2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

381쪽

tem quaesit alii x seorsim non CX-hibeat , ipsam tamen ex tribiis prioribus, qui quidem omnes sunt cogniti, inveniti polle. Id Pod similiter de praecedenti ac sequenti tormula aliis ciue est intelligendum. At vel si ipsa quarto loco separatim desideretur, licebit ulterius sic argumentari. Haud secus, cum sit ut . ad b, ita x in ad x erit invertendo ut ii ad a, ita x- ad xper compositionem ratio nis contrariam ut i ad , . . , ita ad x. Hinc cum a-b-b b - a sint Lmagnitudines ab una parte, dc

dividatur utrinque per Η-b

fit x tres alia ab altera parte , quae binae in eadem sunt latione, tu rumque proportio si ordinata: crunt ipsa quoque ex aequalitate in eadem ratione, hoc est, bad bH-a, sicut 2 ad 2x seu ad x. crit ut ιι ad b, ita c-x adcinx. componendo uta- - bad b, ita , adc- x. Rursus cum sit ut acidi ita ad c - - , crit invertendo tui bada, ita c--x ad c a. per conversionem rationis uti ad b-a, ita sex ad 2x.

per i s per Coro .

382쪽

J J DE

i per 2 quinti. per si inti.

dividatur utrinque per b- a

'per 2 quinti. per is quinti. i per is m

CONCINNANDIS Hinc cum a--b-- l ....d sint Lmagnitudines ab una parte,

tres aliae ab altera parte, quae binae in eadem sunt ratione, quarumque proportio est ordinata: erunt ipsae quoque 'ex aequalitate in eadem ratione , hoc est,a-Fb ad .a,sicut ac ad ra: stic ad Lerit ut bad a, ita x cada: - dividendo muti a ad icitari ad x-c. Rursus cum sit

uti ad a, ita x- - cad . c, erit invertendo ut acidi, ita, i ad x F. c. de per compositionem rationis

sint 3 magnitudines ab una parte,

tres aliae ab altera parte, quae binae in eadem sunt rationes, quarumque proportio est ordinata rerunt ipsae quoque is aequalitate in eadem ratione, hoc est .a ad a se sicut 2 ad 2x seu cad x. qSi sit ac ax Iob, bc: addito utrinque axcri ac sobx axq-bc. auferatur utrinque ceritque ic b cibi a x. dividatur utrinque per 'H-a

erit ut Maria, ita c- ad x c. α componendo iub a ad a, ita ac ad xH- .RQrsus cum sito ut bada, ita c-x ad x i, erit invertendo tuta ad b, ita xH- adc-X. δ per conversionem rationis ut ad ita v c ad 2 x.

Hinc

383쪽

dividatur utrinque per a b fit x MDEM ONsT RATIONI Bus. H

sint 3 magnitudines ab una parte,

tres aliae ab altera parte, quae binae in eadem sunt ratione, qua Iuni lue propoitio est ordinata erunt ipsae quoque aquali. tate in cadent ratione, hoc est, b a ad sicut 1 ad 1x seu ad x. erit uta ad b, itac , ad x i. Unde concluditur c cis x x. Nam minor se non potcst, quoniam componendo soret, ut a b adi ita o ad x-c quod ei absurdum. Similite major esse nequit, quandoquidem per compositionem rationis contrariam' ore ut acidis b, ita Hadi quod perinde absurdum est. Nec aliter se res habet insequentisormula. Si sit in a, b c erit fit a d b, ita ad ι - . addito utrinque a x Unde rursus ut ante cones uditur erit ac maxin be- esse x cum nec major nec addatur utrinques c ni inor esse possit. eritq; ac--bcma ix. dividatur utrinque per ρ b

cum igitur in res endo Probsemate appareat, Apponendo indipsum ut amfactum , quo piato qui argumentari possit,

ut id quod in eo quaeratur ex datis inveniat rate mei recturum judicati si ulternis hic ostenderem, qua ratione praecedentium reductionum estigiis insistendo per illa eadem retrogredi liceat, ad aequationcspropositas, quas i ius Problematis conditio ne adimplere se pono, cometrice componendas.

per Is

per i

384쪽

a per i 6 sexti. per

DE CONCINNANDIS

Typiis Vestigiorum, juxta quae aequationes superius

reducta ac resbluta rursus componuntur, initium faciendo a sine reductionis S per eadem vestigia rogrediendo ad Compositiones Geometricas ex calculo cruendas utilis.

Compositiones lebraicae Compositione Geometrica

miltiplicetur utrinque per i facto rectangulo tum sub extremis tum sub mediis Si fuerit i. e. , si sit ut, adi, ita Dad x vel permutatima ad , ita sex: sit a x8bx mcd. ori ax Ab x mcd. multiplicetur utrinque per facto rectangulo tum sub extremis tum sub mediis .e., si sit ut a 4 ad , ita dad x , vel permutat imam liades, uac ad x: fit axmbria c. erit laxoobc8dc. multiplicetur utrinque per . facto rectangulo tum sub extremis tum sub mediis

ori a Mbx mcd med. facto rectangulo tum sub extremistum sub mediis si sitiata Si ad Se ita ad x vel permutatim a d ad ii, ita criis ad xsta x sobb cc. erit a x Iob b c c. multiplicetur utrinque pera facto rectangulo tum sub

nustum sub mediis Sisita: bo .s h. c., si scuta ad b c, ha b c ad vel permutatima adb-c, ita in x ad x: fit

