Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

181쪽

IN GRADUM PER FACTORES. ras

z. Cum igitur liae tres sermulae e.

sto et ' ea abeat a tertiam negative sumtam, , manifestum est quoties In harum fuerit absolute integrabilis toties reo binas' reliquas ore absolutes integrabiles. .

. Prima autem absolute est integrabilis, uti per se est perspicuum , si sitis numerus integer assii mali-xus quicunque numerus pro m statuatur. EXcipiuntur tamen casius, quibus in aequatur cuipiam numero huius progressionis: n an . In his enim casibus pars integralis pendebit a togarithmis. Casus ergo hi excipiendi huc redeunt', ut integratio absoluta succedat, existente Unumero integro assirmativo, nisi sit numerus integer assirmativus, Vel minor, quam k vel ipsi h aequalis. Vel nisi h -- sit numerus integer assirmativus non maior quam . Coroll.

182쪽

s. Simili modo forma secunda erit integrabilis

uerit numerus integer assirmatiuUS , puta asius autem excipiuntur, quibus 4 pariter est numerus integer assirmativus non maior quam . Vel denotet es numerum quemcunque stirmativum inte grum ex hac serie O, , , Π casus Scipiuntur quibus lia.

G. Tertia autem sormula absolute erit integrabilis, si uerit numerus integer assirmativus, puta in

e cipiuntur autem casus, quibus h-T ae denotante numerum quemcunque integrum assirinatiuum, non maiorem, Quam .

' 7. Hi ergo notatis sormula D 'dae 1 α' absolute erit integrabilis, casibus sequentibus, in ubbus i numerum amrinatiuum integrum quemcunqtae denotat, ae autem quemlibet numerum integrum affirma tiuum ipso i non maiorem. I. Si se nni neque tamen Q - a. II. neque tamen, Tae vel-k-I III. Si i neque tamen h- M.

8. Manis stum autem est, hos eosdem integrabilitatis casus locum esse habituros in Ormula hac huius

paten

183쪽

I TEGRALIUM PER FACTORES. ast I

patente χ' 'dae a--bX pro quo demonstratio pari modo adornatur. Atque ex his tribus conditionibus casus integrabilitatis Omnium huiusmodi firmularum diiudicari lent. Quanquam haec ad reum institutum non pertinent, tamen quia tam facile ex binis Theorematibus praemissis fluunt, non incongruum est visum, ea his adiicere. Nunc igitur ad erum fundamentum dicendorumpi Ogredior, quod reductione integralium ad alias sol mas nititur. Quam quo distinctius exponam , hanc formam algebraicam contemplor ιμί -XPzzzP, qua differentiata obtineo

quae adhuc alii modis in duo membra dispesci potest, veluti r

184쪽

dens est posito x x , et hoc casu fieri unde sequentia elicimus Theoremata:

Theorema S.

Demonstratio.

Cum enim post integrationem ponatur X a pro hoc casu in superioribus sormulis fit indeque aperte sequuntur aequationes hic propositae

Q. E. D.

IO. Harum trium aequationum quaelibet iam in duabus reliquis continetur, unde eae in hac forma comprehendentur: DI et x 'sx ris ' seu sequentes tres firmulae integrales inter se aequabuntur: si quidem suerint numeri positivi.

185쪽

litas labebitur inter Iec sequentes dormulac integra

dummodo Xponentes suerint affirmativi.

is. Pari modo si V uerit numerus infinitus, erit sag Idae 1-x 'dae x x '' eodemque modo erit sae 'dae i-χ' sa y I-x Vnde generatim colligitur bre sae ' dae I xym fae ''dae 1 - χ') squidem . sit numerus finitus existente V infinito.

Problema I.

14. Si m et si sint numeri positivi, atque

denotet numerum integrum amrmativum quelmcunque definire rationem formulae se 'dae ν α' ad soria mulam sc 'dae I ab se casu V a.

186쪽

si nunc ananente i tam ponatur Vm h - , erit multo migis numerus assirmativus, cum si sit talis idemque pari modo habebitur Iae ' dae x xyy IIT , x dx x h-- ac pari modo progrediendo erat

Ilinc ergo ingenere concluditur sore, denotante i numerum integrum quemcunque

Q. E. I.

16. Si hic ponatur sin μ Pet ae seu Tτην ita Vt iam . et e sui numeri affirmativi, habebitur haec reductio:

187쪽

a TEGRATIUM PER FACTORES. Ias

scripti autes pro tu et x litteris, et , erit:

in quibus faetoribus tam numeratores quam denomina tores in arithmetica progressione progrediuntur , cuius differentia est απ.

18 alorem formulae fae '' et I x' 'r' uelit accipit casu X I, per ictores infinitos eXprimere is quidem exponentes metra sint positivi

x a 'r' hi 4n--i ires an u auiam manente i eodem numero infinito loco risius sumatur numerus uitu quieuit 'es et habebitur senili modo

188쪽

Aliter.

Tractetur simili modo serna β. 16 inuenta, statuendo i numerum infinitum , eritque:

Iam posito Ir alio mumero finito Qx erit Iari modo Dy Idae I x )' i'--h μ-hn -n Lllari an λ -hnq- nsaei H dae 1 ae' - - si lxH-n 1-- an F. - an Cum autem sit ob i numerum infinitum evane sicentibus quantitatibus finitis prae infinitis et quia utrinque idem factorum numerus habetur, formam priΟ- rem per posteriorem diuidendo orietur:

189쪽

INTEGRALIVM PER FACTORES. et a

statuatur iam 1 tan, et Jay dx I-χ' - α --- integratione ita peracta , Ut evanescat posito ' o. O- sit nunc Arar, iste alor abit in ei, unde obtuenebitur:

En ergo aliud productum ex infinitis factoribus con stans, priori non admodum dissimile, eique adeo aequale, quo alor quaesitus sermulae integralis propositae exprimitur. Q. E. I

19. Has autem duas bimas in infinitum ocurentes inter se esse aequales, per sic perspicuum est poste riori enim per priorem diuisia, ob singulorum membro Tum numeratore aequales, prodit:

sit duo factores primi dant Qq tres V qua

Oua et infiniti dant in m 1 .

xo. Huiusmodi firmae factorum infinitorum innumerabiles sormari possunt, quarum ala - 1. Cum enim sit

190쪽

multiplicando has duas brina habebimus

2I. Si ergo valor sormulae integralis inuentu8 per hanc eXpressionem rari multiplicetur, prodibit X- pressio latius patens eidem aequalis, scilicet:

Vbi pro , q,r, numero quoscunque assumere licet. Pluribus modis ergo ita accipi possunt, ut quilibet factora formam simpliciorem rediSatur.

quae esst X pressio primum inuenta. Sin autem it