divisionem, vel per utramque ita reducatur a cluatio, ut in eadem quoque idem quadratum, nimirum inveniatur. Quod quidem ut certa methodo fiat, praedictum quadratum rectae G indcfinite conceptae, hoc est, dividatur per aequationi terminum, in quo xxiive limpliciter, sive alia fractione afluctum invenitur, ac per inventum quotientem tota aequatio multiplicetur ut in supra posito exemplo, si dividatur per a se quotiens quare tota aequatio multiplicanda est per ii, productumque dividendum

pera , ita ut saltu ndo 'ci, si juxta Regulam emi latus transversum fiat G vel in bo, at lite ratio transversi lateris CF ad re-Ctum FN , ut ii ad fa--b iisdem late libus diametro cive accentro jam inventis Hyperbole describatur FO , secans rectam Ai vel in productam in I dico curvam II cis Locum quae

Sumpto enim in eadem curva puncto utcunque veluti D, da ctaque Di ipsi x parallela . caque produci ut siccet rectam J L in L diametro Gl occurrat in B, si eadem DT vocetur , ilerit ex ante dictis Di Est autent, iam annotatum, i atque ex brpothesi T cu a b

314쪽

i iuv

' a Hinc cum ex natura Hyperboles F ad F C, seu fa Mad ii sit, ut DT quadratum, hoc est ad praedictum

rectangulum C BF etates. ιι 'Multiplicetur jam utrinque per O, dividatur per i , eritque

At vero ponatur secundo hi minus quam su-

pra post aeqv Q ', quae, multiplicatis omnibus ejusdem terminis perfa Fbb, ac producto diviso

315쪽

diviso per i , factaque decenti iansposition eadem cum sequenti H- n ulti p. persi iam ac divis per i , id est, merit formula Theorema tis XIII, unde Locus quaestus iterum erit Hyperbola. Ad cujus specificam determinationem descriptionem , postquam ut in praecedent ligura ductae sunt linea: AT . A K, K L, H, H G, GAB erit quidem . ut supra , G centrum . at vero non erit diameter in linea Gm, sed juxta Regulam, in linea H G producta ad partes , ad quam Ordii Trulla applicata sint pi Cmi paralia telae, eritque juxta eandem Regulam dimidium transversae dia-- ah h bhhnaetri,nempe F vel G aequale Udd--c - - - , ratio diametri ad parametrum ut si ib ad Li. Quare si fiat, ut j a b basii, ita Caadam, quae quidem FNipsi ἘB aequi- distans sit, erit F N parameter ac proinde si centro G transversa diametro a parametro F N Hyperbola describatur FO . secans in talia A vel, productam in I, erit II curva Locus quaesti

Suilii ita Erilia ill eadem curva puncto utcunque, veluti dur

316쪽

Quare cum ex natura Hyperboles sit ut FN dic, ita Dra qua, dratum ad C MF rectanguliam, hoc est, ut ii ad fa - , ita

a a ac divisis per fa--bb factaque transpositione cogniti cr-

mini, erit 1 ιό ν a I , . Dem restitutis x in loco, loco a i atque1 - --c loco ipsus expunctisque quae se invicem destruunt ac omnibus rite ordinatis, fiet', a ZM I v d. Uod determinandum, demonstrandumque erat.

317쪽

stituto in locum pilus x, ejusdem lue quadrato loco x x, sublatisque iis quae se in vicena destruunt, criti H-1 1 o. facta congrua transpositione, rao - Συ hoc est, multiplicatis omnibus aequationis terminis per a a, productoque diviso Per ue, Dem, assumpto m - lubebitur eoque substituto in aequatione loco ipsus', atque ipsus quadrato loco I, sive G - Qui quidem casus est Theorematis io u ac proinde

Locus quaesitus erit Hyperbola. Ad cujus itaque peculiarem determinationem esto in apposita figura ipsius, initium immutabile A punctum, eadem que, in linea Al ab A versiis B indefinite sese cxtendere intelligatur, st-que angulus, quem idc' comprehendunt, a qualis angulo AI E. Deinde, quoniam ex antedictis facile colligitur Hyperbolam hoc casu S similibus ita cile describendam , ut ordinatim ad ejus diametrum applicatae sint ipsi Assi a qui distantes ducta recta AC ipsi B E parallela, quoniam vi x - , ducenda porro est recta AM ; ita ut omnium ipsi AD parallelarum partes, inter AC&A M interceptae, vellit CN ad partes ipsius A C inter Ain dictas parallelas interceptas, veluti A C, candem rationem habeant, quae est interidesa; hoc est , ut sit quemadmodum acidi,

ita , ad C M. Unde sis C seu Bi indesinite sumpta vocetur , erit C similes ac describendae Hyperboles diameter in dicta A M. Porro quoniam si ab A C auferatur AF m eriti Cindefinite sumptam ducta FN

