2: Renati Des-Cartes Geometriae pars secunda. Cuius contenta sequens pagina exibebit

91쪽

NATVRA AEQVATIONUM.

tutionem AEquationum ex carum generatione S comparatione cum similibus seu ejusdem formae, ouam conserendo carum radices cunicertis mediis Geometrice proportionalibus, ut praestitit Victa. quationes autem facilitatis gratia ita disponere libet , ut omnes termini ab una parte reperiantur a uales

nihil, ponendo ipsos ordines, prout gradatim per incognitae

quantitatis dimensiones descendunt. Prii iuria cnina terminum vocabimus , ipsam quantitatem incognitam , quae plurimarum dimensionum existens nullis aliis quantitatibus adficitur secundum vero , in quo incognita quantitas una dimensione minor est; tertium in quo duabus S sic delirceps, usque ad terminum omnino cognitum, quem pro ultimo habemus. Deinde loca, ubi terminorum aliqui deficiunt, alterisco complebimus, quae tum sub numero terminoriam comprehendentur. Haec omnia beneficio transpolitionis facile peraguntui. Ex iis, quae scripta S commentata sunt in Geometriam Renatides artes, nota est methodus cognoscendi, quot haberi possint radices in qualibet squatione nimirum, pos AEquationem tot habere veras radices, quot mutationes sis norum continuae adfuerint, ct quoties eadem signa se invicem sequuntur immutata, tot posse reperiri salsas radicesci nodo in numerum terminorum ii numerentur, qui desciunt. Porr, duas Equationes similes esse dicimus seu ejusdem sormae, quando in utraque idem cli primus terminus, de reliqui ter-ntini in utraque smiliter sunt allecti de ii in una terminus aliquis abfierit, ut is quoque absit in altera. Nam cum similes sunt Fquationes, Candem habebunt constitutionem de naturam feri poterit comparatio seu collatio singulomni terminorum uniuscum singulis terminis correspondentibus alterius.

92쪽

stu duarum dimensionum. Quando aequationes hae sunt atactae, reducuntur Oinnes ad

tres sernia sequentes:

Propositio. Ad intelligendam naturam constitutionem prioris aequationis, formetur per multiplicationem harum duarum, ραχ α - - sequens aequaties xx -ix l Mo Supponendo igitur c majorem quam eandem habebit sormam atque prima propositarum xx lx-mmmo. per consequens, binae hae aequationes erunt ejusdem naturae constitutionis. Fiat collatio unius cum altera per comparationem terminorum secundorum habebimus -- bool. Unde discimus, i esse differentiam inter falsam radicem c veram b de cognita fallia , veram Lesse aequalem ipsi, - cognita verat, falsam nesse aequalem ipsi Praeterea, ex comparatione postremorum terminorum habebimus in aequalenti c. Unde sequitur in m esse aequale rectangulo sub vera de falsa radices; , cognita falsa , crami aequalem

esse ; de cognita verat, falsamis aequalem esse P. Proposito.

Pro secunda aequatione proposita formetur rursus per multiplicationem duarum x-- ωx- -cxo, aequatio xx-bx--bcmo. In quas supponamus b majorem quom c erit ipsa ejusdem se in cum secunda proposita xx--ἰς-m m M o. Et per consequens duae illae aequationes erunt ejusdem naturae S cons itutionis. Facta ergo collatione unius sum altera, habebimus excollatio-

93쪽

2 Q u M. Statione secundorum terminorum . bae - , velim L c. Unde discimus, quod i it differentia inter veram radicem Disal same in si cognita hi erit falsa erit veraci aequalis l- - si fieri cognita vera i falsa cisiit aequalis i d. Porro per comparationem postremorum terminorum, ratabebimus vim ob c. Unde sequitur mali esse aequale rectangulo sub vera de falsa radice cognita falsa , verami esse aequalem - , 5 , cognita crab, . falsanis esse M .

Propositio.

Pro tertia supra posita aequatione, sormemus , per multiplicationem duarum, i MO&x 42oo, aequationem sequentem xx lx bc Mo S habebit eandem sormam atque proposita

tertia xx di minaeio, S consequenter hae binae aequationes erunt ejusdem naturae constitutionis Comparemus ergo unam cum altera , atque ex collatione secundorum terminorum habebimus bH-cae, i. Unde discimus quod rest summa duarum verarum radicum S si una earum, exempli gratia, ι, et cognita, reliqua b aequabitur c. Praeterea ex comparatione ultimorum terminorum habebimus miliae, bc hoc est,mna aeci uale rectangulo sub duabus veris radicibus, quarum si alterutra est nota exempli gratia, , altera

aequabitur .

Quantum ad aequationem quadratam xx - m M , quae non elia flecta, ipsa oritur ex duabus sequentibus x mae O , x-- α o. Unde sequitur ipsam duas possidere radices, unam veram, alteram falsam, quarum utraque aequatur ipsi m.

