Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

61쪽

s. Simili modo secile erit infinitas curuas inue Bire, quae per quatuor pluraue puncta data catae curavae ' transeant, si enim haec puncta sint A,B,C,U, et quae respondeant abscisiis: x o, X a XIT, X c. etc susuae quaesitae hac comprehendentur aequatione:

inimmodo eXponentes m n, p, g etc. sint nihilo maiores, nullusque sacrarum per indolem unctionis P destruatur.

6. Si ergo curua data sit circuluS, in eiusquo peripheria puncta quotcunque notentur, aliae infinitae curuae describi poterunt, quae per omnia haec puncta

transeant.

. si coordinatae curuae datae per functiones quasdam nouae variabilis u dentur, ita, ut sit, XIIII et IIIJ huiusque curua duo puncta A et B reperiantur si ponatur u 1 et u g. ita ut posito u 1 atomo et posito zzg fiat ae a tum infinita aliae inuenientur curua per eadem duo puncta A et B transeuntes, ope harum formularum

64쪽

quaecunque unctiones ipsius u loco scribantur

dummodo factorum nullus destriritur, Xponentesque μόν, in. nihilo sint maiores Perspicuum est enim, siue ponatur u 1 sule u g, coordinatas X et a prodire plane eaSdem , quaecunque unctiones litteris P et tribuantur. Simili etiam modo solutio adornabitur , si1 curuae quaesitae per tria pluratae puncti data curuae propositae transsire debeanta, atque etiam patet hoc modo non solum curua algebraicas, sed etiam transcendentes cuiusque ordinis Xhiberi possis , cum nihil impediat, quominu pro P et Q etiam unctiones transcendentes ipsius u accipiantur.

8. Cui que patet, unctionibus P et Q eiu modi

adiunctos esse factores, qui troque casu proposito 'fet Ita evanescant, ita Vt his casibus , qui bila oriuntur abscissa X o et X a posteriora trill,que sormulae membra Uanescant , indeque pro coordinatis iidem prodeant alores X II et X V, qui ipsi curvae propositae conueniunt. Haec ergo conditio ut impleatur, haec istorum fictorum ornu γ-ti ' g u)' simplicissima et commodissima est Visa interim tamen

occurrere posssunt casLS, quibus haec Orma idoneos non suppedita sectores, veluti si alterum curuae punctoum obtineatur ponendo ita V sitis Picio tum enim huius modi factor u) u)' calculum maxime perturbaret. Hoc autem castu non erit dissicile eius modi formas excogitare in terminis uitis, quae tam casiu

65쪽

ci WAS ISO PERIMETRAS etc. s

k--u Πm m, d casti numerator prae denominatore, etiamsi terque fiat infinitus, evanescat; ciuic ita capidebet, ut numerator et denominator communem non adipiscantur diuisiorem. Ita si ambo puncta data prodeant X valoribus u o et u oo, factores idonei

erunt:

dummodo in denominatore vitior occurrat potestas ipsius tu, quam est numerator u .

Problema I.

s. Infinitas inuenire lin'as curuas, quae non Ium per data duo puncta transeant, sed etiam in his Ininctis communi gaudeant tangente.

Sit ut ante aequatio pro na curtia, quae datam habeat proprietatem, atque duo puncta data ori an tu ex valoribu abscissae et X a. Iam Vt omne curua quaesitae per eadem puncta transeant, videmus eas hac contineri aequatione: I X- ' a-x 'Pexistente P unctione quacunque ipsius Tum vero, ut in his punctis omne curvae communi tangente gau- Tom. VI. Nov. Com. B deant,

66쪽

deant , necessio est t casu Vtroque XIIT O et X a valor ridem plane prodeat, qui Oritur X aequatione III X, seu Vt is sit zzz Fiet autem inde: ubi manifestum es hunc valorem redigi adcita casibus X et M ta a, si non solum X ponentes m et , sed etiam m ae t. - fuerint ibilo maiores. Quamobres aequatio etiam uta propositis duobus punctis eandem tangenti urinpositionem praebebit, si exponentes non solum nihilo, sed etiam unitate uerint maioreS. Simili modo si ambae coordinatae X et 3 per no Vam Iariabilem dentur cuius alores et Itandata duo puncta exhibeant, infinitae curuae quaesito satisfacientes in his sermulis continebuntur.

