Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

91쪽

essent abiturae casu IIo, ita ut curua intra datos terminos in infinitum Xcurrent quare pro V elus G- di irmulas accipi portet, ut nullo casu, vel ipsa sormula , vel eius differentialia in infinitum abeant . Sit ergo

hincque Frin constructi an curuarum sequentes obtinebuntur ormulae

omnes hae curua etiam diametro normaliter insistent, atquc si sit 'i, earum applicatae maXimae in centrum circuli cadent, quia posito sit applicata autem maXima erit Ta-l-c, atque ad tramque partem curua erunt sibi similes. Hae ergo curuae prae ceteris notatu dignae e his Ormulis construentur:

92쪽

Hinc porro intelligitur capi debere coa, si enim

esset D a tum sumto p Valde paruo, arcuso Iodiret negativus, arcusque idcirco alicubi negativos valore minciscerentur, contra naturam quaestionis. Perspicuum enim est, si applicata media et maxima a --e certum terminum transgrediatur, fieri plane non posse, Ut curva no tractu procedens semicircumserentiae circuli esset aequalis. ro o interim quantitates infinitae, tam amrmativae, quam negativae, accipi possunt, dummodo satis sint paruae et quidem minores quam a.

93쪽

IN TE RATIONEA VATIONIS DIFFERENTIALIS.

Auctore

q. I. Cum primum occasione inuentionum Ill. Comitis Fagnani hanc aequationem essem contemplatuS, eiusmodi quidem relationem algebraicam inter variabiles et elicui, quae huic aequationi satisfaceret; sed ea relatio non pro aequatione integrali completa haberi poterat, propterea quod non complecteretur quantitatem constantem arbitrariam, cuiusmodi semper in calculum per integrationem introduci solet. Hinc enim, uti satis notum est, integralia incompleta et particula xia distingui solent, quorum illa totam im aequationum dinerentialium exhauriunt, haec vero tantum ita fatisfaciunt, ut aliae insuper expressiones aeque satisfacere queant. Criterium autem aequationis integralis comple tae in hoc consistit, quod ea quantitatem constantem inuoluere debeat, quae in aequatione dii serentiali non apparet.

Ela f. a.

94쪽

s 3 DE INTEGRITIONE

f. a. Quae quo clarius perspiciantur, sussiciet, aequationem itferentialem implieitimam XITIO considerasse , cui lique Latisfacit haec integralis T , in rem tamen haec integralis minus late patet, quam dis-rentialis X cum huic aeque satisficiat haec integralis T a mulio latius patens, sumendo pro

quantitatem constantem quamcunque , atque haec demum integralis totam vim aequationi differentialis dX eXhaurire censetur, ex quo etiam aequatio

integralis completa appellatur propterea quod in ea inest quantitas constans a quae in aequatione disserentiali non Occurrit. Quod si vero loco istius constantis indefinitae a valores determinati sibili tuantur, ex in te grati completo obtinentur integralia particularia quae ob hanc plari rationem minus late patent, quam aequa tio differentialis proposita. f. 3. Saepe numero autem aequationis differentialis integrale particulare algebraicum exhiberi potest, cum tamen integrale completum sit transcendens hoc scilicet euenit, si par transcendens per constantem illum arbitrariam fuerit multiplicata, quae propterea, constante illa nihilo aequali posita , e calculo evanescit, et integrale algebraicum particulare relinquit. Ita huic aequationi dx-- a d manifestum est, satisfacere alorem I X, quo tamen tantum integrale particulare continetur, cum completum sit T XH-ce denotante e numerum, cuius logarithrrus est, 1. Nili igitur constans arbitraria a evanescens ponatur, integrale semper erit transcendenS. g. .

95쪽

A VATIONIS DIFFER EXTIALIS os

f. . Cum igitur euenire queat, Vt aequatio differentialis integrale particulare algebraicum admittat, etiamsi integrale completum sit transcendens, ita etiam ratione dubitandi non essent, quod integrale completum aequationis disseientiali propositae db , ,

quantitate transcendente inuoluat , etiamsi pro ea integrale particulate algebraicum exhibere licuerit. Cum enim integrale completum sit: mi f. 'l' haec autem integralia nullo modo, neque circuli, neque hyperbolae, quadratulam in subsidium vocando, assignari queant, minime probabile Videtur, istas Ormulas tantopere transcendentes in genere , ita ut constans C maneat indeterminata, ad relationem algebraicam intexa et a reuocari posse g. . Notum quidem est, integrale completum

huius aequationis differentialis Uz mi semper

algebraice Ahiberi posse , dummodo proportio coefficientium m et v suerit rationalis 'sed quia utrius ueformulae integrale arcum circuli indicat, ita ut integrale completum sit Asin. X Tn Asim. ν C, relatio autem sinuum , Ut ad arcu proportionem rationalem inter tenente spectant , algebraice exprimi potest , mirum non est, aequationem integralem completam his casibus quoque algebraice X hiberi posse. Cum autem hujusmodi comparatio in sormulis transcendentibus f ip j et I T locum non habeat, seu saltem Ou constet ν

98쪽

o DE INTEGRATIONE

stet, inde reducti, integralis ad quantitates algebraicas peti non poterit. f. 6. mihilo tamen minus obseruaui, si proposita suerit huiusmodi aequatio disserentialis

etiam integrale completum , quod scilicet quantitatem constantem arbitrariam inuoluat, semper algebraiae X- primi posse, dummodo ratio Q n uerit rationalis: quod mihi quidem eo magis notatu dignum idetur, quod nulla certa methodo ad hoc integrale sum perductus, sed id potius tentando, vel diuinando, elicui. Vnde nullum est dubium , quin methodi s directa, ad idem hoc integrale perducens, fines analyseo non mediocriter sit amplificaturari cuius propterea inuestigatio Analystis omni studio commendanda videtur. f. . Completum autem integrale aequationis istius differentialis, quaecunque fuerit ratio rationaliscoessicientium m et , derivare mihi licuit e integra tione completa huius aequationis 'O o nacenim concessa methodum certam indicabo, e ea quoque integrale completum huius aequationis multo latius patentis conci cen si . Quae methΟ-dus etiam in genere ad huiusmodi aequationum X dae ρη go integralia inuenienda adhiberi queat, si modo integrale completum huius dX Td fuerit erutum,

atque talem significet functionem ipsius , qualis est ipsius X.

f. 3.

99쪽

f. 8. Exordiar igitur ab hac aequatione

cui quidem primo intuitu satiSfacere perspicuum est aequationem XIIT , quae propterea eius est integrale particulare. Tum vero idem aequationi quoque satis. fuit iste valor algebraicus VII cum enim

s D v i Dii μ=ks et V -- -, erit mi III s. Hinc iste etiam Valor, seu aequatio XX y - XX- )-IIIIIo est integralis particulari aequationi differentialis propositae. Vnde integrale completum, quod constantem arbitrariam inuoluat, ita comparatum sit necesse est, ut tribuendo huic constanti certum quendam Valorem, prodeat XII ; sin au tem eidem constanti alius quidem valor tribuatur, Ut prodeat x zzz seu a y -- xx VJ III o.

Theorema.

f. Dico igitur huius aequationis dii serentialis

Demonstratio.

100쪽

a DE INTEGRATIONE

f. 1, Si igitur habeatur haec aequatio m. iis integralis completus ipsius X est

nde si constan arbitraria o evanescat fit sinantem ponatur c 1 habemus V ab qui sunt ambo illi alores parciculare, iam Iupra Xhibiti.