장음표시 사용
61쪽
Clarus D.Mao Laurin , paUca tamen, atque in genere, de Aequationibus opusculo huic inserenda erant, quo
Tyrones Harmoniam illam, quae inter Transformationes quasvis A ebraicas easdemque Geometricas inviolata manet, facilius percipere queant. Adnotari etiam poterat, eX Variabilium ci , ν, Valoribus modo inventis constare, Aequationem Projectionis fore ejusdem ordinis cum Aequatione curvae expositae; id quod cum rationibus Geometricis V t. XI. praeced probe congruit. Et, si Curvae Genitricis Aequatio uxionalis fuerit, ejusmodi fore Aequationem Genitae ;quae itaque per Methodum Huxionum inversam describenda erit.
62쪽
nicarum. CONI Sectiones sint tres illae Figurae Geometris notissimae, EAlipsis, Parabola, 'perbola; quibus adjiciuntur nonnunquam Circulus et Triangulum rectilineum, seu potius binae rectae Superficiei Conicae inscriptae. Nempe si planum secans fuerit Basi circulari Parallelum, aut huic subcontrarie positum, fit See iocircularis ; et si planum quod Sectionem efficiebat 'perbolicam parallelos moveatur, donec per Verticem transeat, Sectio erit rectilinea, id est 'perbola cum Asymptotis Coincide rit. Si plana quae Sectiones efficiebant Parabolicam et Edisticam similiter moveantur, degenerabit Parabola in =ectam, Ellipsis in Punctu .
63쪽
Quum itaque in omnimoda Cimculi Projectione, Planum Projectionis Conum secet, cujus Vertex est Polus Projectionis, Projectiones erunt
ipsae illae Figurae modo memoratae. NeC minus Constat, Conum ex Basquacunque Elliptica, Parabolicae aut 'perbolicae Sectionum oppositarum)Oriundum, easdem praebere Sectiones; idque ob reciprocas Planorum Basis et Projectionis Uices. Circuli itaqueProjectio, latius sumpta, totam doctrinam Conicam in se complectitur; proprietatesque omne8 Sectionum Conicarum exinde deduci possunt et Demonstrationibus Geometricis firmari. Nobis Exempla quaedam, Speciminis loco, proposuisse satis erit, quibus methodi hujus Indoles atque Usus aliqua ex parte illustren
64쪽
lis, A P T B Circulus per Cujus Centrum ducitur Planuni Vertis ale se cundum Diametrum A B ; sitque recta H N extra Circulum posita. Inveniatur Diametri A B Projectio ab; ductisque a puncto H, in quo Linea EXtremorum Plano Verticali occurrit, rectis H T, H T Circulum contingentibus in T, T, rectaque T Tin t i projecta, Ellipsis a p t b, Axibus ab, it descripta erit Profectio Circuli dati A P T B.
Qtium enim rectae AH, T H, T H concurrant ad Lineam Extremorum, quae Ellipsin Contingunt int, i, erunt Axi a b Parallelae, id est, erit it Axis ipsi a b conjugatus. 2. Politis P M Ordinatae Circuli, x Abscissae H M, Di ametro AB, t H B distantiae Cir culi a Linea Extremorum, erit ' -- x et I M. χ- l kScriptisque, ut supra, V p m Ordinatae Projectae, E Abscissae C m, H G C G r, Aequatio Pro
65쪽
jectionis erit υ' - - Ν - χ Z - a' ; ad Ellipsin Specie datum, modo detur Coessiciens.wrmini - AXes enim a b, it erunt ad invicem ut sunt r et din I sive ut C G et tangens H T. Unde plura de hac Sectione proponi solita
Circulo B T A insistens, quem Planum Basi normale, secundum Diametrum, secat, Triangulum essiciens B A Z, Plano altero secandus sit, ut
fiat Secti o Esi fis Speciei datae; pro ducta si opus utrinqueὶ Diametro A B ad hanc inflectatur a Vertice Zrecta Z H ut fit rectangulium A H κH B ad H Z q, in ratione sF ad G data, duplicata sic. illius quam habiturus est Axis Plano Verticali perpendiculiaris ad Axem alterum ; ducta que recta C G ipsi H Z Parallela, si secundum hanc secetur Conus Plano
66쪽
