장음표시 사용
331쪽
Ductis a quolibet Ellipseos puncto ad utrumque
Umbilicum rectis, si per idem illud punctum altera c- agatur , aequales cum utraque ducta angulos constituens, eadem curvam in dicto puncto contingit; I
Si enim recta IC cita ducta, ut aequales sint anguli A J. B CN, non contingat Ellipsim in C puncto , secet candem , si heri potest, in C m. Deinde producta AC ad L, ita ut tota A Laxi FG, ideoque adjecta CL ipsi C B aequalis si iung Π tur N. Cum igitur . in triangulis L latera L C. GK lateribus B C, C Κ, utrumque utrique circa aequales angulos aequalia sint, erit quoque basis baii K aequalis. At ei cum punctum K in Ellipsi supponatur, crim ,
332쪽
per Corollarium praecedens, rectae ΑΚ, ΚΒ, hoc est, latera Κ, Κ L simul sumpta transverso axi FG, ideoque de basi A L
gula unisersalu inveniendi ac determinandi loca quaelibet plana sit a.
Iam vero his omnibus ita praemissis, pro generali Regula concitidi potest, aequationes omnes, quae in indagatione Locorum praedicto modo obvenire atque obtingere possimi, ita ut in iis neutra quantitatum incognitarum in se ducta, neque factum sub iisdem ad solidum
333쪽
tidiim exciirrat, sed aut quadratum, aut planum non excedat , ex aliqua sequentium sormularum constare, vel ad earundem aliquam Methodo Jam explicata reduci posse nimirum, sive, quod idem est, I rux cum supponi
s 3 sive, quod idem in possit esse adob.
Sed hic notandum, fieri etiam posJe, ut per operationem quantitatum incognitarum altera vancscat, alteraque sola notae alicui quantitati aequalis remaneat, sicut stiperius expolitum est. 1 md x, aut conversim IIIxx.
Supponendo ubique csse quantitates indeterminatas ac primo conceptas, at cro esse quantitatem assumptam, quae composita sit ex Ira alia quadam quantitat , vel in totum cognita, vel cui etiam alicra cognita primum concepta, nimirum x perinl-xta sic atque quidem assumptam quoque fle, sed eo casu contare solummodo ex x A alia quantitate cognita, absque ulla ipsus,incognitae quantitatis per-m:tione : aut contra, sic Io . 8 alia quadam quan- Qq titate
334쪽
constare. UEt si aequatio similis sit alicui sormularum sub N o. comprehensarum , erit Locus quaesitus Linea Rec sta; sub N a Parabola; sub N 3 secundum signorum angulorumque varietatem vel Hyperbola, vel Ellipsis, Vel Circulus rUt autem praedicta Loca specisce determinentur sive praedictae Linea in plano Geometrice describantur, sciendum es aliquod debere praestipponi punctum, ut aliquam lineam duci exordium sumat, ter quam indefinite se extendere intellistatatur altera incognitarum quantitatum primo conceptarum citetnque angulum quendam esse praesupponendum, quem dictae Quantuates incognitae constituant in puncto, in quo sibi invicem iun-
Sit itaque in apposita figura, ut cita seouentibus omnibus, praedictum putactum A, dictaque linea AB, uo, id quainquatalitas . se indesinite extendere concipiatur atque lagulus
Et primo quidem casu, iura Locus quaestus est Linea recta, nimirum , aequatione existente Ima vel 'm , ipsum A punctum erit initium dicta lineae, atque ut eadem specifice describatur sumenduin est in linea AB punctum utcunque exempli crat a B ac per illud ducta recta, velut ii, ita ut angulus AB Epraesupposito vel concepto angulo sit aequalta , si in eadem redi a sumatur punctiam, veluti ita ut Atinio sint caeo uales, velut AB sit ad BD, sicuta ad b, atquee A per punctum D ducatur recta AD erit eadem AD indesinite extensii Locus quaesitus. At si in aequatione Veniatur quoque terminus , ac ipse uidem signo affectus sit, ducenda est puncto A ad eandem pariatem lineae Ai quam est punctum E aut signes adlicia id
