Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

211쪽

fg. Est vero etiam per Theorema primum

et erit

y . si et reliquae Ormulae per Theorema aclismum conuertantur, prodibit

212쪽

et quia pro eosnu licetis negative se re erit quoque

213쪽

ss. At vero etiam ex praeced. problerrate aliam firmulam pro Osinu licet elicere: Cum enimῖροὶ an pro re sit

56 En ergo plures sormas integrales, quae inany praebent siti. π

214쪽

ubi notandum est, iri formis III et IV , item in V et

VI , seorsim numeratores et cinominatores inter secta aequales.

s . simili modo totidem habebimus Ormulas Progos' et quae sunt:

215쪽

s8. inc ero etiam plures formula pro tangente anguli P et deducere licet, quarum quae sunt simpliciores, hic exhibebo.

Deinde vero ex combinatione harum brmularum in-sgnes proprietates innotestent, Veluti sim q. et zz I, erit

216쪽

is D EXPRESSIONE INTEGRIUVA D.

eruendis hic non imminor.

217쪽

DIOPHANTAEORVM QUAE VULGO NON NISI SOLUTIONE, SPECIALES ADMITTERE VIDENTUR.

Auctore

Analysis Diophantaea quae in problematibus indeterminatis per numeros rationales vel etiam integros soluendis versatur, duplicis generis problemata tractare solet; quorum discrimen in ratione solutionis maxime est positum. Alia enim problemata ita sunt comparata, It solutiones generales exhiberi queant quae Omnes plane numero satisfacientes in se complectuntur alia vero nonnisi solutiones particulares admi tunt, et saltem per methodos cognitas nonnisi tales solutiones eruere licet, ita ut praeter numeros, qui sorte reperiuntur , infiniti alii problemati satisfacientes existant , qui in solutione inuenta non contineantur. Vbi quidem in genere notari conuenit, prioris ordinis problemata multo facilius reislui, quam ea, quae ad alterum ordinem referuntur, quippe quae plerumque singularem sagacitatem cum eximiis artificiis coniunctam requirunt,

in quibus maxima vis huius Analysis cernitur Quare a ob

218쪽

o, hanc causam Troblemata Diophantae in has duas elasses distribui debere videntur. a. Diophantus quidem ipse omnium quaestionum,

quas tractat , solutione tantum speciali inmas tradit, numeroSque , quibus nica solutio continetur, plerumque indicasse est contentus. Neque ero eius methodus ad bas solutiones specialistimas adstricta est putandari quia enim tunc temporis Vsia litterarum , quibus numeri indefiniti designentur . nondum erat receptus, huiuSmodi solutione latius patentes , quales nunc quidem exhiberi solent ab ipso expcctari non poterant interim tamen ipsae methodi , iij bus ad qui elibet problemata soluenda Utur , aeque a te patent, . quam ea , quae hodie sunt in s : quin etiam fateri cogimur vix ullam in hoc analyseo genere adhuc esse inuentam , cuius vestigia fatis luculenta non iam in ipso Dioplaanto deprehendan tur. Non obstante gixti hac appJrente particularitate solutionum jophantaearum , disparitas problematum supra memoratu, in ipso iam Diophanto manifesto cernitur, siquidem ad methodos eiu respiciamus : quarum aliae ita sunt comparatae, ut Omne omnino solutioneS, iquae problemati satisfacere possunt, suppeditare queant, aliae vero nonnullas tantum Olbitiones praebeant, et etiamsi earum numerus in infinitum augeri possit, tamen in iis innumerabile aliae , quae aeque satisfaciunt, non

contineantur.3. Xemplum problematis, cuius Blutio generas, exhiberi potest , praebet quaestio Vulgqta , qua quaeruntur duo numeri quadrati, quorum summa i sit quadratum

219쪽

tum siue sumtis x et a pro radicibus istorum quadra torum , ut XX - sit numerus quadratu8. Sumtis enim pro lubitu tribus numeris , et , haec habebitur blutio generalis: F zapq, et X Ea pD qq), ex his namque valoribus prodit V XX a )ma π4 qq). De qua solutione tenendum est, nullo plane dari numeros pro X et 3 substituendo , quorum quadratoruim summa fiat quadratum , qui non simul in brmulis dati contineantur. Atque haec generalitas non solusninde perspicitur, quod pro tribu litteris G, p, et nu mero quotcunque accipere liceat, unde iam infinities infinita solutionum multitudo obtinetur; sed etiam ipsi harum bratularum inuestigatio uincit, nullam plane dari solutionem , quae non in iis comprehendatur. At vero hoc posterius criterium longe certius est priori cum saepe multae litterae indefinitae in solutionem ingredi queant, neque tamen Olutio propterea reddatius generalis. . Inuestigationis autem ratio in hoc Xemplo nobis solutionis uniuersialitatem plane osteudit cum enim V xx H F debeat esse numerus rationalis, i certe erit maior quam x statuatur ergo IT X--Σ. Tum Ver quaecunque sit ratio ipsius a ad , poni poterit x TI, neque hoc modo generalitas positionis limitatur. Posito autem V XXH- x - sumti quadratis habebimus: TH in XX---χF- - De leto trinque termino XX, ac residuo per a diuisori

220쪽

Erit ergo hincque x et sunt vel aeque multipla, vel aeque submultipla numerorum p-q et apq. Stai ta ergo a pro indice generali siue multuplorum, siue submultiplorum nanciscemur

s. Problematis autem , cuius soluti per methodos cognitas generalis exhiberi nequit , exemplum esto quaestio de inueniendis tribus ubi quorum summa sit cubus siue quaerendi sint tres numeri , et et ita, ut sit a zz cubo. Quod problema cum ab ipso Diophanto, tum a recentioribus, pluribus modis eXtat solutum , atque ita quidem, ut infinita multitudo solutionum sit exhibitari neque tamen ulla solutio tam late palet, Vt omnes plane casus huic quaestioni sati facientes in se complectatur. In hoc problemate etiam vel unus cubus ' Vel duo χ' - ' tanquam dati spectari possunt, unde vel duos reliquos cubos, vel ni- cum quaeri oportet, Vt summa at cubus quomodocunque autem solutio instituatur , tamen minae paribcularis euadit. 6. Quod quo clarius perspiciatur, solutiones dari solitas hic breuiter commemoremus. Sint igitur primo dati duo cub a' et ' tertiumque x inueniri oporteat, Vt omnium trium sunma a --b H ae denuo fiat cubus Manifestum iam quidem est, radicem huius cubi maiorem fore quam , sed etiamsi statuatur TX- ω, tamen raequatio quadratica Troiinueniendo prodit,

sicque