장음표시 사용
62쪽
Neque praetereundum hoc loco videtur, quo pacto horum divisorum ope duae plure sue quantitates datae alia ratione, quamcx superioribus facile fuit colligere, ad sinia plicissina os terminos reduci queant. Ut ad reducendum i abb,aab 43, de 3aa abb-b ad terminos simplicissimos , eandem cum ipsis rationcm habentes , quaero primo ut ante omnes cujusque quantitatis datae divisores eruntque ipsius - ab divisores ,
&a --aab--abb-b Gam cum inter ipsos tres sint, qui sibi invicem respondeant uti b, a - b,&aa quorum ope latae quantitates ad simpliciores reduci possunt hinc ad inve niendum terminos simplicissimos divido a'-abb,aab-b3, de a 3--aa - ab se per x bb utpote divisorem pluribus dimensionibus constantem), fiuntque a, b, dea - - b. Ubi notan dum , quantitates propositas sore inter se primas, si nulli ex divi foribus sibi mutuo respondeant.
Quae ratio inveniendi divis res non inepte quoque adhiberi potest ad fractionum abbreviationem. Ut ad abbreviandum
potest pera in b, poteri pro scribi Ei se
Inventis autem omnibus divisoribus, videndum est num aliquie ipsis sint quadrati, vel cubi,4 c. qui si reperiantur, adhiberi poterunt ad praedictum modum liberandi quantitates ex signo ra dicat
63쪽
MATH Es EO UNIVERSALI s. sdicali Ut quia inter divisores' tantitatis bina ab leperitur quadratum a a, poterit alb in abb dividendo per .i, reduci adax ab bb.
scribi a c-ab bb. Similiter cum numerus 7 inter dixisse res quoque habeat quadratum numerum P, reduci poterit aad a V . tab , quia iroo dividi potcst per numeros quadratos , 6, 2s, roo, Ο poterit pro circo a abbscribi diab, sco vel ab Urs, vel ab UqS, vel o ab Q 2, vel denique o ab v Quod si inter divisores praeter unitatem quadratum nulliani aut cubus&c reperiatur, non poterit data quantitas praeccdenti modo reduci, nisi velis eam in ormam fractionis de lignare. Ut quia a praeter unitatem quadratum nullum inter divisores admittit, poterit oa a dividendo io per aliquod quadratum
ut lubet, ut , a , Io O,&c denotari hoc pacto 1 a V vel ' a V , vel ioci, -' , dcc. Sciendum deni que, quod , licci liae quMὶtitates nanc PL, consideratae surdae cxistant, tamen inter se collatae duorum :nt generum aliae enim dicuntur Commensurabiles seu Commimicantes aliae vero Incommensurabiles seu non Communicantes. Communicantes sunt, qua affinitatem habentes cum quantitatibus rationalibus, aut etiam inimeris, inter se sunt ut quantitas rationalis ad quantitatem rationalem , eusseu numerus ad nu-
Non Communicantes vero sunt, quarum unius ad alteram c- latio non si ut quantitatis rationalis ad quantitatem rationaleis, aut numeri ad numerum. Ratio autem dignoscendi communicantes a non communicantibus est, si , posui iam ad simplicissimos terminos sunt reductae, reperiantur inter se esse ut quantitas rationalis ad quantitatem a tionalem, aut numerus ad numerum. Ut 73 ad VS aa sunt communicantes, quia divisione per V , inaximum carum comm
64쪽
36 PRINCIPIAmunem divisorem, reducuntur ad aa; hoc est, ad adcla adeo ut pro 3 a 3 a scribi possit a 3 dc es, quae inter se sunt ut uera ad 3 vel 1 ad 3.
Eodern modo communicantes erunt aab aabbinb', quia utraque divisa per a a in b, oriuntur, a a&Vib, sella dei: ideoque reducuntur ad a, a a b debi au bb, quae inter se sunt ut acidi. Similiter communicantes sunt i
quae est ipsius ad 3 - x. Et sic de aliis.
