장음표시 사용
271쪽
a . Proposito porro numero quocunque P, si inter numero firmae et aa--bb, minores quam IPP, missus datur per P diuisibilis, tum etiam plane milluseristet numerus formae et aaH-b per P diuisibilis.
as si numerus primus in forma ea a H b, mon contentus fuerit diuisior cuiusquam numeri liuius formae , neque radice seorsiim per eum sint diuisibiles, tum alius quoque numeriis primuS, priore minor, et in Jhac forma non contentus, exhiberi poterit, qui etiam futurus sit diuisis cuiuspiam numeri eiusdem formae , neque tamen singulae radice per eum sint diuisibileL
Demonstrandum ergo est, si uerit innerus primus diuisor cuiuspiam numeri A et aa H bb, ita ut neque a neque per 's sit diuisibile, tum quoque dari alium numerum primum B Q N , qui quo que futurus sit diuim numeri cuiuspiam III ac ΦΨd. ita Vt neque , neque , per illum sit diuisibile. De monstrauimus autem, eXhiberi posse numerum AKlN A Vnde si ponatur quotus 6; Q, erit αἰ ἱli , ideoque multo magis QR . At per . I. vel hic ipsi quotus Q erit numerius primus T , vel saltem diuiserem habebit primum Ermae V. Sit igitur vel ipse quotus , vel eius diuisor Sue , qui certe mul-TOm. VI. Nov. Com. Dd to
272쪽
e1 SPECIMEN DE SI OBSERVATION N
io minor erit quam 's . Quare cum quotus Q sit diuisor numeri A , etiam h erit eius diuisor Mani. sestum autem est, hunc quotum eiusue diuisb- rem que unitatem esse non posse , cum nitas non solum sit in ima et aa--b contenta, sed etiam in demonstratione Th. . excludatur Q. E. D.
36. si ergo numeri cuiuspiam A aca --bbdiuiso esset numerus primus i in ista firma non contentuS, neque per eum seorsim fuerit diuisibile, tum alius quoque numerus primus illo minor ue existeret diuitor numeri cuiuspiam zzzcc--dd.
a . Cum autem A ita capi possit, ut sit Arit 'Pae, ita etiam pro altero numer m inue. niri poterit numerus B claue io per ea, quae in
as si numerus Azzzzaa--b fuerit diuisibilisper numerum primum N , neque per eum sint diuisibiles, numeri a tra pro primis inter se assumi poterunt: si enim haberent communem factorem, eo sublato nihilominus praeberent numerum 2 aa- -bbper a diuisibilem.
273쪽
a v. At si numerus meta a M, Xistentibus inter se primis, diuisorem habeat s tum etiam numerus Ita et co--d minor quam V A exhiberi poterit per i diuisibilis , ita ut o et u sint inter se primi. ossit enim tam aeri et btanae 'duet , numeri certe non erunt per is diuisibiles, ac si quem alium habeant communem factorem, putae III h et data hq etiam app--ρ per i erit divisibilis, cxistentibus p et Cinter se primis : hocque casu multo magis app--ρ minus erit quam e S .