quod sit ad Planum Verticale rectum, erit Sectio Speciei imperatae. Demisso autem Perpendiculo Z Ι, recta Z H inflectitur per Constructionem Aequationis quadraticae
x FxZBq. In qua si prodierint Radices x, seu B Η, ejusdem Signi, erunt Puncta H utraque ad partes B ; si fuerint Aequales, unica Z H ad maximam rationis quantitatem pertinebit. Sin impossibiles e vaserint, ratio imperata fuit nimia. Hujus vero maxima quantitas statim determinabitur, si, in Triangulo ZB A ducta quavis p s diametro B AParallela, quam bisecet i u inr, Triangulum abscindens Isosceles Z t u ;
enim ratio - maXima quam Usurpare
liceat. Vel etiam ducta Z h ipsi i ii Parallela erat L maxima --
Iri Cono rei to maxima haec ratio es
67쪽
aequalitatis, quando Q. Planum secans fit Basi Parallelum. . Si fuerit C G vel Z H Contingenti H T aequalis, erit Projectio Circulus ; est enim- 1. Et quum sint A Η, Η Ζ, H B continue Proportionales, est Angulus H A Z Zb a s6. el. 6.) id est, Sectio secundum a b fit Bais A B subcontra
5. Hactenus posuimus Lineam Extremorum ΗN Circulum A BT non attingere. NunC vero Contingat in B, et propter I o, Aequatio Projectionis erit υ' a - a', ad Par
scriptam: quae itaque datis ' sive, in Fig. 1 O. rectis A B, Z B vel Z A, Axi Projectionis a erit Proportionalis,' et Magnitudinis cujusvis datae accipi potest. 6. Secet deinde Circulum ut in
T E T, Fig. 9. isque projicietur in Sectiones oppositas, Verticibus a, b,
68쪽
Centro h, in quod Tangentium ΤΗ, concursus projicitur, ipse autem tangentes abeunt in Asymptotos. S ple Figuram ) Et quum facta sit INegativa, Aequatio Projectionem de
Ex qua, non secus ac in Ellipsi factum est, 'perbolam Speciei imperatae obtinebis. . Sit denique Curva exposita Se tio quaevis Conica quam in Circulum aut aliam Sectionem Speciei ass1gna tae projicere velis. Sit v. g. in Ol. 9, 1 o, A B THI sis cujus Axis A B
huic Conjugatus c, manentibUS reliquis Symbolis, eritque Projectionis
et Regula de in sexione rectae Z H hic etiam valebit. Invenietur Q. inclinatio Plani CG, in quo Projectio futurarest talis is aut 'perbola Speciei datae, si capiatur
69쪽
Hinc obiter Projectio is illius Simreographicae ratio reddetur.
1. Sit enim Z punctum in Superficie Sphaerae, C G intersectio Plani Paralleli Circulo cujus Polus Z, Cum Plano Uerticali; B T A Circulus projiciendus, diametro B A, cujus Plano occurrat HZ ipsi CG Parallela in Puncto H, a quo duci intelligatur H T Circulum B T A contingens in T. Quoniam igitur sunt Puncta Z, T ad Sphaerae SuperfiCiem, CrUnt contingentes Z H, T H Aequales, et P, beritio in Plano C G, aut alio quovis huic Parallelo, Circulus. Per Art. 4. hujus Exempli. a. Angulum BZA bisecet recta Z V, diametro B A occurrens in V, ipsi autem ba in v. Ea producta in Polum Circuli B TA incidet 26.el. 3. cujus
70쪽
cuius itaque Projectio erit v. Ad Punctum V erigatur Planum Plano Projectionis Parallelum, sive Bas1 B TASubcontrarium, Dod Planum verticale secet in V Et si circa Z V tan quam Axem revolvi intelligatur Planum, planum atque id per V ducitur perpetuo seCanS, liquet Angulos quos essiciunt intersectiones cum rectis V A, V sore ubique aequales, planis nimirum ad Axem revolutionis eodem prorsias modo se habentibus. Anguli autem in Plano V Q Angulis in v a aeqUantur 16 & 1 O. el. 11. : Hi itaque aequales erunt Angulis in Plano
BT A, aut in quovis huic Parallelo; in illo speciatim quod Sphaeram tangit in Polo Circuli B T A. Ex quo deducitur, Angulos quosvis in Super scis Sphaerica eossem manere in Projectione: quod idem ex projectione rectarum quae Sphaeram in puncto quovis contingunt, facile elicias.