장음표시 사용
321쪽
diametri transversae sit, ' erit clii ulrat uni senii secundae diametri Atqui cum I B ii em a de si vel H M M a - , ii quo que rectangulunabi Giso ai 'bb, nempe A quadrato seu i- secundae dianictri, sive, ut Veteres loquebantur, a quale quadranti figurae ad transa ei sum axem factis ideoque puncta A i ea ipsa sunt, quae Vul oppositarum Hyperbola una oci lucumbit: ci nuncupantur. Unde apparet, ex praemissi: recte in sciri, quae sequuntur. Coro Arium .
Si ab assumpto it cunque in Hyperbola puncto ad
utrumque tImbilicum recta ducantur , carum ma orminorem longitudine transversi mi si lilcrabit. Etiamsi veritas praecedentis Corollarii ex antedictis oninino constet , cum tamen illud a Veteribus , Recentioribusve , quod sciam, non nisi per multas auibages longaque dissicilium ilico-rcinatum concatcnatione hactenus cmonstratu ut sit id ipsunt hic demonstratione unica qui dena breviore satis P simplici, aliter ostendisse non inutile torte judicabitur. Esto igitur Hyperbola quaelibet G Q, cujus centrum H, transeversus axis FG , atque Umbilici Aa i , adeoque rectangulum FT G ut S G AI senti- secundae diametri quadrato aequale. Ductis autem ab assumpto quolibet curvae puncto C ad puncta Aa B rectis G, C B, ordinatim ad axeni applicetur CE , i atque ut
HMihi H Ait i EG QEq,hoc est, addito utrinque Hi l edentes ad seu HGq, erit
322쪽
spe, pri-ierentia FG , manifestum est ipsarum quoque AC BC majorem superare minorem ejusdem nempe axis transversi longitudine. Quod demonstrandum erat. Coro arium a.
Ductis a quolibet Hyperbola puncto ad utrumque
Umbilicum rectis , quae angulum iis comprehensum bifariam dividit linea curvam in eodem puncto contingit; δί conversim. Si enim qua angulum A I bifariam dividit recta IC Κ non contingat Hyperbolam in C puncto, secet eandem, si fieri potest,
atque ita saltem aliquo sui puncto, veluti Κ, intra Hyperbolam sit.
323쪽
Tum ductis ΚΒ, D, quarum posterior Hyperbolam secet in L. a quo ad B duci sitii , ii in in triangulis D Κ lateram latcribu B utrumque utrique
Fig. II. circa aequales angulos, a qualia sint erit quoque basis D Tian K aequalis Cumque porro juxta Corollarium praecedens L ipsa init . ideo clue o AK rectasia, L , simul sumptas superet intervallo A D: sitque I K. ideoque K D , ipsis B LI K simul sumptis minor per consequens A K candem K D ma jori longitudine quam est , excedet, id es f. ipsi Ari binis re
cti, Κ D, D A simul sumptis major erit. Quod cum absurdi istinum sit , non secat itaque Hyperbolam recta LCM, sed candem, e : tri tingit in iuncto. Cumque non possit in codem puncto C alia mi
324쪽
19s ELEM. CuRVARUM 'per 3 Ca rein Hyperbolam contingere quam ICI manifestum est con- rq sp verso in eam, quae Hyperbolam in C contingit , angulum quoqVς Aic bifariam dividere. Exemplum redomonis uationum ad formulam Theorematu XIV.
ῆ Supposito autem a majore quam b, ac multiplicatis omnibus aequationis ter minis per a a, productoque divis pera a d b, ut quantitas xx
Jam Ver si facilioris operationis gratia loco
Hinc si juxta Regulam assumaturi x x-h sive, o PH atque hoc in locum ipsius x, jusque quadratum loco xx substituatur,ac expungantur quae se invicem destruunt , habebitur I in
ret aequationem esse reductam ad sermulam Theorematis XIV, ideoque Locum quaesitum aut Ellipsi aut Circuli circumferentiam xistere. Rursus vero facilioris operationis ergo loco
325쪽
Ad peculi arena autem praedicti Loci determinationem ac descriptionem eii in appolita figura ipsius, initium immutabile Apunctum , atque eadem, se in linea Assi ab A versus E indefinite
extendere intelligatur, si tu angulus datus vel assumptus, quem
1 de comprehendunt, aequali angulo tax vel ejusdem ad duos rectos complemento. Hinc quoniam λου - - si supra lineam Assi exsurgere intelligatur, ducenda quoque est supra ipsam recta ieidem parallela, ita ut pars rectae A K omniumque ipsi aequidistantiunt inter praedictas A LE KL intercepta, veluti AM, EI, 5 c. aequetur c cognitae ac deinde per punctum K infra rectam ML ducenda est recta DB in tali angulo, ut rectarum nanium ipsi A cparallelarum partes, quae interrita: DB intercipiuntur veluti L B ad partes ipsius K L , inter easdem parallelas, punctum K interceptas ut verbi gratia L c eandem habeant rationem , quae est inter b& a, hoc est ut sit uti a d b, ita L ad L B. Atque ita positam L sive AT , indesinite sumpta, xx, LBomnesque ipsi parallelae inter Κia K B interceptae
erunt unde ex praeditas constat diametrum lare in lecta νη,
326쪽
ad quam ordinatim applicatae sint ipsi AK aequidistantes. Iam vero
eadem H si h, ideoque L indefinite quoque sirin placo' punctum H ducenda est H G ipsi A
