장음표시 사용
121쪽
a. Quaestio ergo huc redit, Vt determinetur cuiusmodi functio ipsius x loco u substitui debeat, ut Drmula differentiali dxV-- --du V: a integrationem admittat. Facile autem perspicitur, si haec quaestio in genere considerethur , eius lutionem triuS-que brinuli integratione inniti ideoque aeque analyseos fines transgredi, atque ipsam ellipseos rectificatio nem. Cum igitur solutio generali nullo modo experictari queat, in Blutiones particulare erit inquirendum, quae uti nulla certa ratione reperiri possunt, ita etiam plurimum casu et cmiecturae erit tribuendum quo earum verum undamentum etiamsi ipsiae sint cognitae. a. primum quidem statim occurrit casus Ita a,
quo formula nostra diri rentialis in nihilum abit sed quia hinc duo Ellipseos arcus aequales et similes oriuntur , ut hic casus nimis est obvius, ita etiam quaesti ni propositae minime satis cere est censendus. Cum igitur tentaminibus totum negotium absolui debeat, sin gatur VI ceu et α ita concipiatur, ut uiuissim
fiat Vm se, sic enim habebitur M BN
ααXXuum o Vnde patet, statui debere αα metam YRita ut II Vlta , et M BN XuVn- - Const. . Etsi autem hoc modo quaestioni satisfactum idetur, tamen istae determinationes in Ellipsi locum habere nequeunt Nam cum sit cla quia z I cc
122쪽
6 OBSERVATIONES DE COMPARATIONE
erit V n XX MI nra ideoque u I, abscissa ergo C sem axem A superaret, eique propterea arcus imaginarius responderet ita ut hinc nulla conclusio conformis deduci posset. s. aentemus ergo illac formulas, sique tam
ideoque ut IV in; Hinc autem prodit B M--BN
tura rei postulat. Sumta ergo abscissa quacunque '' capiatur altera C Ium eritque summa μcuum Μ--BN nxu- Const. Ad quam consantem definiendam sit 'o xt fiat M O; eritque IIII, et arcus B abit in quadrantem MNA; unde sit -BMNA OH Const. sicque haec constans erit B MNA. Quo valore eius loco substituto habemus M BN n eu- ΒΜNA, ideoqueBΜ-AN n I I -u Xu TABN-AM . Dato ergo in quadrante elliptico C puncto quocunque assignare alemus' alterum punctum
123쪽
ctum N, ita ut differentia arcuum M AN, vel quae huic est aequalis N AM geometrice exprimi queat. Quod quo facilius praestari possit, ducamus ad Ellipsin inpuncto M normalem S, erit subnormalis S ccx, et ob PM cν x-xx ipsa normalis HS c V I- -- cc XX c V I-n XXJ', ideoque pro altero puncto abscissa erit C et u sq. CA. Vel in normalem Sproductam ex C demittatur perpendicularis R. , quae producatur in V, ut sit V CATI, serit Q e . CV. Quare ex punctos in axem Aducatur perpendicularis V , quae punctum , et producta ipsum punctum N designabit. 8. Cum sit PS ccx, erit CS x ccxtanx, ideoque R nux Hoc ergo ipsum perpendiculum C differentiam arcuum M A seu BN A exhibebit Arcuum ergo hoc modo designatorum differentia erit tarnaea quae igitur evanescit tam casu X O, quam quibus puncta me N in ipsi puncta incidunt. Maxima autem haec disserentix euadit, ii U-2. XX -I O, hoc est si ' M aj, o casu se et ambo puncta me N in unum punctum O coeunt eritque hoc casu differentia arcuum O-AOta XTI-c, ideoque ipsi semiaxium disterentiae A-C fiet aequalis ita ut sit C AH AO CBH-BO. o. Si punctum M in ipsis hoc puncto o capiatur,
124쪽
6 OBSERVATIONES DE COMPARATIO IE
hincque Sta ovo, unde variis modis situs puncti commode definiri poterit. Cum autem sit M COvnue facilis constructio deducitur sequentia ergo Theoremata subiungere visum est , quoium demonstratio exaltatis est manifesta.
Tin o. In quadrante elliptico ACB, si ad punctum
Q quodvis M ducatur tangens H ΜΚ, quae cum alter axe C ini concurrat, eaque alteri semiax C aequalis capiatur, Ut sit HK CA; tum ver per Κ axi CB parallela agatur mellipsin secans in N; arcuum Metis differentia B M A geometrice assignari O- terit demisso enim ex Centro C in t gentem p pendiculo CT, erit ista arcuum differentia B M AN 'MT. Figra et . Demonstratio e figura sponte patet, cum an gens M sit rectae illi CR parallela et aequalis, tum vero perspicuum est, esse ΜΤ CR.