o. Cum igitur existente Azz aa--b diis visibili per 's', et radicibus a et b inter se primis, exhiberi possit numerus III et co--d minor quam isti P ita ut sint numeri inter se primi, qui sit quoque per is diuisibilis, erit, ut vidimus, hic idem numerus B quoque per alium . numerum primum
I. Atque cum III et ce--dd, existentibns cetra numeris inter se primis, iam sit diuisibilis per numerum primum di minorem quam is , inde nouus numerus zzzz ee--Π per ει quoque diuisibilis in- eniri poterit, ita ut e et stant numeri primi inter
274쪽
2. Nullus datur numenis Ormae ca-μb eXittentibus a et i numeri inter se primis , qui diuisi illis sit per Illurn muneruin primum in ista formae
Fingamus enim, per numerum primurn A dtiir. sibilem esse numerurn A n et aa--bb , atque a et esse numero inter se primos: idque nrannerus , si non minor ierit tiam S 'P, iis minorem ilian, or mari poterit. Habebit autem tum hic numerus alium diuisorem primum in brma et aa -b nor
contentum, qui sit προ eritque lli , ad sit fuerit A , et 'ue reperietur nouus numerus B Izo in diuisibilis per 2 , ita ut o et d sint numeri inter primi OB F. Iam simili modo, cum habeat
diutiorem 25 . alium praeterea libebit diuisbrem eius dem indolis C Q. ζ' , hincque porcio nouus numerus C et Nee seu per C divisibilis reperietur , ut sit
in E T , et e et i numeri primi inter
se. Hoc Tu do procedendo tintinuo minores numeri firmae a alis obtinerentur, qui diuisibiles ossent per numeros in serna et aa- b non contentos: Quare cum in minoribus numeri se ae zaa-bb, siquidema sint primi inter o, nullus occurrat, qui habeat diuisbrem in brina ista non contentum, ne vi maXimis quidem huiusmodi numeri existunt , pque idcirco aullus plane datur numerus Ormae et aa -bb, qui sic
275쪽
diuisibilis se Illum numerum in ea Orma non contentum, siquidem a et bim primi inter se Q. E. D.
3. Iam ergo uicta est vetitas obseruationis qUintae , qua animad Uertimus, numerum ciuemcunque formae cari bb, siquidem sint iii mei primi inter se, nullo alios habere diuisiores primos, nisi qui sint eiu5dem sermae.
q. Omnis ergo numerus Ormae Eaa--bb siquidem a et is sint primi inter se , vel pio est primus , es est Productum ex duobus pluribusue mirareris primis , qui omnes in forma aa- -b con: inea iam Huius nodi itaque numerus allos alios ada uti diuisorUS, nisi qui in eiusdem formae acri bb.
s. Nullus ergo numerus primus In formasta al-b non contentus, cui modi sunt , 7, 23, 23, 9, 3, 3 , I, 3, etc. Vnquam diuisor, vel factor, esse poterit ullius numeri formae et aa- bb, siquide na sint numeri primi inter se. Neque vero hac restrictione , quod numeri a tis inter se primi esse debeant , est opus, dummodo Vterque non sit per iulum numerum primum diuisibilis. Si enim a et communem habeant diuisbrem , per illum numerum prirnum non diuisibilem, tra: a Ttan et se H tum quia op4-d non est diuisibilis, neque etiam n n za -dd, sin et aa- bb, per illum erit diuisibilis
276쪽
6. Notetur probe vis huius demonstrationis quae omnino est singularis, et in hoc consistit, quod in minoribus numeris nullus reperiatur numeru firmae et aaH-bb, existentibus a et iumeris inter se primis, qui sit diuisibilis per ullum numerum primum in ista irma et mm--n non contentum. Hinc enim conclusi, etiam ne in maioribus et maXimi quidem numeris nullos dari per eiuε modi numeros primos diuisibiles. Demonstraui enim si in maximis tales darenrur numeri, tum etiam inter minores, ac tandem minimos, suturos esse numeros eiusdem indolis. Neque Vero opus est ad hanc demonstrationem nosse, in numeris minimis nullos dari numeros firmae uaa --bb, per numerum primum , qui non sit eiusdem sermae , diuisibiles hoc enim ipsum iam per se est absurdum , incire continuo exhiberi posse numero formae et aa--bb, qui per numerum primum non eiuSdem formae essent diui sibiles. Namque tandem necessario perueniri oporteret ad numeros primos, qui cum sint oimae et aa--bb, certe per nullum numerum primum a se diuersum dividi possent. Quare si de quacunque alia formamaa --bb , existentibus numeris inter e primis, demonstrari posset , quod si maiore numeri eius formae dentur per numerum primum non eiusdem sormae diuisi Diles, tum etiam necessarios minore dari numeros, qui quoque numerum primum non eiusdem sermae uturi sint diuisibiles, tum tuto concludere possemus, nullos plane dari numeros Ormae mac--bb, qui per ullum numerum primum in eadem serma non
277쪽
eontentum sint diuisibiles. Verum ut similis demonstratio locum habere possit, necesse est non sit maius quam , alias enim theorema et applicari non posset: Vnde huiusmodi demonstratio non valebit, nisi in sormis a--bb zaa--bb et 3 aq-bb. At in hac postrema quidem serma exceptionem facit diuisor et in forma aca --b non contentu hoc enim casu fit acta I et III, seu a I - - est forma simplicissima per et diuisibilis, quae cum non sit minor, quam et . quotus quoque non minor prodit quam 2, ideoque hinc conclusio ad numerum primum minorem in s ma aa--b non contentum, non succedit.
