Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

351쪽

atque ob priorem conditionem iam Iupra inuenimus, esse debere L -m O. 41. Cum igitur elapso tempusculo I d punctum transferatur in , absoluto secundum axem A spa tiolo vidi, secundum alterum axem AB autem spatiolo di xt incrementa celeritatum v et O punctit, quae tempusculo di ipsi inducuntur, obtineamuS, pro X et scribi oportet spatiola di et di, unde haec Vera celeritatum incrementa prodibunt: du Ludies lodi H 8 di et dota Mudt- - mcdt - mctEX quo ires acceleratrices quae ias accelerationeSproducere Valent, erunt:

Vis accel secundum ABIIIa Mu--mO--si 2 quibus ' ergo vires racti in aquae particulam rigentis aequales esse debebunt. 2. Inter ire autem, quae aquae particulaSactu sollicitant, primum consideranda venit grauitas cuius autem effectus, si planum , in quo fit motus est horigontale , pro nihilo erit habendus. Sin autem suerit decliue axisque I declἹlitatem sequatur , alterox existente origontali, a grauitate orietur i acceleratrix secundum L constans, quae sit in Deinde non praetermittenda est ricti , qua saepe motus aquae non mediocriter impeditur quanquam autem eius leges nondum sunt alis Xploratae , tamen rictionem corporum solidorum sequentes non multum brtasse ascopo aberrabimus, si frictionem ubique pressioni, qua aquae particulae se inuicem premunt, proportionalem

statuerimuS.

352쪽

3. Inprimis autem in computum est ducenda pressio, qua particulae aquae bique in se mutuo agunt, qua fit, Vt quaelibet particula undique ab adiacentibus comprimatur, et quatenus haec pressio undequaque non fuerit aequalis , eatenus particulae motus a latur. Vbique scilicet a lita in certo quodam statu compressionis versabitur, qui similis erit ei, in quo aqua stagnans ad certam profunditatem Xistit. Haec ergo prosunditas, ad quam in aqua stagnante aqua in pari compressionis statu reperitur , commodissime adhibebitur ad pressionem in quovis fluidi punctos exprimendam. Sit igitur ista altitudo, seu profunditas, statum compressionis in t exprimens, eritque unctio quaedam coordi natarum X et I ac si pressio cum tempore in i quoque arietur, tempus quoque t in unctionem pringredietur Tab. IV. Ponamus ergo RdXH-rθ--Πὶd

Fig. 3 et consideremus elementum aquae quadrangulare recta

quae agunt in latera n et mo resultabit is elementum Vrgen secundum directionem Im -Rdaeo.

s. Hinc

353쪽

s Hinc igitur orietur is acceleratri secundum m R et Vis acceleratrix secundum in r, quarum illa cum iis grauitate Orta α praebet R. Frictione ergo adhuc semota, has habebimu aequationes: α- RVI 2Lu-- lC--28 seu πα- et Lu- alo et i - II 'Mu-2πυ-- asst et rata a Mu- amo amunde colligimus fore Φ α - , Lu- --ἡ Σ)ιD-2 Mu-4-niq)-l sq H - siil quod differentiale oportet esse completum, seu integrabile. 6. Quia terminus dae per se est integrabilis, et pro st nihil est definitum, ex natura differentialium completorum necesse est, ut sit signandi modo iam siu pra adhibito

quae reducitur ad hanc formam:

quibus valoribus ibstitutis habebimus istam aequationem:

cui aperte satisfacit ΣΜ ita ut sit Cum igitur haec conditio requirat, ut sit Atax, vicissim apparet,sormulam differentialem hanc dX-Co eme debere completam in quo ergo criterium motus actualis consistit. O et 48. Cri-

354쪽

8. Criterium hoc independens est a praecedente , quod continuitas fluidi eiusque constans densitas ni- formis suppeditavit. Quare etiamsi fluidum in motu densitatem uim mutaret , Ut in motu fluidorum elusticorum veluti aeris euenire solet, haec proprietas nihilominus locum habere debet, Ut sit udaeis Oodit firentiale completum. Sive celeritates semper eiusmodi debent Isse unctiones coordinatarum X et I, Praeter tempus , Ut posito tempore constante formulaudae - Od integrationem admittat. Φ9. Hinc autem porro plana pressionem p definire poterimus, id quod abstitute est necessarium , admotum fluidi perflecte determinandum. Cum enim in- enerimus erit

