2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

361쪽

incognita ab initio concepta, sequentis ornulla se exilibebit aequatio 'off- xx erit Me, ut ni quenti sigura, describendae Casu imui Ellipseos diameter in recta Ai, quae pro x in determinate

concepta ita ut ad eandem diametrum ordinatim applicatae cum τὸ Cietusica angulos faciant, dato vel assumpto angulo AS E aequales; ac

centro in in puncto A semi- latus transversum os . id quod in dicta diametro per liticam , vel At exprimaturi, critiive ratio ejusdem transversi lateris ad rectum ad Si enim deicii pia intelligatur praedicta Ellipsis, transiens per puncta C a , secans clue applicatam II E in puncto E erit I Boof-- , 5 i ,1 - ideoque rectangulum F BG of - x x. At cum ex natura Ellipseos lateribus recto transversoque aequalibus, praedictum rectangulum i BC ' sit o quadrato ex Bi, ' iboc est, I crit quoque proindeco casu trusi xx. Et facile mi huo i,

apparet, si iisdem positis, B super rectam Fc foret quoque

perpendicularis, hoc est , ut angulus quem ordinatim applicatae iaciunt ad diametrum sit rectus, praedictam curvam ore liculi circumsesentiam Cum autem Porro , lateribus transverso rectoque inaequalibus

362쪽

per i 3pri atque in ratione ut ad g, eadem stratio ' rectanguli FB C admi-μI Τ BE quadratum, qua est lateris transversi ad rectum, hoc est, ut

radi ex praedictis palam est fore ut ladg of - xx ad hoc est esset: 'mo xx. Quod eo casu demonstrandum erat.

Cuor At si quantitatum incognitarum primo conceptarum una ex

quJlio De sublata aliaque in ejusdem locum uxta Regulam asia

. I. Et primum quidem, si assumpta fuerit pro A c, ducenda est per punctum A recta AD ipsi Bi parallela ac coci , ita ut, si fuerit assumpta pro ' -- praedictum punctum D cadat ab eadem parte linea AB, qua datus vel conceptus est angulus ABE; sin contra dfuerit asina pia pro 'ini, idem illud punctum D ab altera parte lineae Am reperiatur. Deinde ducta per D rectam Κipsit parallela, quae secet recta missi, productam versus B, si opiis fuerit, in puncto Κ, erit quaesitae Ellipseos diameter in recta DI, ad quam ordinatim applicatae cum ea angulos faciant, dato vel assumpto angulo Amri seu D DE aequales Punctum autem D centrum erit, semi-latus transversum m f. quod in dictis diametris per lineas exprimatur, eritque ratio trans veri lateris ad rectum ad Si enim praedicta Ellipsis descripta intelligatur transiens per puncta Lo ,' iae supponatur secare cetam B E ad praedictam diametrum ordmatim applicatam, in puncto Eberit DB Em, c K my c, ideo si te ad eta vel Κ Eea ipsa, quae pro rasiumpta est. Cumque L sit tof x, M V m erit rebctangulum mff-x At cum eadem sit ratio dicti rectanguli LI V ad quadratum ex mi vel ME, hoc est, ad T quae est lateris transversi ad rectum, hoc est, ut Padi erit ut Ladg Off-xx ad hoc est, erit ruff--xx. Quod quidem,s' sit bidem est ac diff-, . Atquella iterum facile apparet, quod , existente angulo DNDE vel DNI recto, Pli: hoc est, rectuagulo quadrato, praedicta curvari

culus sit sutura.

M. 1. At vero, si an umpta fuerit pro sumpto inlinea BE,

363쪽

producta versus B, si opus hierit, puncto ita ut A B ad B sit sicut acidi, toc est , ut B MI quod quidem punctuin M, si assumpta fuerit pro oc a m parte lineae A B, qua datus vel conceptus est anguluc BI, sumi dcbces; sin contra. pro ' assumpta suerit ab altera ejusdem linea Al parte su mendum est' oportet per puncta a m reditam lineam ducere AM C, secantem iccitam tam H , atque Occuricia te in ipsi F Q, quae per praedicta puta ta G2 1 ipsi: Eductae sunt aequi- distantes, in Q N. Quo facto, erit quaesitae Ellipseos diameter in recta G, ita ut ad eandem diametrum ordinatim applicatae cum ea angulos faciant, angulo M vel A ii aequales.