335쪽
se is aequatio sit,. - , in dicta linea Het E sumendum est ab altera parte lineae A B, qua datus vel assumptus angulus Assi Eexiliit, punctum H, ita ut A B ad B H sit, sicut a ad , ductique A H, ex praedicto puricto P b opposita parte lineae AB, qua sumptum est punctum H ducenda est p ipsi AH parallela: eritque eadem FI producta donec cum linea A B coincidat Locus quae
Etenim, cum tam Assi quam BD si mis , aut A B ad BD ab una, ut 5 A B ad B H ab altera parte sit ut acidi ac proinde
BD vel BHm itemque, cum AF seu DE vel DG ut&HI sint aequales c cognitae erit B E sive BD DI RG
sive BD DGωI-c, ac BI sive HI HBmc- - . Unde cum punctum B sumptum sit utcunque eadem erit de omnibus aliis, in linea Assi, praedictisve locis, astumptis punctis de monstratio atque ita patet praedictas lineas AD , L FG, AF Iesse Loca quaesita. Quod determinandum, demonstrandum
336쪽
At vero si juxta formulas sub N'. ccxhibitas Locus quaesitus sit linea Parabolica , erit L Primo casu, quando aequatio est Imdx ipsa AB Parabolae diameter, ad quam ordinatim applicatae faciant angulos, dato vel asSumpto angulo ABE aequales, atque ejusdem vertex Apunctum. II. Secundo casu posita aequatione γρο manente diam tro in eadem linea AB, sumptaque, ut in sequenti figura, ΑΙ mu crit ejusdem vertex in puncto F. Quod quidem punctum , si uterque terminus tam di quam Isi no sit affectus ab altera parte puncti A qua est punctum B, sumendum est; sed si vel terminus x, vel terminus10s no ast
337쪽
viantitas pii illo concepta sed illa inpia, vel assumpta iit pro
Ima, vel pro A, vel denique pro A LAIII. Et si quidem assumpta sit pro inc, casus tertius, ducenda et per punctum A recta ADipii , Eparallela atque ooc ita ut ii Lallunt pia iit pro' - punctum D cadat ad candem partem meae Ara , quam conceptus ei angulus B ta Et, si diit assumpta pro 'ini, punctum D e contra ad ala eram partem lineae Ai cadat. Deinde ducta in ipsi B parallata erit in eadem re Parabolae diameter, vertex , si aequatio sit dis.
IV. Sed si sit dx. 1 f. qui sit quartus casus sumpta Di ruerit vertex punctum L .quod Fidem pro terminoium , I I per vel 4ffectione codem modo, ut supra de puncto b dictum est, vel citra vel ultram punctum cadet uti vel in hanc vel in illam partem , prout terminus d xi: gno vel adscctus fuerit, ipsa Parabola, ut supra notatum citi describi debet: eritque omnibus4 singulis praedictis quatuor
V. Si vero assumpta sit pro IM , qui casus sit quintus sumpto in linea B E puncto , ita ut sit A B ad B M . sicut a d quod quidem punctum M sumendum est ab eadem parte. lineae A B, qua conceptus est angulus A BI, si habeatur - - , sed ab altera parte, si habeatur ducenda est per puncta Aa M recta A eritque A io casu Parabolae diameter , ad quam ordinatim applicatae faciant angulos angulo M E aequales et si in aequatione terminus Is deficiat aut nullus sit, crit cri ex in puncto A. VI. Sin minus, qui sit casus sextus, ductis per planeta F S I rectis Lli , quae intersccent supra dicias diametros A M vel iis in directum adjunctas in punctis : erit vertex in . et citra, vel ultra A punctum cadens, prout termini lx 1 inaequatione vel signo -- ci ligno affecti fuerint ut id vel in hanc vel in illam partem ipsa Parabola pro varia termini dis itectione ut supra notatum est, describcndaciit.