De Additione , Subtractione quantitatum
surdamm . AD addendum vel subtrahendum quantitates surdas, Oportet
primum explorare utrum sint communicantes nec ne sieni a communicantes fuerint, adduntur tantiim vel subtrahuntur quantitates vel numeri, qui extra signum radicate reperiuntur. Ut
ad addendum, Laa , Taa, hoc est, 1 3 a Uscribo, additis pro summa 8 a P dc ravo pro earundem differentia , utpote sublatis 3 a X a. Eodem modo si uerint, a ' aibbde Uaab hoc est, a V u--bb&b Uaa bb addendo subtrahendo S b erit suiuina a b si a b b, de differenti Ua a b Similita
65쪽
mp. Nec aliter sit lilia beatur
Qxx- Σ&3- xx xx Ir, crit summa 3 xxH- 2, cis denique subtractis, crit differentia 2 a xx - 1. Q odii vero non communicantes sucrint, non poterunt addi vel subtrahi ita ut unam radicem coniiuuant, quocirca addendae vel subtrahenda sunt mediantibus lignis, sed . unde Linomia Multinomia exsurgunt Ut si addendum iit Uaa kbbad V. - b, scribo pro summa a b b ea. - ν', de ad subtrahendum, deri ai bb scribo pro reliquo aa b - aa--bb. Non secus si addatur a --li ad aa--bb crit summa a --b- - a --b ; at ii subducatur, a b dea H-b, erit reliquum aa--bb. Cum enim a M. st quantitas rationalis S a -- lili quantitas surda, non inagis communicantes esse pollunt, quam omnes quantitates turdae, quae di ers signis radicalibus designantur. Haud dissimili ratione concludes sum imam exa a --bb--a, a b bde ax by b a a b bessera H.t-b aa-Fbb, dc disterentiam cui r l-.ι--bi ci L.
De Multiplicatione quam Varii surda m.
SI quantitates datae sunt communicantes, oportet, multiplicatis quantitatibus vel numeris extra signum radicate postis, productum multiplicare per quantitatem vel numerum sub signo radicali contentum , ut habeatur productum quaesitum Ut ad inultiplicandum, 73a aper, a7aa, hoc est 3 V per 3 , inultiplico primum Da per 3 fit Laa tum is a per 3, critque productum quaestum 5aa.
66쪽
38 PRINCIPIA producito a per a b b, fiet productum quaesii tum a bat .
tentantii in multiplicare quantitates sub signis radicalibus comprehensas, producto praefigere commune signum radicate. Si vero signa radicalia divorsa fuerint, reducenda prius sunt ad idem signum, sicut superius est ostensum, deinde Operandum, ut jam dictum est. Ut ad multiplicandum .ib per V d multiplicatis
ab per c d praeligatur producto ab c d signum, , fit productum quaestum s abcd. Sic ad multiplicandum, a b peri ai bb multiplicatis aH-bi per a a ib, fiet productum, a Similiter si multiplicari debeat pera H li, reduco prius Η- ad idem signum radicate, de fit Qua 1 ab bb: tum multiplicatisaa -- Lab bi per ii ii, fit productum, a ' rara et aabb raby--b', vel etiam scribendo hoc pacto: a b cia Fbb. Nec aliter fit si multiplicandum sit
multiplicando, ua -- bpe a --4b, de si avi ibier , a b omissis scilicet tantum signis radicalibus fiunta a b bde a a -- bb; at vero multiplicando a a b per au bb, de, a b bipei a ob producta evanescunt hinc productum quaesitum erit 1 b.
De Dissione quantitatium surdarum.
o datae quantitates sunt communicantes, oportet tantiim divi dere quantitates, vel numeros, extra signum radicate positos,
67쪽
MATH Es EO UNIVERsALI s. 395 quod oritur erit quotiens quaesitus. Ut ad dividendum, i aper, 47.i .i, hoc est, s a ' per 3 iv divido a per 3 i. seu
per 3 eritque quotiens qua litus pseu 9 Sici ad dividendum Ua' avi per V a ab in , hoc est,a aa b per buaa bb
divitis aperit, hi quotiens. Non secus, ab c scuc , a divi su in per, ab datis. Et sic de aliis. Quod si communicantes non suci int, dividendae crunt quantitates sub signis radicalibus comprehensa , de ci quod oritur praefigendum cst commune signum radicate. Ut ad dividendum, a ' - ab peri .i divis: a b cibi perii by fit
ab unde quotiens quaesitus crit, . b.
Et quidem si signa radicalia fuerint diversa, reducenda prius erunt ad idem lignum, de deinde operatio instituenda erit, ut jam dictum cst. Ut ad dividendum in allieres 'in a aib multiplicando a - - abi in se fit ra 'bi in a a b quare divisa , . --: 'bb- -a ab 'per .' a ab , erit quotiens, ua- b. Sic S i dividatur 4 a' ra 'b ra pera multiplico primum in ut fiat sub eodem gno radicati, a rabH-bb quo facto, si dividatur . 1 a 3 1 'per V a -- ab bb, et quotiens quaesitus a ib. Non alia ratione a--bb divisum per Vaa bb, facies; aa b. quippe diviso quadrato per suum latus, oritur latus. Unde si a 3 ab dividatur per x a a b b, orietur a P a b b.