Porro ccntrum cjuidem erit m puncto A semi-latus transversum erit recta A, ves quae quidem , vel A G, si ratio AB ad Ara supponatur ut a ad e, aequabitu cum sit ut A Lad A M, sive ut a ad ita Ac hoc est,f, ad AC. Denique ratio transversi lateris ad rectum erit ut ei ad uag, id est, si sit

364쪽

ig, sive, quod idem est, si termino nulla ad latereat fractio, ut ea ad a, hoc est, ut AM quadratum ad quadratum A B. Etenim si praedicta Ellipsis descripta intelligatur , transiens per supponaturque eandem secare rectam in vel Missi ad praedictam diametrum ordinatim applicatam in pun

proinde ea ipsa , quae pro cassumpta est. Cumque Alis sit m , erit - , ideoque rectangulum At cum eadem sit ratio dicti rectanguli NMG ad quadratum ex B vel ME, quae est lateris transversi ad rectum, hoc est, eadem quae e et adaag: erit quoque ut ei hala ag ita ac proinde ei tabe egff--eeg xx. id est, facta divisone pereeg, T cxaff-xx sive posita lig, ζα0-xx. Unde ex ante dictis iterum apparet, quod si angulus AMBE vel AMErectus sit, ac simul e e hso a , hoc est, rectangulum NM G do quadrato ex Mi vel M praedictam curvam fore Circulum, cujus centrum sit A, semi-diameter Abiel A G. 3. Denique si tertio Cassumpta sit prora ducta, ut supra. Dis, ipsi Am parallela sumptoque in linea DE punctos, ita ut DK ad KO sit, sicut ad b, hoc est, ut KOsit ducenda est per punctam O recta QN O H, secans praedictam H GH in H, atque occurrens praefata πις in in constat autem ex iis, quae jam saepius monita sunt, si habeatur

I praedictum punctum O ab eadem parte lineae DK, qua datus vel assiimptus cst angulus D NE, sumendum esse; at si habeatur illud ipsum ab altera ejusdem lineae parte sumi debere. Quo facto, erit describendae Ellipseos diameter in praedicta rectas H, ita ut ad eandem diametrum ordinatim applicatae

365쪽

plicata cum ea angulos faciant, angxilo in in vel D O Eaequales Porro centrum erit in semi-latus transversum I et D Hiram seu ac ratio transversi lateris ad rectum, ut et ad aag. Si enim quaesita Ellipsis descripta intelligatur, transiens per puncta in Id, eademque secare supponatur rectam O vel

as ac proinde praenominatae illa lineae eaedem erunt, quae procassumpta sunt. Cumque porro sit O seu AN O ideoque inoo H erit rectangulum Q HAt cum eadem sit ratio dicti rectanguli QOHV ad

366쪽

ad quadratum ex O TE vel O E , aut ad quadratum ex O REvel OME, quae est transversi lateris id rectuna, hoc est, meel adaag: erit quoque ut e et aa ag, ita S c propterea e et me eg0-eegix divisis omnibus

Ato hic hic iterum facile apparet, si angulus D A RE DO E, DO NE, Vel D OK rectus foret, simul et Maag, praedictam curvam fore Circulum. Quae quidem omnia sunt, quae supra dicto casu in triplici sua variatione demonstranda crant. casu, Si vero quantitatum incognitarum ab initio conceptarum cum Locur tera ex aequatione sublata, aliaque ejusdem loco secundum Re-63Gel Elli ' m V l Cir lain asi umpta, aequatio sit .mff- , atque ipsa lassum'

scycli is sit pro ma nota aliqua quantitate Sitis assumpta pro mi, critque eo casu in linea AB vel A sumendum punctum I ita ut A I sit h. quod quidem punctum I, si v assumpta fuerit pro ab A versus B sim contra ab A versus F sumi debet. Quo facto , erit idem punctum I centrum describendae Ellipseos, mutatis mutandis , caetera omnia, ut supra casu primo memoratum est. Hoc est, diameter erit in recta I B, ac semi-latus transversum eritis, atque ratio transversi lateris ad rectum, ut i ad . Cisus Si denique quantitatum incognitarum primum conceptarum

hi uir ue , aequatione sublata, aliisque earundem loco juxta Re-

Um assumpti ssit pro hinc ducenda est utrinque I parallela ipsi 1 B E ac mu Quo facto , erit idem punctum centrum Ellipseos, diameter ejus in recta Rri vel Ri , eritque ejus semilatus transversum is ac ratio transversi lateris ad rectum, ut adg quemadmodum ea omnia Casuri nvitatis nutandis suiliis explicata sunt. I. 1. At si assumpta suerit pro Iaz, erit punctum S ubi vel,

