장음표시 사용
141쪽
ARCUUM CVRVIRUM IRRECTIFICABIL. Ir
disserentia in coroll. exhibita tang. α - β . Similique modo si ponatur RS tang. V et L Atalag. δ
erit 7 Hyῆm tang. V ' H et tang. V in o)Commodius autem ista compositionis ratio repraesentabitur, si ponatur Corda arcus m cupli sinit, corda complementi Mi cos λCorda arcus 1 cupli 'Nsin ν corda compi S N cos. νtum enim erit
8. Ex his obseruationibus calculus integraliS non contemnenda augmenta consequitur, quidem hinc plu-TOm.VI. Nov. Com. rima-
142쪽
s L OBSERVATIONE DE COMPARATIONE
praeterquam quod asius integralis per se est ob ius, nouimus ei quoque satisfacere V N. rigenere igitur cum integrati constantem arbitrariam putam inuoluat, erit u aequali fiunctioni cuipiam , qua titatum et et C quae amm nihilomis Iu ita erit omparat , ut pro certo quodam ipsius C alore fiat a C, itemque pro alio quodam ipsius C valore, V
Duo ergo dantur valores, quae constanti huic C tributa functionem illam in expressionem algebraicam adeo sim plicem conuertunt, Simili modo proposita hac aequatione d ad τυ 1 TH 'iduos habemus valores, quos ei fati Stacere nouimoe:
143쪽
ARCI VM CVRIORVM IRRECTIFICABIL. 8a
unde via ad harum formularum integralia generalia rim enienda non parum praeparata videtur. Deinde quae supra de ellipsi et hyperbola sunt 1- lata, sequentes aequationum differentialium integrationes speciales suppeditant. Proposita enim X . , hac aequatione
nouimus ei sati,facere hanc aequationem integralem
satisfacere inuenta est haec aequatio
satisfacit quoque I - XX - nu H nuu XX mi , quae quidem cum prior ex ellipsi petita congruit cum it
Hinc autem facile concludere licet, huic aequationi latisfacere hanc integralem specialem a
146쪽
ες OBSERVATIONES DE COMPARATIONE
satisfacere hanc integralem specialem fh fh uu -- ghXXuu zo Haec igitur ideo proponenda censita quod ansam mihi praebere videntur subsidia Analyseos ulterius excolandi.
147쪽
INDET FRMINATIS QUAE NIDENTUR PLUS QUAM DET BRMINATA.
imnia problemata, quae in Analysi Diophantaea proponi solent , esse indeterminata, vel ipsi rei natura declarat; etsi enim plures eiusmodi quaestiones occurrant, quae non nisi Unicam solutionem admittunt, veluti si quaeratur cubus, qui nitate auctu faciat quadratum, cui quaestioni praeter cubum 8 alius nullus satisfacere reperitur tamen ne tale quidem quaemones ad problemata determinata referri conuenit, propterea quod methodus ea resoluendi tota e ratione problematum indeterminatorum est petita , atque castu potissimum singulari tribuendum videtur, si nica solutio tantum locum habeat. Quemadmodum etiam non desunt eius modi quaestiones, quae plane nullam solutionem admittunt, quae tamen nihilo minu quaestionibus indetermi
natis recte annumerantur ante enim quam certiores
suerimus ficti , nullam dari solutionem , id quod ope ratio ususque methodorum demum declarat, ea pro 'indeterminati omnino habere debemus, nostramque investigationem perinde adornare , ac si infinita soluti num multitudo daretur Ita si quaeri debeant tria qua . a drata, i
148쪽
86 DE PROBLEMITAE INDETERMINATIS
drata , quorum sum ima fui a septem , nemo dubitabit, quin haec quiestio indeterminiatis sit accensenda , etiamsi deinceps inuestigatione peracta impossibilitas solutionis manifesto se prodat. Quando igitur hic de problema
tibus indeterminatis tractare constitui , quae hisquam determinata videantur ne quis putet haec inuicem pugnare , fierique non posse , ut quod indeterminatum sit, idem plus quam determinatum videri queat, instituti rationem clarius Xponi oportere sentio. Ac primo
