Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

251쪽

EXcerpamus hinc numero primos, Vt nanciscamur ne numeros primos formae et ca --bb, qui quidem 5C non sinperent , quippe ad quem terminum Omnes progressione praecedentes produximus, atque isti numeri primi reperientur esse :

252쪽

xso SPECIMEN DE USU OBSERVATION M

numerorum firmae et aa--b occurrere ita Ct num

rus primus qui fuerit aggregatum ex quadrato et d pD quadrato, si nico modo huiusmodi S gregatum.

si e numeris expositis Xcerpantur ii, qui sunt producta ex binario et numero primo, illi in ordinem disest erunt: 6, 2, 3 , 33, 2 86 , IIS, al, I 6, 66, 78,19ε, 16, 26, 26a, a q, a 3, 3a 6, 333, 336, A ,'Sε, 666,Φ8 a. ubi alii jumeri non occurrunt, nisi ipsi numeri primi firmae caH-b duplicati, ac singuli hi quidem numeri semel tantum reperi Untur. Qui ergo numerus priinus in forma et aa- 'bbfuerit contentus, eius quoque duplum erit numerus formaeaaa--bb, idque Unico modo. Ceterum cum sint numeri inter se primi, ideoque alter eorum certo impar, manifestum est, nullOS

253쪽

Cum in numeris exposuis alii sint impares, alii pares, et quidem impariter pares, Obseruo porro: si quis numerus inpar inter illas naineros reperim fur , tuum qu qu eius duplum certo occurrere ac D sine Dunqu) wurrus par in illis nungris occurrit, eius

quoque sevi gis yiden cerro reperistari

Obseruatio A.

Quodsi iam reliquos numeros non primo spectetrius, singulosque in uos factores primo, resolvemus unicuique auten in parenthesi adscribamus, quod vicia bus Occurrat , sequentes nanciscemur

llic iam obseruo omnia producti ex nurrieri primis sermae ira - ,δε per quamcunque combinationem nata occurrere ita O produdium ex quot nqu numeris sor

254쪽

Imprimis autem hic animaduerto, in his numeris compositis nullos alios factores primos Occurrere , nisi qui ipsi sint formae et aa -- bb; unde colligo per inductionem Omne numeros formae et ara H UM, s quidem ae sint numeri inter se primi , nullos alios diuiseres admittere primos, ni qui ipsi sint huius sorinae et aalbb. Binarium quidem vidimus inter diuisores Occurrere posse, Verum cum et aa H b casse 'o et a Ibinarium praebeat, etiam ipsium binarium in sermazaa--b complecti licet.

Cum ergo omnis numerus formae et aa -bb, existentibus primis inter se, alios diuisores primos non admittat, nisi qui in serie numerorum in Obseruatione prima Xhibitorum contineantur, si ipsis quidem binarius adiungatur circa isto numeros primo Obseruo, intra illos nullos numeros siue huiu formae n-I, siue huius 81 - a reperiri. De numeris eryo primis formae n- et ram I mare licet, eos non solum non es numeros formae

et aa -bb, sed etiam ne diuisores quidem esse pose blius numeri formae ina a b b, siquidem x et suprimi inter se.

Numeris ergo primis huius geminae formae δη- et 3 - a Xclusis praeter binarium nklli alii reli

255쪽

atque obseruo, hos numeros primos omnes inter numem primos rimae ina 4-ὼν ita occurrere , t alii praeterea ibi non reperiantur. Hinc ergo numeri yius formae et aa--bb, dummodo a et snt inter se primi, praeter binarium nullos alios habent diuisores primos, ni qui ni et huius

formae 8 mina, et huius m -- a. Cum autem Omnes numeri primi in his quatuor formis in et 8 n contineantur, haec obser vatio cum praecedente conuenit.

At, quod notatu maxime est dignum, observo: Omnem numerum primum tam huius formae n--x, quam huius 8n 3, semper esse aggregatum e quadrato et duplo uadrato sue inter numeros primos formae ima H., omnes plane numeros, siue huius formaeram in T, siue huius 8n- - oci I ere, ac praeterea ullos alios.

256쪽

is . SPECIMEN DE USI OBSERVATIO M

Nullui ergo assignari potesta numerus primus i harum Drmularum In I et In Da alterutra

tentus qui non sit summa quadrati et dupli quadrati, et hoc quidem unico modo. si obseruatio prima luetrahatur.