dem exoritur quantitas , qua provenit dividendo b bc per bo: hinc quotiens quaestus erit b. Eodem modo ab bbc-as Ub divisum per a - , bc facit a b --οῦ .Postea de videndum a- per a V bc divido a a per a
68쪽
liquum dividendi akb c ic diviso jam a, b c pera, fit Ubc, quod multiplicatum per μέ iacit icci hoc igitur si auferatur a reliquo dividendi ic relinquetur o, absoluta erit divisio, eritque quotiens quae situ i Ubc. Eodem modo - divissem per pab Ucd dat Ua b d dea' bcVbc divisum pera dat a--bo a, b c e&a ab L ccdddivisum per Uab- cd d. ab . di ab - ab cu Ucd: c - c divisum pera a a Mic, dat ab JUbc ut d a 'H- abcina a scUb divisum per a-, bc, dat a b c 2 a, b c. Denique ad dividendum s a'--b'per quia per c d seu cc-2cd- - id dividi nequit, si ribo pro quotiente
sta', vel, o amni, vel etiam hoc pacto
Sic etiam ad dividendum 18, a xx et xy-x per Uxx ii, scribitur pro quotientes vel
in xx uaci quadratum nempe ipsius cxx fit ut scribiqRoque possit . . i , vel brevius Uxx--ir, utpote dividendo xx-- I per si xx ria. Non aliter si 18 a x a ' sit dividendum per
ut etiam scribi possit ' seu ue , si es.
69쪽
I e Extractione Radicis a ratae, Dinomiis.
Modus, quo ex qua ivitatibus bii natis radix quadrata extrahitur, non differt ab eo, qui in numeris adhiberi solet adinventionem radicis quadratae ex Linoni iis, sique talis: Reguti ex
Subductis quadratis partium dat Linomii a se invicem, si radix qua radicem rata resequi ad partem malorem addatur,o ab eadem auferatur; erunt μ'. - radices quadratae ex cinis summae ct disserentiae , per signum se vel das Binomii connexa , bilia partes radicis quous. Ut ad extrahendum radicem quadratam cia a b c 2 a, bc, subtraho a ab c quadratum minoris partis ex 'H-ra abc--bbccquadrato partis majoris, S relinquitur,'- Laabc--bb c , cujus radix quadrata ai bc addita ad majorem partem a b c S ab eadem ablata facit summam 2 aa, differentiam 2bc, quarum semisses sunt audebc unde radices quadratae sunt ad . Vic,
quae si connectantur per signum in erit radix quaesita --, bc. Sic radix quadrata ex in x, incrum x P. s. isi,
Eodem modo si extrahendas radix quadrata ex aq- ab--rab: subducto a abb quadrato partis minoris, ex 4 2aabb ab quadrato majoris partis, erit reliqui Ἀ-ra abb ab radix quadrata a - b, ab quae si addatur Ic auferatur ex majori partea b, ab het imma Σ disserentiarib Uab unde se- naissium radices quadrata constituunt radicem quaesitam, a V a b H b, a b sc iuri v j ii Nec aliter sit cum extrahitur radix quadrata ex a d bc diva b c d etenim subtracto ab c d quadrato minoris partis, exaabc rubcLFb ea, quadrato majoris pariis, clinqtrctur, a b c 1 ab c d -- b c d , cujus radix quadrata st d bc haec ergo si addatura subtrahatti ex maiori parte a d bc erit summa 1 a, b c differcntiari Vbc: Ex quarum dimidiis si radices quadratae extrahantur, et radix quae stat a b c lic vel
70쪽
42 PRINCIPIAQuod si subductis quadiatis partium dati binomii a se invicem, reliqui radix quadrata major pars binomii communicantes non fuerint satius erit ipsi binomio signum universale radicis quadratae praefigere ut ad extrahendam radicem quadratam 'a , . JG scribo Q la V aa--bb quae radice vulgo appellantur universales. DE REDUCTIONE EO VATIONUM. Q Uoniam ad resolvendum aliquod Problema, id ipsum supponendum est ut jam factum , atque nomina imponenda sunt quantitatibus tum datis, tum quae sitis quidem pro datis D. Des- Cartes Ordinarie ponuntur priores literae Alphabetia, b, &c pro quaesitis autem posteriores a , es fit ut pe currendo Problematis dissicultatem, eo ordine, quo omnium naturalissime patet, qua ratione dicta quantitates, nullo inter cognitas cincognitas facto discrimine, a se invicem dependent, tandem inveniatur via quantitatem aliquam duobus modis exprimendi id quod quatio vocatur. Unde cum aequatio nihil aliud sit, quam mutua comparatio duarum rerum aequalium, quae varie denominantur facile constat, quantitates hasce cognitas sin cognitas, prout diversimode sunt aflectae atque dispositae, diversas effcere posse Equationum formulas, quae tamen persequentes regulas reduci queunt ad hasce similesve species:
V si habeatur aequatio inter ir , hoc est, si fuerit
maz quoniam si aequalibus aequalia vel idem addas, ea quae fiunt sunt aequalia 'in si utrinque addatur ino, et 13. nam -- addita faciunt o.