r. Si numerus formae et aa--b unico modo in hanc formam fuerit remlubilis, atque fuerint primi inter se, tum ille numerus certo est primus.
Si enim non esset primus, duos pluresue ab re factores primo sormae et aa--bb, ideoque duobus pluribusue modis in sormam et aa--b esset resolubilis, ut in theoremate a demonstrauimus pluralitas enim resolutionum in dubium Vocari nequit, si faetores illi quos habent, uerint inaequales. Verum etiamsi factores fuerint aequales, tamen resolutio plus uno modo succedit: nam si numerus propositus, si1 et aa-bbb '
278쪽
3. Proposito ergo numero quocunque, Item constat esse in sorma et aa--b contentum , facile orit explorare , Vtrum sit primus, nec ne i Considerentur enim numeri a et , qu si non uerint primi hi ter se, statim habetur factor, sin autem sint primi, tum inde successime omnia quadrata duplicata a subtrahentur, et dispiciatur, an squam quadratum relinquatur, quod si praeter casium cognitum non eueniat, certo pronunciare poterimus , numerum propositum esse primum.
49 sin autem numerus propositu plus no O do in quadratum et duplum quadratum fuerit remiu-
279쪽
t0m non solum nouimus em non esse primum, sed tiam eius factores assignare poterimus, secundum ea, quae . 21. sunt tradita. Hic autem modus numeros .examinandi satis Xpedite perfici potes, perinde atque ego iam e natura summae duorum quadratoium sim, em modum exposui
so. Nullus numerus, qui et in hac sorma Ἀ-x. Ne in hac Ἀ- a continetur, diuidere potest lium numerum firmae et aa--bb, quidem a tu sint numeri limi inter se.
Demonstrasse suffciet, nullum numerum, Te sese me n I, et in I, nquam esse posse formae zaa--hb cum enim haec forma paa. -b nullos alio, admittat diui Bres, nisi qui in hac ipsa bima snt contenti, statim ac demonstrauerimUS, nullum nus 'erum, et o mae 8n-T, Vel n I, in sorma et au--θ, contineri, simul certum erit, ne quidem diuisorem unis sol mae esse posse. t m autem η-- et n- snt ni inieri inpares, idearrus, quibus casibus Orma et a qhbmimeros ripans producat 'anifestum autem est, hi cseri non posse, nil biit inuinertis impar quo casiuub et numeri S Orsinae M - I. Em cIO numerus a Nelerit par, vel imoari priori casu erit a sormae tu, idroque 2 a formile η, Vnde Yp1essio et cc--bb
280쪽
zaa H-bb diuisor existere potest . si quidem a et sint numeri primi inter se E. D.
r. si ergo fuerint numerii primi Iniec . numerus et aa --b nunquam erit diuisibilis vel per , Vel per T, Vel per ullum numerum huius serieiis. I, II, 23, 9, 3I, 7, 47, 3, 671, I, 9, etc. nerque etiam per Vllum numerum non primum , vel in forma n - , Vel in forma n I, contentum , quales
set omnes ergo numeri impares, qui unquam esse possi in diuisores numerorum formae et aaH-bb, siquidem sint inter se primi, vel in hac formula 8 - 1, vel hac itai a continentur. Neque tamen ulli numeri compositi harum formularum, qui factores habent sormae n-r, vel 3n a diuisin numeri et aa -b existere possunt. Coroll.