Quodsi ergo pressionem in singulis fluidi pinctis pro

tempore praesente definire Velimus, nullo respectu ad eiu mutationem cum tempore otiundam habito, ista nobis consideranda erit aequatio

estque nostro designandi modo m Zi;

hincque indX- et udu - et Odo ' dae et II in cuius aequationis integratione tempus t pro constanti est habendum. so. Haec

355쪽

so. Haec autem aequatio per hypothesin est integrabiliS, atque reuera talis deprehenditur, si ad riterium huius motus attendamus, quo vidimus, esse debere udaeis Od differentiale completum , si quidem tempust constans assumamus. Sit igitur S eius integrale, quod ergo eiusmodi erit unctio ipsarum X, 3 et , ut positodi mo, prodeat SIT udX--O . sumto autem quoque tempore t variabili ponamus haberidS vi dx bHod Ucit

si His valoribus introductis habebitur: huiusque sormulae cum tempus t constans sumatur integrale manifesto est TAU. Quod quo clarius appareat, ponamus V KdX-ἡ h erit a m et G h,

356쪽

notat differentiale ipsius S i u dx--o si tantum

tempus tot variabile spectetur. sa. Si iam ictionis quoque rationem habere velimus, eamque pressioniis proportionalem statuamus dum punctum I elementum d percurrit , erit vi retardatrix a rictione oriunda unde Osit Aram, aequatio nostra disserentialis, posito i constante, erit: ααdX-yds-2VdW- etdUunde integrando oritur, sium to e pro numer , cuius O-garithmus hyperbolicus est T I,

re vera mouetur, in hoc consistat, ut posito tempore constant , differentiale udae H Oo sit completum: continuitas autem et constans niQrmis densitas exigat, i sit 1 -- hinc sequitur quoque hoc differentiale θ--Cd fore completum. Quare trinque coniunctim celeritate u et O ejusmodi debent esse sunctiones coordinatarum X et a cum tempore , Vt hae ambae formulae ud X--Γυ et θ--Cd sint differentialia completa.ss. Instituamus iam eandem inuestigationem in genere, positisque punctio ternis celeritatibus secundum axes L, A B, A directis , C, sint eae eiusmodisiunctiones cum coordinatarum , , , tum temporis , ut differentiatione instituta fiat,

357쪽

qua proprietate quidem praesiens examen non pendet. 56. Elapsio autem tempusculo di, punctum transfertur in ur, et secundum axem A percurrit spatiolum Iudi, secundum axem AB spatiolum zodie secundum axem A spatiolum di. Quare nunc puncti cis et existentis ternae celeritate erunt secundo Livi -- Ludi H I Odt--λwdt- 8 dissecun ABIT OH Mudiri modi ρομωdt--sR a secund AC ω - Nudi nodi--νwdt--Πὶ di hincque accelerationes secundum . easdem' dilectiones

erunt:

hinc

358쪽

α96 PRINCIPIA

ues. Est autem ex matura differentialium AEOmpletorum

quibus

359쪽

MOTUM FLUIDORUM.

quibus valoribus substitutis tres illae aequationes rabibunt in has

6o. Manifestum iam est, his tribus aequationibus satisfieri sequentibus tribus valoribus Iram. 'λ mn quibus continetur criterium quod consideratio sollicitationum luppeditat Hinci ergo sequitur re recepto designandi modo

360쪽

pro statu pressionis p haec habebitur aequatio

, eritqle d Quare cum sit in genere unito tempore t constante , Vt id quidem in superiori integrali a Lissimitur,

leritas huius puncti vera dicatur V, habeatur pro pressione ista aequatio: p C-z-VV- ad quam ergo inueniendam, primum formulae o -οθ--πda, quam completam esse oportet , quaeratur integrale , hocque denuo differentietur, posito solo tempore