385쪽

quinti. Ut supra adnotain

criti axibb-b X. h eris id est, reducendo proportionem A ai. ad aequalitatem ut a ad b, ita - . ad M. erit dividendo per i

hoc est, si sit ut . - b, ita bad x:

cri ac obis. is id est, reducendo proportionem 'A:. . ad ae qualitatem ut a d b, ita, ad x c. componendo periit a badii, ita ccidis qui ai. erit per divitionem rationis contrariam miti CD. Si sit x : hoc est, liliit: ta-liada, ita cada :

auferatur utri lue ac critque xx x in a c. addatur utrinque bx

multiplicato utrinq; pera-biit a x--acmbx icauseratur utrinque a c. critque axiba: bcinaddatur utrinque lix

id est , reducendo proportionem ad aequalitatcm, ut ad b, ita v ad x cicomponendo ut a b ad ii, itari ad x c. vel sumptis consequentium semissibus, ut a b ad 2,,ita cad 2x-2 c. id est , per divitionem ratiotiis contrariam,

386쪽

a. per 3 quinti.

si sit x318 DE CONCINNANDIS

naultiplicato utrinq; perit k ita ui ad Lin a, ita et cad ax. erit etiam

id est, reducendo proportionein ad aequalitatem, ut a ad b, ita x ad cinx. dividendo ut a -- ad b, ita Σι ad c vel sumptis consequentium sc- missibus, ut a se ad ab ita rc ad ac et x.

id est, per compositionem rationis contrariam,

multiplicato utrinq; per a b Si sit xm hoc est, sit ut a

b ad b-a, ita ad x: erit m ax, ac myx ic. id est reducendo proportionem ad aequalitatem, ut bada, ita ad x-- c.

de componendo aut a ad a, ita acade- c. vcl, sumptis consequentium se-ax-q- a node bc missibus , auferatur utrinque b c ut b-a adcia, ita ac ad rx-rc. ei lique ax. - ac bc os x. id est , per divisionem rationis addatur utrinque contrariam, cru a b c mix--ax ut b-aada b, ita cad 1x.

multiplicato utrinq; per li-a erit etiam

si ita χ hoc est, sint ad ii in b, it ad x:

387쪽

ut bada, ita ι-x ad x in c.

auferatur utrinque ac eritque a Iob in .r -ix. auseratur utrinque xcrit ac lx ibo lata

c um in duabi: praecedentibus formulis non occurrat quavi per proportionales, ut ante ad aequationes priores pervcniatur licebit per aequalitatem procedere, aequalia per aequalia multiplicando, ac deinde ab aequalibus aequalia auferendo, omnino ut in Compositionibus hisce Algebraicis factum est.

388쪽

Datam rectam AB, titcunque sectam in C, rursus secare in D; ita ut rectangulum sit A D. C comprehensum sit aequale quadrato ex DB. Series Anal seos sive Resolutionis.

Supposto Problemate ut an facto,

Deinde ut habeatur aequatio, Multiplico A D. a se per DC seu DE. Et fit rectangulum A DI F. ix in x x. Similiter multiplico D B. per DB seu BG. bb- x Et fit quadratum D BG H. bb--2b x xx. Unde talis exurgit aequatio

Ad quam reducendam tollatur utrinque x x, eritque axmbb 24 x. Deinde transferatur ab ad alteram partem , ut incognitae quantitates ab una parte habeantur,4 cognitae ab altera parte, fit a x--χbxoobb.

389쪽

DEMONSTRATIONI sus. 36ICiijus utraque pals si dividatur per a-2b, invenietur x, Hoc est, resoluta aequalitate in proportionem, erit ut a seia ad b, ita Dad x. Id quod docet, ad secandam A B in D, qualis requiritur, producendam esse Alcida, ita uti Iuli aequalis B C ac deinde ad AI Q vel BC inveniendam esse rbportionalem, hoc est, ut A sit ad I B vel BC, sicut BC ad CD. Ut alitem pateat demonsitatio, repetantur Analysicos vestigia. Si enim per haec ipsa regrediamur, incipiendo ab cjus fineri desinendo ubi illa initium sumpsit, inventa simul erit via a lato eticoncessis perveniendi ad quaesitum. I luem igitur ianem binas sequentes compositiones, quarum altera Algebrae , altera eometriae genuina cst, ob oculos ponere visum iuit, adhibita utriusque calculi interpretatione sive ad figuram relatione.

Composito Algebraica Compositio Geomtrica. Finis Compositionis. α AD, CD vel ADEF

Addatur utrinque x x

Id est , reducta proportione adaequalitatem,

390쪽

DE CONCINNANDIS id est, reducta proportiones sive sumptis consequentium du-

adaequalitatem, plis, vide Clatarum ad 22.

Adaperta itaque tum ad Constructionem tum ad Demonstrationem via, licebit Problema construere atque dupliciter demonstrare, ut sequitur.

Construictio.

Producta AB ad I donec BI sit aequalisi sat ut Α1 ad Invel B C, ita B C ad CD dico rectangulum AD C seu AD EF quadrato D B seu D B GH aequale

esse.

Demonstratio. Cum enim ex constructione Arsit ad I B vel B G, ut B C adg σὲ o C in erit rectangulum sub extremis AI, cst , res xti ctangulum sub Ac GD una cum rectangulo sub Ca, CD, quale quadrato mediae I B vel B C. A quibus si commune ause

ratur rectangulum sub CI, erit reliquum rectangulum sub C GD aequalem C quadrato, dempto eidem rectangulo sub fh δε- CI, CD, id est, rect)nguli Da una cum quadrato CD. euis i. At cum dempto id rectangulo a quadrato Clioli P re-ὰρ I inquatur quadratum M patet dictum rectangulum AC D quierato D B aequale esse minus quadrato M. Hinc cum sumendo