367쪽

vel, quae ipsi in directum adjunt itur, per praedictam R, productam, si opus fuerit, intersecatur, centrum Ellipseos; caetera omnia, mutatis mutandis, ut supra casu secundo memoratum ii. Nempe erit sc tionis diameter in rectari M. Catque ut ibidem erat A ita hie s Metit cum sit ut B A ad A , hoc cst , ut et ad e, ita Ba, id est . , ad SN eritque porro semi- latus transversum mn, rati transversi lateris ad rectum, ut fel ad ag.

g. a. Denique si cassumpta fuerit pro Ira cra erit punctum T in quo D O , vel, quae ipsi in directum adjungitur, per praedictam IM , productam, si opus fuerit, intersecatur, centrum Ellipseos; reliqua omnia, mutatis mutandis, ut paragrapho praecedenti ac supra casu secundo sVuo susius

368쪽

fusius explicatum est. Nempe erit diameter in recta G, semi-latus transversum ac ratio transversi lateris ad redi um, ut e G ad a g. Atque eorum omnium demonstratio in praecedentibus explicite est comprehensa , cum termini quantitates omnes hic cum prioribus conveniant excepto tantum , quod quae ibidem designabantur per x hic designentur per Rui, hoc est, . Ita enim quod ibi erat Assicio a , hi est IBoop quod ibi erat DKzox, hic est RΚαν quod ibi erat Aram hic estri do a de quod ibi erat Dra m , hic est

Quae quidem omnia sunt, quae circa inventionem Loci illocas , quo idem vel Ellipsis vel Circuli circumferentia existit, consideranda veniunt. Atque ita generali Regula casus omnes inveniendi Loca per aequationes, in quibus neutra quantitatum incognitarum in seducta nec factum sub iis deni ad tres dimensiones ascendit, sed vel quadratum vel planum non excedit, complexi sumus.

369쪽

FRANCISCI a CHOOTEN,

TR AC TAT Us

CONCINNANDIS

DEMONSTRATIONIBUS

GEOMETRICIS

ex Calculo Al 'ebraico.

Francisci Fratre.

Apud Ludovicum Danielem Elge ii iij, .

370쪽

Arbbilissimis es, Splendidissimis Viris, Academiae Lugdunensis curatoribis vitiantissimis, D. AMELIO a B OM GH O Rria, minamentimi Domino, de ordine Equesti in Delegatos Praepotentium Hollandiae ordinum adscripto ejusdem honoratissimi Collegi Praesidi, Rhenotandi Aggerum

Comiti S C.

D. GER ARDO SCHA EP I. C. Cortentio evii

Domino, Exlegato ad Serenissimos Daniae Sueciaeque Reges, antehac in Conscissi ordinum Generalium Colleoli ordinum Hollandia Consiliariorum Deleao ato, Magnificaeque Reip. Amsi elaedam ensis Excon-guli, nunc rari urbani Praesecto. D. CORNELIO DE EVERE, Equiti Aurato, Strevelfhoechii, me9 -isset mondae, Lindae,&c Domi no , Exlegato ad Serenis imos Magnae Britanniae Daniaeque Reges, Exconsuli prima in Hollandia Doriadroclitanorum Urbis, in Concilio Praepotentium Hollandia ordinum ordinario As esctori.

EORUMQUE COLLEGIS, An bis iis, Spectati sim que orentissimae Reipublica Diden sis Consebbiιs,

D. CORNELIO Q UYTE VEST. D. GUILHELMO PAETS, J. C. Aggerum

Rhenotandiae Chomarcho, c. D. P. AUL O a EN G G. C. in Praepotentium foederati Belgi Ordinium Consessum ollandiae no minem legato de Assessori.