장음표시 사용
241쪽
a 8. En ergo solutionem generalem problematis, quo quaeruntur quatuor numeri rationales A, B, C, D, ita vi sit A H B C 2LD , seu quod eodem redit, quo quaeruntUr quatuor numeri rationales, , , et , ut sit p pp--3qq Ssss-- arr). Quae oblemata cum methodis solitis non nisi particulariter resolui queant, manifestum est, has methodo solitas adhuc insigni defectu laborare, ideoque notabilem adhuc persectionem desiderare. Tum ero, quod hic de viaico problemate ostendimus, nullum est dubium , quin id in infinitis aliis pari successu praestari possit. In genere quidem patet , simili modo huiusmodi aequationem p wpp--nqq ps mss--nrr , et etiam hanc latius patentem αp--βρ- - Vr- δό-- ppH-nqq ap--bq-- r--dΙ-- mrr--ns S rationaliter generalissime resolui post ' ponendo uae H g h,-- F απι --gx oram υ- hae
29. Non immerito igitur suspicari licet, et
aliorum problematum Diophantaeorum , quorum adhuc non nisi solutione particulares sunt repertae, blutiones quoque generales dari, neque discrimen supra memora
242쪽
turn ex solationum generalitate et particularitate petiturneis essent tale unde patet quanta ad latues incrementa a
Analysi Diophantaei desiderentur Ad quae si unquam
penetrare consigerit , mullum est dubium quii inde uniuerta Anabsis, tam finitorum, quam infinitorum, haud contemnenda Iubsidia sit acceptura Cum enim in calculo integrali praecipuum artificium in loci versetur, ut rnulae disserentiales irrationales in rationale tranS- formentur laoc artificium ipsium, uti ex Analysii Di phantaec in hunc calculum est translatum . ita retiaruindidem maiora iuXilia merito Xpectantur ex quo studium, quod in ista innalysi, utcunques sterilis alias, in se spectata videatur amplificanda impenditur, ne liquam inutiliter collocari est censendum aD. Hic porro alia conditio non minii attentione digna notari meretur, quod saepius in Analysi Diophantae ei modi problemata occurrunt, quae per methodos consecta solutionem generalem admittere Vibdentur, cum almen haec solutio tantum sit particularis; quibus casibus peculiaria artificia adhiberi debent, ut resti ictio, qua methodia consueta est limitata , tollatur. Veluti si duo cubi in numeris integris quaerantUr, Uorum summa sit numerus, quadratus solutio nullo modo restricta obtineri videtur , si ista aequatio X - Τ et zita resoluatur, Ut ponatur X N et Fiet enim
243쪽
ar. Etsi autem ista solutio generali xidetur tamen nulli alii numeri pro inueniuntur , nisi qui communem habent factorem J--q , ita ut ingconcludendum videatur, nullos dari inimeros inter se primos, qui, pro x et a substituti, quaestioni satisfaciant . Interim, tamen Casu, quo et 3 et perspicuum est, lare Α- I9II quadrato. Tametsi autem hic casus ex Drmulis nostris derivari potest , ponendo ita 1 qta et, et Vnde lique prodit oz et I9 et tamen ut hinc alii huius generis casius eliciantur, necesse est, ut pro meis eiusmodi numeri accipiantur, quorum cuboruta summa sit quadratum, ut Tys, Ut deincep&poni possit Iz: unde prodibit XIII et FATq: quo pacto id ipsum , quod hic quaeritur, iam tanqUam Ο gnitum postulatur, ut scilicet duo cubi assignari quean quorum summa sit quadratum. Quemadmodum ergo huic incommodo sit occurrendum , in sequenti proble
2. Inuenire duos numeros integros inter se pes mos , quorum cubi additi faciant quadratum.
sint x et F numeri quaesiiti, ita ut esse debeat x - δα quadrato. Debet ergo X- )ίXx - - quadratum. At de his duobus fictoribus annoto eos esse e primo inter se , vel ternariunt pro Ommuni mensura admittere nil solutio et bipartita , .
244쪽
245쪽
ubi quidem secunda forma in tertia, quae cUm quarta conuenit, contenta deprehenditur, ita V secunda, uti magi complicata, mitti possit. .
a 3 si hae firmulae, pro X et Linuentae, Ier
numerum 'quadratum quemcunque multipliceatur, reae quaesito aeque satisfacient , ita scilicet summa cuborum 'esue fiat numerui quadratuS, Inde numeri quotcun-lle non primi inter se obtinebuntur simili. autem modo
246쪽
modo si hae formulae communem rubuerint diuisorem quadratum , per cum diuisae quaesito perinde satisfacient, unde numeri inter se primi pro X et I inueniuntur, quales hic proprie quieruntur. Gemina erSouro hoc negotio habebimus forinulas r
s . Euidens est, dari infinitos casius, quibu altera harum Ormularum rccipit alorem negatiuum quod in prioribus euenit, si et, sit negativum, velis vel contineatur intra limites m et ames in O1terioribu autem, si vel R it maius, quam 3 1H- Wa), et E minus, quam 3 V2-I). Hi ergo casibu duo eperiuntur ubi, quorum disterentia est Odratum.