NUM,

318쪽

1 ELEM. CuRVARUMNDM, sub iisdem comprehensus, utpote aequalis dato vela D sumpto angulo AIT . ii quoque iatio O ad N M alia umque similium nota, quae sit ut cognitae adis itidem cognitam. Nim cum D seu FC indefinite sumpta exprimatur per erit NM itidem indefinite sumpta, , cujus quidem quadratum

cum juxta formulam Regulae unum aequationis terminum constituere debeat, multiplicanda est suprascripta aequatio per e, productumque dividendum perati, ita ut fiat

m bQuo peracto, si juxta Regulam senii latus transversicina fiat, Guel M a , ac ratio transversi lateris ad rectum Meetad bb; iisdemque lateribus ac diametro centro jam inventis Hyperbole describatur ata dico curvam GT esse Locum qilaesitum. Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti E ductaque EB in angulo A DE dato vel assumpto aequali, nec non E C ipsi Alparallela secante diametrum A M in Al si eadem EB, hoe est,

C, occlury, erit, ut supra, ac proinde MI, sive hoc est, . Est autem, ut superius anno latum, M so J, atque ex hypothes Nascum H, ide

gulum

319쪽

L 1 r. I. C A P. III. 2.9 Igulum hinc cum ex natura Hyperboles

sit ut latus rectum ad transversum , sive ut bbadee, ita T quadratum, id est xv. ad praedictum re tangulum H MG erit ι ---- inultiplicatis omnibus terminis per a a, factoque peree diviso, Dein restituto in locum ipsius , exurget adeoque multiplicatis omnibus per facto que diviso se ac habebitur

Pro sitio 16. Datis duobus punctis tertium invenire , a quo ad bina data ductae rectae lineae dato disterant intervallo, locumque det crininare ac describere, quem quaesitum punctum contingat.

Sint data duo puncta AE B, oporteatque invenire critum, ut- puta G, ita nempe ut ducta recta C A, C B differant dato intervallo FG seu A D. Quoniam in quaestione angulus datus non est , quo facilior sit Operatio, allium a tur rectus, ideoque a puncto C in rectamini, qua data puncta conjungit productam, si opus fuerit, intelligatur demissa perpendicularis, ut CE; tum , suppositis, juxta Regulam, AE EC incognitis atque indeterminatis, assumptum angulum Assic comprehendentibus, tanquam cognitis ac determinatis, earum prior, nimirum AE, vocetur x, ac posterior, nempe Ec, nominetur9 , ipsa autem Al , seu datorum punctorum cognita distantia, Nicetur a Milata FG sive A D exprimatur per L Hinc cum B Esve si punctum B cadat inter A MIGA L a B, aut si punctum E inter Arii cadas Al sit

320쪽

V XH-ν - bae, rax a factaque Operatione con Venienti, ut utraque aequationis pars a signo radicali liberetur transpositis transponendis , crit4 oo a a xx bbx - a x-μὴ bbax a' abbaaina'. Unde facta divisione per ui 2 b habebitur xxx axin ai Abb. Deinde assumpto juxta Regulam xx ea, Crit xx - - a, ideoque substituto hoc valore in locum ipsius a , atque ejusdein quadrato loco xx, expunctisque iis quae se invi

cem destruunt, eri mνν- bb. Qui quidem casus est

Theorematis 11 mi hujus libri, ac proinde Locus quaesitus erit Hyperbola. Cumque i assumpta sit pro x - , si ab A versus Esumatur AH sol a crit, juxta Regulam, centrum, semidiameter transversa suta H G ab una, MI ab altera parte, m, bb id est, i ita ut diameter trans ocrsa qua quidem, ob applicatam C E ad diametrum E perpendicularem transversus quoque allis est, sit m b. Ratio autem transversae diametri ad parametrum, seu quadrati transversae ad quadratum secundae diametri, erit ut libadaa ib. Unde per ea quae libri

primi capitibus secundo ultimo exposita sunt Hyperbolam ipsam describere haud dissicile erit. Porro cum quadratum semidiam e