Fig- , II. Si super quadrantis elliptici ACB altero semiaxem triangulum aequilaterum AE constituaxur, et in eius latere AE portio capiatur AF CB, iunctaeque F aequalis applicetur in ellipsi recta CO punctum P hanc habebit proprietatem, ut sit Ari arcu AO CB-- arcu Ο.Demonstratio e f. s. euidens est. Cum enim sit Az I AFzo et ang. AF ci γ' erit CF IV IH- -accos Goduleoque Ita C O. II m
125쪽
1 et Sit G centrusia lyperbolae MN eiusque ab I. semiaxis transuersus Ams, semia Xis coniugatus Figerit iunata abscis L quacunque CP ae, applicata M o ViXx-I eiusque differentiale tapia . Vnde
fit arcus M Ponatur breuitatis
gratia q-ccm n erit AHII Idae '. Simili erago modo si capiatur alia quae is abscissa QTAu, erit arcus ei respondens Ab bd. τοῦ Σ - 1s. His positis ista nobis proposita sit quaestio ut dato puncto M alterum N ita definiatur, ut summa arcuum M - AN, seu expressio Idae V Et -
Idu ν ά ά absolute integrationem admittat quod quidem euenire eas utata x sponte patet verum hinc nihil ad institutum nostrum concludere licet. Il. Ponamus ergo g u Vn cum hinc vicissim fiat IzxVn utrinque enim prodit
autem hac hypothesi prodit unam arcuum M AN Iudae Vn Uxdu Fn IIux Vn-- Const Haec ergo integrabilitas ut locum habeat, oportet sitis V EP is unde cum ob prodeat quoque I, ex dato punc' o M inper alterum punctum N assignari poterit. 1s. Ad constantem definiendam patet casum 'I, quo sunctum in verticem A incidit, nihil iuuare eum cinde iriatur u oo, punctumque miri infiniturn m. VI. Nov. Com. I remo-
126쪽
66 OBSERVATIONES DE COMPARATIONE
remoueatur. Quocirca Vt haec constans debit determinetur, alium casum considerari oportet potior autem non occurrit, quam is, ubi punctam et mi unum coalelciant, seu quo fit T X et X - 2n XX s. Hinc autem Oritur XX IH M is et X V eo
16. Si igitur O hoc punctum , in quo an nopunctam et coalescunt , ductaque applic a I erit
-- Const. Hinc ergo bimemus conflantem quaesitam i
127쪽
modius autem aec sequenti modo sine tangentium adminiculo expedietur: nam cum It Q T V ἡ ω i)
asymtotam perpendiculo AE erit M. N AD DE O DE T df, unde sequens Theorema conficitur.
et . Existente O hyperbola , C ita centro , Fig. a vertice, et D eius asym tota, ad quam ex axi perpendiculariter ducta sit recta D, itemque AE ad asymtotam perpendicularis ; si applicata constituatur I media proportionalis inter A et Ε, atque utrinque applicatae m et Q ita statuantur , ut inter eas sit Io media proportionanis . tum arcuum N et ora disserentia geometrice assignari poterit. Erit enim N ΟM- in VI EI. Demonstratio ex s. praec est manifesta. Cum enim punctis me N in coeuntibus sit IO. DII AD DE, erit Io media proportionalis inter A et E hacque inuenta esse portet M. N MI T. Tum vero X . 16 intelligitur esse N-OM: CP C CI CI Vn, et Ob Vm CD, erit homogenei ta
At est O , sicque constat theoremati veritas.
128쪽
Tab. II imprimis autem quod id arcus arcubus curua elesticaerg, et siunt aequales. Natura autem huius curuae ita est comparata , Ut possiti coordinati orthogonalibus CP P.M ista aequatione Xprimatur XXH n)' XXII. Vnde patet hanc curuam esse lineam quarti Crdinis aquae in C, quod tinctum eius centrum dicitur , cum axe C A angulum semirectum constituit, in A autem sumta A , axem normaliter traiicit. Figura autem quartam partem totiu lemniScatae X-hibet, cui tres reliquae parte circa centrum C aequales sunt concipiendae id quod inde liquet , quod siue abscis a X, siue applicata , siue traque, negativum ala rem ivduat, aequatio eadem manendi 1. Qito igitur ad expressionem arctis cuiusqueCII usus curui attinet, is commodissime in corda CM definitur SP enim ian cordam ponamus M a, ob XX-- et habebimus: et a XX zzz zz nde elicimus
Hinc ergo elementum arcus C colligitur
et et Si ergo corda quaecunque ex centro C edu- in Ponaturi M. . a erita arcus ab isa iubtentias
129쪽
M VIO G RVARUM IRRECTIFICABIL. 9c' An os simili ergo modo si si a quaevis
corda di dicatur u erit arcus ab ea subtensus C Ἀ- : TU cuius complementum ad totuim qua- .drantem est arcus AN. Iam Ili Comes gnani do. cuit , cuiusmodi uncti Ipsius et capi debeat pro , ut vel arcus AN aequalis fiat arcui M vel ut arcus C sit duplus amus L M, Vel etiam xt arcus Al sit viequalis duplo arcui M. O ergo castu primo X p ῆnam , deincep autem , quae mihi circa alias huiusmodi arcuum proportuom aerucre sontigit, in messium sum allaturui.
23. In curua emniscata hactenus descripta , limpplicetur corda quaecunque M a, aliaque insiper applicetur , quae sis erit arcus M aequalis arcui AN etiam arcus C aequalis arcui A M.
130쪽
o OBSERVAΠONES DE COMPIRATIONE
CN u et C A ideoque arcu CN abit in quadrantem MNA, ex quo habebitur pro hoc casseCMNA-ε-o Const. Hoc ergo Ialore substituto Pro dibit in genere arc. CN--arc. Minare. C MNAhincque arc. MII arc. AN, et arcum utrinque addendo arc. ruben arc. Ab M. Q. E. D.
st . Dato Uo quocunque arcu C in centro terminato, cuius corda est M ei ab altera parte seu vertice A abscindetur arcus aequalis AN umendo corda CN a M: Σ, seu CN CA diu Acti , 2 ogeneitatem supplendo Ter .aX
et s. Cum sit IIVEM', erit vicissis et unde cordas vi et O inter se permutare licet, ita ut si ambae cordae M et CN III ita suerint comparatae, Ut fit u zz--υu--zz IIII etiam punctam et minter se permutari queant , indeque prodeat tam arcus M arc AN, quam arc CNIII arc. A M.