247쪽
Inter tot insignes numerorum proprietates, quae adhuc
sunt inuentae ac demonstratae , nullum est dubium, quin pleraeque primum ab inuentoribus tantum sunt obseruatae et in multiplici numerorum tractatione animaduersiae , antequam de iis demonstrandis cogitauerint. Ita de eo numerorum primorum ordine , qui unitate superant multiplum quaternarii, cuiuSmodi sunt , II, II, 29, 3 I, etc. ante sine dubio est obseruatum, eorum singulos in duo quadrata secari posse , quam iue elaboratum, Vt huius obsieruationis veritas per solidam demonstrationem euinceretur. Quod deinde quilibet numerus in quatuor Vel pauciora quadrata distribui possit. Diophanto iam notum fuisse videtur, nemo autem ante Fermatium est professus, se huius veritatis demonstrationem habere, quam autem nusquam publice edidit, ita ut mea demonstratio, quam ante aliquod tempus concinnavi, pro prima, quae quidem publice tuerit proposita sit habenda. Interim tamen fateri cogor, em strationem Fermatianam, etiamsi mihi nihil omnino de principiis, quibus innitebatur, suspicari licuerit, mea multo suisse perflectiorem, ac longe latius patuisse, Tom. VI. Nov. Com. Aa sleue-
248쪽
Anuerat enim Fermatius , se ex eodem sonte aliorum quoque Theorematum demonstratione hausisse, cuius generis luat, quod omni numerus integer iit sumnas
trium pauciorumve numerorum trigonallum item quod Omilis iumerus integer sit summa quinque vel pauciorum numerorum pentagonalium ; item se pauciorum aenuinerosum eXagonplium, et ita porro de reliqui numeris polygonalibus in infinitum. Ego ero etiamsi resolutionem cuiusque numeri in quatuor paucioraue qua drata demonstraui tamen omnem adhuc Operam issistis . reliquis theolematibus demonstrandis inutiliter o sum si, neque ullo modo etiam nunc saltem resolutionern in re paucioresue tragonales ostendere potui etiamst ea simplicior videatur quam resolutio in quatuor mi cioraue quadrata Verum et has eximia numerorum proprietates Fermatius multo ante per inductionem cori clusisse res putandus, quam eas demoultrare didrcerit. Ex quibus merito colligimus, in numerorum indole scrutanda obseruationi et indus ioni, cui omnes has eleg in tissimas proprietates acceptas referre debemu8, plurimusnesse tribuendum ideoque ne nunc quidem ab hoc σ-gotio ulterius prosequendo esse desistendum. Hoc enim modo pertingimus ad huiusmodi proprietatum cognitio
ner , quae ulla nobis perpetuo ignotae mansissent actum demum occasionem nanciscimur ad mlertigationem demonstrationum vires i nostras ' intendendI veritates
namque pleraeque huius generis cita sunt comparatae prius agnosci debeant . quam demonstrari iussint. Quam ui autem huiusmodi proprietas per assiduam ob seruationem uerit animaduersa , quae per se menti non parum
249쪽
parum est iucunda tamen nisi demonstratio solida accesserit, de eius veritate non satis certi esse possumus; eXempla enim non essent, quibus sola inductio in e rorem praecipitauerit. Tum vero ipsi demonstratio non solum omnia dubia tollit, sed ethim naturae numerorum penetralia non mediocriter recludit, nostram. que numerorum cognitionem continuo magis promouet,
cuius certe doctrinae perfectione adhuc longissime sumus remoti . Verum si cui haec sorte non magni momenti esse videantur, quod vix Vnquam ullum in Mathesi applicata sitam habitura putentur siu quem inde in ratiocinando adipiscimur, certe non est contem nendus. Sunt enim plerumque huius generis veritates ita reconditae , Ut earum demonstrimones tam incredibilem circumspectionem, quam e miam ingenii vim requirant. Quare cum Vulgo ad ratiocinii facultatem comparandam demonstrationes geometricae commendari soleant, quippe quae regularum rationandi sum maxime contineant, nescio an non ad hunc scopum demonstrationes arithmeticae multo magi sint accommodatae: in his enim multo maiori cura est cauendum ne a praescriptis Ogicorum reguli aberremu8, usoniam plerumque nimis est disticile, in errorem non prolabi. Deinde vero huius generis demonstratjones arjthmeticae, multo maiorem sollertiam et figacitatem ingenii postulant, quam geometricae: Vnde qui in his fieri exercitatus, longe facilius errorem in ratiocinando su edoctus euitabit, sibique promtum ratiocinii sitam multo certius comparabit. Atque Ob haec tam insignia commoda, perlustrationes naturae numerorum minime relinquendae iden-
250쪽
1s SPECwE DE USU OBSERVATIONI M.
videntur, in quibus ne inutiliter versemur, ab Obseruationibus erit exordiendum, hincque ad demonstrationem proprietatum obsieruatarum progrediendum. Huiusmodi operationem iam ante aliquot anno confeci in contemplatione diuisiorum cuiusque numeri , qui est summa
duorum quadratorum, nunc igitur, ut iam ad alia numerorum proprietates cognoscenda sternam, contemplaturus sium numeros , qui ex quadrato et duplo quadrati sunt compositi , quales in hac forma generali Iaa--b sunt content , atque in diuisores horum numerorum sum inquisiturus. At hic quidem statii nnotari conuenit , radices horum duorum quadratorum numeros inter se primos esse oportere , alioquin enim quilibet numerus posset esse diuisio , quadratum scilicet numeri , qui ore radicum communis diuisor quam ob rem numeros a et , ex quibuS Orma et aa H bbcomponitur, inter se primo statuam.
in hac forma et aa--b contentOS. Exponantur primo numeri in Orma --b contenti tum numeri huius formae H bb, Xclusiis numeris paribus pro b substituendis tertio numeri Orma 18--M, sumendo pro b numeros per 3 non diuisibiles quarto numeros formae 32--bb, sumendo pro b numeros pera non diuisibiles, et ita porro. Sicque obtinebuntur se