338쪽
Si denique assumpta sit pro Aura ducta, ut modo expositum suit, A rem ex puncto D quod pro quantitatis per signum Fier adictione, ut supra, vel ab hac, vel ab illa parte lineae AB sumi debet ducenda est recta D O ipsit VII. Alis, quae est ad eandem partem, parallela, si termini &ς eodem signo sint affecti, qui casus sit septimus. VIII. At si diverso, qui sit casus octavus, ducenda es re nati parallela ipsi AN, quae est ab adversa parte lineae A B, atque
eadem D O vel Di sumenda est pro diametro, ad quam Ordinatim applicata faciant angulos angulo reo vel DI Eaequales eritque vertex punctum D, si terminus f in aequatione deficiat. IX. Sin minus, qui si casus nonus, erit idem vertex ipsarum nove D diametrorum 'inearum L F communis intersectio videlicet punctum Q. quodque iterum pro terminorum dae&J per signum vel- affectione vel citra vel ultra Dpunctum cadit quemadmodum ipsa Parabola vel versus
339쪽
hanc vel versus illam parten pro diversa termini d x assectione, ut supra eii notatum , describenda est Ac postremis quidem litis quincitie casibus iam e Pircatis aram cter erit ad dco nitam, ficu A B ad A , hoc cit, erit ut A M ad AB ita
Q orum quidem omnium demonstratio perfacilis est. Intelligantur clania Parabolae praedictis diametris ac parametris descriptae, quae per annotato vertice transeant, fitque ordinatim ad eaidem diametros applicatarum aliqua in recta O Eut cimque sumpta, supponatur easdem 'arabolas praedictam applicatam secare in E puncto eritque primo casu, cum pars diametri Al inter verticem Ain quamlibet ad eandem diametrum applicatam intercepta, veluti A B, concipiatur, ut x, ac singulae illae applicatae, ut I suque Parameter se, atque ex natura Parabolae' rectangulum sub dicta Parametroduc io res 1 i-
cta Am contentum sit QT quadrato erit dx o I. Secundo casu, ubi vertex est in puncto F cum triplici distinctione, ut supra monitum est, notandum primo venit, in casibus, ubi aequatio est νοod A f, punctum B in lineat B ab A versus B indefinit c limi posse cuni istis casibus ab A versus B Parabolam describendam eis supra annotatum sit At vero casu ubi aequatio si Diff- dx, cum juxta Resulam Parabola in contrariam partem aba versus A sit describenda, punctum B non nisi inter Fra in allumendum cste id quod citata ex ipsa aequatione manifestum est. Quoniam enim in
praedicta aequatione I xl --d sive quod idem est 10 frud x, ei minus; majoreliquamdx, utpote cundem excedens
quantitate I idcirco quoque si utrinque divisio fiat per , majus erit quam x. Quare cum secundum Regulam quctu reciae Aa rectae Am , crit similiter recta Aii jor quam AS ideoque B punctum inter A J puncta, sicut dictum est, cadet id quod ad casus quoque sequentes applicatum esto. Porris quoniam Al est , eriti Booc est, observata triplici distinctione, ut praedictum est, AB in F, atque etiam AF - AB aequalis, ait, atque etiam l-x; eaque multiplicata per parametrunt l, fit rectangulum . Aff,
340쪽
atque etiam J- dx quod aequale est quadrato applicatae BEa sive I, ac proinde Imax Sff, atque ' obff-- dx. Tertio casu, ubi vertex est in puncto D ac diameter in recta Κ, quoniam A seu B est mis erit ΚΕ, hoc est. BE B ΚΟ - ΚBE, hoc est BE B Κου- c. Cumque eo casu assumpta sit pro I c, erit Κ ΕΛ DB Eoo T.
Est autem X seu ABzox, parameterque id, de rectangulum sub dicta Parametro rectio contentum m quadrato ex K vel Κ 'E. Quare cum hoc quadratum sit m atque 3. rectangulum illud lux, erit L mclx. Quarto casu, ubi manente diametro in recta D Κ vertex est
in puncto L, quoniam D sive AF cstm , erit L hoe est, observata triplici distinctione juxta Regulam. Κ Am L,
atque etiana LD DK aequalis, Ra atque etiam 3 a . qua multiplicata per Parametrum d fit rectangulum da: RV, atque etiam J- dx quod aequale est quadrato applicatae Evel ΚBE, hoc est, L eritque proinde md x8 ff, atque 4 1 π1J-d x. Quinto casu, ubi vertex est in puncto A, diameterbue in
recta M, cum sit ut ad b, ita Ai, hoc est, x, ad B M : erit B in ideoq; MI, hoc est, B E-B, -- ,&MBE, hoc est RV IN OP . Et quoniam eo casu assumpta est pro an erit ME LIBEM At cum in triangulo
B M cognita sint langulus A B M, ratio laterum AB, B , dictum angulum comprehendentium, nota quoque est ratio reliquorum dicti trianguli laterum ad invicem, atque in specie etiam lateris A B ad Abi, quaestuta ad Ac proinde cum sit ut a ad e,ita AB, h.e. x ad Alia erit AM, Cumque potio juxta Regulam eo casuit M ad AB, hoc est , ut eada, ita ii ad Parametrum erit Parameter, Qua multiplicata per A se se rectangulum mes, Quod aequale est quadrato applicatae M vel MBE, hoc est PQ ac proin-s deest Lmax r