Proprietatum . quas hic circa numeros Ermae zaa--b coetumque diuisores obseruauimus, aliae ita sunt comparatae, Ut earum Veritas facile ostendi possit, aliae autem maiorem demonstrationis apparatum requirunt, aliae vero denique prosendissimae iudaginis sunt iudicandae , cum summa sollertia ad eas demonstrandas sit opus. Ad primum genus referendae sunt obseruationes Prima secunda, tertia, quarta et pars prior seXtae; as genus secundum autem pertinent Obseruatione quinta. , pars posterior sextae, et septima, quae eo redit. Proinfundissimae autem indaginis est obseruatio octaua. Proprietates autem istae similes sim iis, quas circa summas duorum quadratorum proposui ; quarum erit rem eum Alicite eruerim, operam dabo, t etiam has proprietates obseruatas simili modo demonstrationibusis confirmem. Incipiam ergo ab obseruationibus Καμ is.

Theorema. a.

257쪽

rv MATHESI TVRI ros Demonstratio.

Coroll. a.

a. Ac sim fuerit pluribus modis numerus se mae ac H-hb, totidem quoque modis eius duplum a. erit numerus Ormae ac--bb.

a. Constat ergo veritas obseruationis secundae. simulque ratio perspicitur, cur numerorum , qui inter numeros se ae et aa--b supra expositos bis occae tum eorum quoque dupla ibidem bis reperiantur.

. Si numerus par a suerit numerus si aenaa H-bb, tum quoque eius semissis N erit numerus eiusdem Ormae.

Demonstratio.

Posito N 2mm H nn qu et mm n sit Numeru par, quoniam pars et mm iam est parci necesse est, ut altera par nn sit quoque Umeru par, ideoque et eius radi n. Ponatur ergo ah, et-que N ammis hsi, unde per et diuidendo oritur Ni m H ethh, ita It quoque semissis N ut in Q ma agari-b contentus Q. E. D.

Bi a Corol.

258쪽

s. inc etiam euidens est, si numerus p p stus par a suerit pluribus modis numerus forma naa-bb, totidem quoque modis eius semissem fore numerum iubdem formae.

6. si ergo numerus msuerit unico modo Uinmeru sormae et aa -- bb; tum etiam eius duplum a M. unico modo erit nurrerias sormae et aa -- bb; si enim pluribus modis esset huius Ermae, totidem quoque Odis eius adius N iret eiusdem timae contra hyp thesi .

Hinc autem porro duplicando numeri N, 8N, 6 etc. Omnes unico tantum modo in o ma 2σg--bb continebuntur , siquidem numerus sim- unico modo in ista serma reperiatur.

8. Quod vero hic de unico modo reBIutionis in formar et aainb est dictum, patet quoque ad duos pluresue modos. Ex qualibet enim resolutione numeri N in sormam et aa--θb, sponte nascitur resolutio numeri, siue dupli siue dimidii, sicque obseruationem teg-tiam demonstratam dedimus. The

259쪽

s. Si habeantur duo numerim et 'ormaella ambo, erit quoque eorum productum MN merus eiusdem formae.

Demonstratio.

quae expressio manifesto est aggregatum ex quadrato et duplo quadrato , scilicet: ΜΝ saac fi-bri H et ad .' Vel quod eodem redit, si terminosi ac bd et A. ac bd Permutemus, It sit MN lac - ccbd--bbs a caddes Mob se accis habebimus quoque alio modo MN et ac-bd ad iri Quare sit terque numerus suerit formae et aa--ib. erita quoque productum nurnerus eiusdem r-

260쪽

xs SPECIMEN DE SI OBSERVATIONI

H. I siuerit vel ad c b, Vel ac bd numerus megativus, Iro p et g eorum Valores affrmatim assumi poterunt. Ac sermulis enim quadratis perindeaelicere licuit se prior, casse pracb-ad posteriori veros zbd-aac. Numeri igitur negativi hoc modo proxadicibus quadratorum oriundi calculiun nihil turbant.

Ist. Productum ergo duorum numerorum se anae a a --b duplici modo in eandem formulam resolui poterit, nisi sorte traque resolutio ad eandem recidat, quod autem non euenit, nisi uerit vel obtaeto et dzzzo , vel ac zo, hoc est zzz , Vel zzo , vel emo, vel etiam zzo, alterque propterea num Torum propositorum, vel quadratus, et duplum quadrati.

et a si ergo ambo numeri fuerint primi, e rum productum semper est duplici modo resolubile in

Drmam et aa--bb, nisi alter fuerit IIII, Vel zzza. Cum enim tantum Xcipiantur casius, quibus alter est quadratum, vel duplum quadratum, terque autem pona tur