C di m a III. De natura es constitutione F quationum Cubicarumseu tertiae dimenstonis secundo termino carentium. O Mnes hae aequationes reducuntur ad licssequentes formas:

94쪽

Ad cognoscendam naturam . constittitionem prioris aequationis propositae, formentiis per multiplicationem harum duarum x x bx Dira x 4 hanc aequationem xi bb, bcc oo Supposito autem, major quam b

ipsa eandem habebit formam atque prima proposita x minx- ny M o. per consequens ejusdem erunt natur: ea constitutionis. Fiat igitur illarum collatio. per comparationern tertio rum terminorum habebimus co ibim m. Unde constat, si vera radiis cognoscitur, c fore aequale in bbo consequenter xx---ba: m -- M O quae aequatio duas reliquas radices Iespicit, ac cum vera radice b concurrit ad formandam aequationem propositam. Praeterea, facta comparatione ultimorum terminorum, habe-bmui ny obcc. Unde sequitur c cesse aequale cognitavera radice , hanc aequationem xx in x similiter

duas reliquas radices respicere, tum vera b concurrere ad formationem propositae aequationis.

Propositio.

Pro secunda aequatione proposita formetur rursus per multiplicationem duarum xx 'x cc o dc --υαὶ aequatio xi --bbx--bccooo Supposito autem bi major quam , ha --ccbebit illa eandem formam atque secunda x mx-n3M ci per consequens habebunt eandem naturam constitutionem. Fiat igitur collatio, ex comparatione tertiorum terminorum habebimus b cc Ionam. Unde constat cc esse aequale bb-nam;&, cognita vera radice b, aequationem hanc xx-Fbx bb-mmmo duas reliquas radices concernere. Porro, ex comparatione duorum postremorum terminorum, habebimus unde sequitur, c esse aequale s .cosnita vera radices, hanc aequationem similiter ad duas reliquas respicere.

95쪽

Propositio.

Ad inveniendam naturam Z constitutionem tertiae aequationis propositae, ita ex duabus hisce V. - . - domae quatio,' bba in bccooo, eandem habcias orniam cum

tertia proposita me UMO . Unde ipsa eandem habebunt naturam atque constitutionem. Fiat ergo collatio . 5 per comparationem critorum terminorum habet, uiuis cc Iomm. Unde const)t, 44 Quale cise m bb cognita vera radices , arquationem nanc x x bx- - - 1 irae oad duas reliquas rad:ces respicere. Praeterea ex comparatione postremorum terminorum, habebimus ny Iobcc, de per consequens ci ae Quare cognita vera radice , haec aequatio xx lx zm o similiter duas reliquas radices concernet.

trium dimensionum, tertio termino carentium. HAE aequationes reducuntur ad tres sormas sequentes:

Propositio.

Pro natural conssi tutione prina aeimpositionis, sat per multiplicationem hari: in duarum exes c x bc, o x 'MOhaec aequati x -l xx - caelo. Et supposui majore quam λ, habebit ipsa eandem sorinam cum prima proposita xy-- lxx mi in per consequens erunt ejusdem natura . Facti orgo colutione habebimus ex comparatione secundorum terminorum c sta l, hoc est, coo b. unde constat, cog nita

96쪽

nita vera radice Κ, aequationem xx--bx bb. blaeo duas

reliquas radices respicere. Praeterea, ex comparatione duorum ultimorum terminorum, habebitur nimbi c. unde sequitur cesse aequalem&, cognita

radice b, aequationem M o duas reliquas radi'

ces concernere.

Propossio.

Pro secunda propositione fiat ex multiplicatione harum duarum x x c - ora x - bi haec aequatio ix bbcruo. Et suppositas majore quam , erit ejus -

dem formae cum secunda propositarum x - lxx -n3 Ioadeoque erunt ejusdem naturae constitutionis. Facta igitur collatione, ex comparatione secundorum terminorum habebimus - cIOL Unde constat, cesse aequalem b-l , , cognitavera radice b, aequationem hanc xx bx--bb i mo duas reliquas radices respicere. Porro per comparationem postremorum terminorum habe-

imus ny Iob bc. Unde sequitur classe aequalem Εἰ ω, si vera

radix uerit cogniti, hanc aequationem xx -- x T IO Oduas reliquas radices concernere.

Propositio.

Pro tertia propositione formemus ex duabus xx- x-b Mo&x-buo hanc aequationem xi cxx - bb axo , quae

habebit eandem formam atque tertia aequationum propositarum x - lxx- nyMo, per consequens erunt ejusdem naturae constitutionis. Quare facta collatione, per comparationem secundorum terminorum habebimus c bao Linde discimus, quod' aequetur b. , si vera radixi sit cognita, quod aequario xx-bx-bb blaeo ad duas reliquas radices investigandas reserri debeat. Prae-

97쪽

Praeterea, comparatis ultimis terminis, habebimiis nymbbc, unde sequitur c aequar cognita vera radicet, hanc aequationem xv Ex ado reliquis duabus inveniendis inser-yire. Q u V. De natura es constitutione AEquationum Caicarum seu trium dimensionuni, in quibus omnessermini extant. 7 Quationes hae reducuntur ad septem sormas sequentes:

Propositio.