parallela secan inventam diametrum in G, eritque idem interiectionis piinctuna aquaesitae Ellipseos centrunt. Porro quoniam similium triangulorum K MI nota est ratio lateristi Hau sive I ad Li, ut langulus sub iisdem lateribus contentus, utpote aequalis angulo dato vel assumpto EA K, crit Quoque nota ratio lateris Κ H ad latus Κ G sive ML ad K B, ouae ponatur ut a cognitae dis itidem cognitam. Ideoque cum H L sive G M, quae ipsi H parallela intelligitur, indeterminate sumptait sol, erit in sintiliter indeterminate sumpta, hoc est quaelibet diametri portio inter centrum 'uamlibet ordinatim applicatam intercepta, m P. Cuius quidem interceptae quadratum cum in formula Theorematis XIV ultimum aequationis terminum constituat, aequatio supra exposito modo ita reducatur, ut
terminus ejus extremus fiat id quod factum erit, si singuli
ais in s juxta Regulam semi-latus transversum ' vel G fatis si id est, ratio transversi
lateris C ad rectum latus FN, ut ad ga a, iis inque lateri- 'Ni 0 ntroque modo inventis, Ellipsis describa tu C secans rectam AT vel Ari productam in Ierit curva
il iocus quaestus. Sumpto enim in ea puncto utcunque, veluti D, ductaque DE
r sela, ac si opiis sit producta ut secet rectas KL SU B, si eademissi vocetur , erit Di, hoc est, D E E L H L B OI seu Est autem ut jam annotatuni est 'matque ex constructione G F vel G Gm ideoque
Hinc cum ex natura Ellipsis sit ut NFad F C, hoe est
327쪽
299ut g. a ad Lia, ita Di ouadratuin hoc est, L ad praedictu in re
id est, muli iplicatis omnibus per Aa, ac divisis peree crit v, ideoque restituto, Gloco in atque hi
son per ara erit ae Y dx 'cc Ac denique loco facta restitutione ipsius, i M. , deletisque
iis quae se inviceni tollunt, ac omnibus rite ordinatis, obtinebitur 3 di , -- Quod determinan dum ac demonstrandum erat. Notandum porro hic est, qu bd si angulus AN B soret cotus, ac proinde ordinatim applicatae, ut D B, I, S c ad diametrum ΚΒ perpendiculares, ac simul N aequalis FC, praedictam cur vana fore Circulum, quemadmodum ex elementis perspicuum it P 1 Ro-
328쪽
III. Datis duobus punctis tertium invenire, a quo ad bina data ductae recitae lineae simul sumpta datae longitudini aequales sint locumque determinare ac describere, quem quaesitum punctum contingat.
Sint data duo puncta A i , oporteatque invenire tertium, utputa lita nenipe , ut ductae rectae GA mi simul sumptae aequales sint datae rectae lineae D. Quoniam in quaestione angulus datus non est, tib facilior sit operatio, assumatur rectus; ideoque a puncto C in rectam
AB, qua data puncta conjungit, productam, si opus silerit intelligatur demissa perpendicularis, ut C E. Tum suppositis iuxta Regulam incognitis atque in deter natis
allum pium angulum rei tum in C comprehendentibus an 'xlam cognitis ac determinatis, earum prior, nimirum 1 o cetur posterior, nempe EC, nominetur ipsa
' seu datorum punctorum ditiantia cognita appe u d
. AEAN AX II; Iactaque operatione
329쪽
ne decenti, ut utraque aequationis par a signo adicali liberetur, transpositis transponendis, erit hoc est, lacia divitione per b erit xx taxi by- Assumpto deinde juxta Re gulam xxx - crit x xv a, eaque substituta in locum ipsius, isdemque quadrato loco, , expunctis clue iis quae se
-xx. Qui quidem casus cst Theorematis is, ac proinde Locus quasi tus Ellipsis. Cuni lues assum prasit prox ' a si ab Aversus Esumatur AH erit, juxta Regulam , H centrum,& semi-diameter transversa velut a ab una ab altera parte mlb ita ut diameter transversa FG qua quidem , ob applicatam C E ad eandem perpendicularem, transversus quo lucaxis est, sitis Ratio autem transversae diametri ad parametrum, seu quadrati transversae ad quadratum secunda diametrierit, ut bbad bb-aa. Unde per ea, quae Capitibus tertio Nultimo libri primi exposita sunt, quaesita Ellipsis sacillime describetur. Porro cum quadratum semi- diametri transversae sit me bbicri quadratum scini- secundae diametri Ob-xa Atqui cum
que rectatigulum Fi seu Go b- a a nempe aeqquadrato semi- secunda diametri, sive, ut Veteres loquebantur, aequale quadranti figurae ad transversum axem Dictae. Ideoque puncta Ad et ea ipsa sunt , quae vulgo Ellipseos Foci sive Umbili ci nuncupantur. Und apparct cx praemissis recte inferta, quae
Quae a ii olibet in Ellipsi puncto ad utrumque Um
bilicum rectae ducuntur, simul sumptae transverso talae qualc, sunt. Quemadmodum autem in Hyperbola superius demonili a- tum cit, ductarum B diiseri ni iam transverso axi quari, ut hic earum aggregatum eidem transverso axi quale esse ostendetur, zmpe, si non per additionem compositionem,
330쪽
ut ibidem factum est, sed per subductionem dc divisionem amu-mentatio instituatur. Quod ipsum tamen, adhibita nonnulla mutatione, elegantitis quoque in hunc modum absolvi posse videtur.
Esto quaelibe Ellipsis FCG, cujus centrum H, axis major FG, minor P atque Umbilici Ade B adeoque rectangulum BG ut GA aequale quadrato sensi-secundae diametric
P. Ac proinde si utrinque auferatur Obs rectangulum remanebunt ma quadrata rectarum, ire seu se aequalia tribus quadratis rectarum HE, HA seu HB, PCE