quidem nullum est dubium, quin cuilibet quaestioni Diophantaeae eiusmodi insiti per conditiones adiici queant, quibus ea non tam determinata, quam impossibilis reddatur. Veluti si quaestioni , qua duo quadrata petuntur, quorum summa sit quadratum , insuper haec Cnditio adiiciatur , ut eorundem quadratorum disserentia quoque sit quadratum , quaestio, quae primum erat maXime indeterminata , hac unica conditione adiuncta fit impossibilis, ideoque merito pro plusquam determinata ha betur. Simili modo tria quadrata quaerere in logressione arithmetica problema est indeterminatum et innumerabiles solutiones admittens, statim ero ac quatuor quadrata in arithmetica progressione requiruntur, problema non determinatur, sed prorsus fit impossibile et plus
Ex his exemplis manifestum est quaestionem indeterminatam per additionem unicae conditionis reddi posse plus quam determinatam, ideoque impossibilem.
E contrario vero dantur eiusmodi quoque quaestiones, quae iam tot conditiones continent, Vt nica noua
conditione stuper addita, pari iure ac commemoratae, Plus quam
149쪽
quam determinatae fieri debere ideantur, quibus tamen nihilo minus non una , sed IlureS, faepe conditiones adiungi possunt, ita it iis non obstantibus infinitae adhuc solutiones exhiberi queant cuiusmodi casus ex hoc pro blemate clarissime intelligetur. Quaerantur Hes numeri, is binorum productumcddito tertio sat quastatum Scilicet vocando hos re numeros , , , requir, tu ut sit et . ndr xx - Qu. λα- - Qu. Haec quaestio tentant , nisi singularia artificia adhibesntur, iam solutu tam difficilis apparebit, ut si noua conditio super adderetur, de solutione plane sit despera,
turus. Si enim ponat FH et aa, Vt habeat 2 aa- , ambae reliquae firmulae quadratum essiciendae erunt: aaX-XX - et a F- T l x
quarum priorem si ponat bb habebit quidem at hoc Valore in tertia Iilbstituto, quadratum reddi debebit haec expresso ;
quae certe iam est tam complicat omnem Volutoris ollertiam requirat, meque de nouis conditionibus insuper adimplendi sit cogitandum. Interim tamen huic quaestioni has insuper conditiones adiicere licet, Ut binorum numerorum productum cum eorundem summa quoque faciat quadratum , seu ut sit:
150쪽
s D DE PROBLEMATIB INDETERMINUS
Quis igitur non putaret, his tribus conditionibus adiectis, problema propositum iam per se satis dissicile fieripiti quam determinatum Interim tamen certum est, et hoc casu problema adhuc esse inde terminatum , atque adeo in numeris integris infinitas solutiones admittere. Quin etiam insuper hae conditiones adiici possunt, manente solutionum numero, et quidem in numeris integris, infinito 1'. ut summa productorum ex binis sit quadratum , 2'. ut eadem summa productorum ex binis una cum ipsorum numerorum summa fiat quadratum.
Nec vero nunc quidem conditionum multitudo exhausta est censenda ; nam postulari insuper potest, ut trium quaesitorum numerorum et nus, vel adeo duo, sint ipsi quadrati, et quidem integra. Quodsi autem omnes tres debeant esse quadrati, ne nunc quidem pr blema fit plus quam determinatum , sed infinitas adhuc solutiones , etsi non in numeris integris, admittit ac sortasse adhuc plures conditiones addi possent, quibus quoque uisfieri liceret. En ergo problema, quod merito cuique plus quam determinatum videri debet. Inuenire tres umesos integros , y Z, C sequentes formulae omnes fiant quadrata