Ad cognoscendam naturamin constitutionem primae propositionis, tiat ex multiplicatione x x-cx--cidio per x limo, aequatio sequens xy 4 xx ddx-bduxo atque eandem ha -- inbebebunt naturam .constitutionem. Facta ergo comparatione, ex collatione secundorum terminorum habebimus bH- mi, vel cxl l Deinde ex collatione tertiorum terminorum habebimus d b imm , hoc est, dimin bb--bi, quoniam cest inventa aequati l-b. Unde apparet, cognita veri radice , aequationem hanc xx lx--mm- ἶ-bimo duas reliquas radices respicere. Denique ex collatione postremorum terminorum habebimus bddin' unde constat, id aequariu , , cognita vera radice b, aequationem hanc xv lx in Mo duas reliquas δ'

98쪽

TOD NATu RA Propositio. Pro secunda propositarum fiat ex multiplicatione xv ix

ddo o per ac limo aequatio haec Τ-b xx icx-bddmo. supposita, majore quam',&b majore quam id, habebit eandem formam, quam propositio secunda x in xx - mx-nimo,' consequenter erunt ejusdem naturae constitutionis. Facta ergo adaequatione , ex comparatione secundorum terminorum habebimus , b mi, hoc es, c sol in b. Deinde excorulatione tertiorum terminoruni habebknus d b Io nam, hoc est, restituto valore ipsius c invento, habcbitur dicio bl bb Unde constat, cognita Vera radicet, hanc aequationem xx -- lx--bb bl vix duabus reliquis radicibus investigandis esse utilem. Denique, ex comparatio ire postremorum terna morum, habebimus bddoon'. Unde sequitur ιldfore aequalem cognita vera radice b, aequationem hanc

Propositio.

Pro tertia propositione, sat ex multiplicatione x cx daeo per x mo eadem arquati xy--b xx dcx id daeo.

Et supposta b majore quam , dera majore quam d, crit ejusdem formae cum tertia propositarum x - lxx-mmx-nymo, di consequenter ejusdem erunt naturae constitutionis. Facta ergo adaequatione, ex collatione secundorum terminorum habebimus boo - , hoc est, coo - . Deinde ex collatione tertiorum terminorum habebimus di bc mmm, hoc est, substituto valore invento ipsius , erit dilaobb il-m m. Unde constat, qu bd cognita vera radice b, haec aequatio xx b Fbbmo blad duas investiganda reliquas adhiberi possit. Denique, ex Ollatione

99쪽

AEQUATIONUM. Trlatione postremoruli terminorum, habebitur bd diu'. Unde sequitur, dii aequar cognita vera radice hanc aequatio nem x x --λx- rura ad duas reliquas quaerendas esse utilem.

Propositio.

Pro quarta propositarum fiat ex multiplicatione xx cx dxo per x-bmo cadem aequatio x'-bxx-bcx-bddio. Et supposta majore quam id majore quam bc erunt ejus

dem formae ac quarta propositio, se x x se manv n zo O , S consequenter ejusdem naturae constitutionis. Facta ergo adaequatione, ex collatione secundorum terminorum habebimus o bool, cu Iol -υ. Deinde, ex comparatione tertiorum terminorum, habebinius id scio in m , hoc est . restituto valore ipsius c invento , erit dit Iob b bl in m. Unde constat, cognita vera radice b, hanc aequationem xx bx--bb bl minoo

duas reliquas radices respicere. Denique cx collatione postremorum terminorum habebimus bis in vinde sequitur, di fore aequale cognita vera radice , hanc aequationem xx . ,- - mis ad indagandas duas reliquas adhiber posse.

Propositio.

lxx--m n --n mo, consequenter ejusdem naturae constitutionis erunt. Facta ergo adaequatione, ex comparatione secundorum terminorum , habebimus iis b, vel Iob b. Deinde , ex comparatione tertiorum terminorum , habebimus bc-- divam, hoc est, restituto valore ipsius c invento, erit

dum bl--by- m. Unde discimus , cognita radice vera ,

100쪽

aequationem hanc xx--le bl bb-αmmo duabus reliquis inveniendis esse usui. Denique ex collatione postremorum terminorum habebimus nimbdd. Unde colligitur d aequarii; , cognita radice verat, hanc aequationem x x - lx- moduabus reliquis inveniendis inservire.

Propositio.

usui suturam. Denique comparando ultimos terminos, habebimus dbaoni: ne consequensae, adeoque cognitavera radicet 'narcaequati xx, lx zo ad investigandas duas reliquas utilis erit.

Propositio.

Pro septima propositione formetur ex duabus x limo

posta autem Din ore quam , habebit ipsa eandem formam cum septima propositarum x - I xx -- 17ia: --m O. consequenter erunt ejusdem naturae constitutionis. Facta igitur comparatione, orietur ex collatione secundorum terminorum,l ob