quaecunque unctiones ipsius , iue algebraicae, siue trans .cendentes, pro P et Q substituantur, dummodo, quae cautio semper es tenenda, neutra factorem sibi adiunctum destruat Insuper vero as commutarinem clangentium ita his punctis requiritur, Vt Xponente m. μ ν singuli sint unitate maiores Quoniam enim tum VtroqVO

A. zzz n, qui alor unctionibus P et Q neutiquam

pendet.

67쪽

TO. Data ergo curua quacunque intra duo puncta et B descripta, cuius aequatio inter coordinata Meta est vesam X, Vel his sormulis continetur X V et infinitae aliae curvae exhiberi possunt, quae non selum per eosdem terminos A et B transeant, sed etiam in his punctis communi tangente gaudeant.

II. Quodsi exponentes in formulis inuentis adhibiti non solum unitate, sed etiam binario fuerint malares, tum etiam Vtroque casu XIII et zza, Velv j et u g, hoc est in ambobus terminis, disserentialis secundi gradus inter se conuenient. Scilicet in his punctis non scium Omnium curuarum inuentarum eadem erit directio, sed etiam eandem curuaturam habebunt,

Scholion.

Ist. QuemadmodUm ergo ante vidimus, si habeatur variabilis cuiusdam talis unctio , ut sit et Azif-u ' -ur Putroque casu IIII et utata fieri rimo, quaecimque fuerit unctio ipsius u. dummodo iXponentes et fuerint nihil maiores ita nunc porro patet: II exponentes m et uerint nitate maioreS, fore troque casu Tu et Izget III et 2 o

68쪽

- METHODUS INVENIENDI IN VIII S

III. exponentes fuerint binario maioreS, ire troque casu u 1 et u g

IV Si exponentes et in sint ternari maiores, sere troque castu 'b et u g

Perspicuum est , quae hic de duobus casibus u fet si in annotata , etiam ad castu tres, nempe u f, u g, et u θ Xtendi, si aequatio fieri h iusmodi:

ius sermae ita V in denominatore α - β ' Vu' etc.. summae potestatis XpOnen sit maior quam , atque tum ex solo exponent m definietur, ad quemnam s-que ordinem disserentialia ipsius et his duobus casibus, evanescant.

II. Per data a puncta infinitas ducere ineas curuas, qua omne cum axe et applicatis extremis aequale area lacludantia

Solutio.

Respondeant puncta hae data abscissis x o et x a, ac losita cuiusque curuae applicata erit aequa-

69쪽

Quare pro curui quaesitis aequatio generalis erit

quaecunque enim pro asscimatur unctio ipsius a dummodo exponentes sint nihilo maiores omnes curuae per ibata tuo puncta transibunt et cum X et applicatis extremis, quae scit .cet abscissis et 'arespondent, easdem includent areas, atque curua aequatione Ita x contentaia

70쪽

Aliter

si Ddae erit tara , Iam ut quaesito satismfiat, pro a eiusmodi unctionem ipsius X quaeri oportet, Vt troque casn et a tam alor psittas quam ipsius ' pro omnibus curdis prodeat idem, id quod euenit, si statuatur et et x 'la xy P dummodo exponentes vi et v sint nitate maiores, quaecunque enim pro P assumatur uncti ipsius X, troque casse X D et XTI a tam pro z, quam pro F, iidem prodibunt valores Sit IIIJ Xd erit da TX in ma-ίw-bn )X a aer 'T 4 W a xydpPro curuis ergo quaesitis haec habebitur aequatio generalis: ma n x x a-x 'P in Q a-xygdummodo numer m et 1 sint nitate maioreS, quae solutio cum praecedente congruit, Pro numeris enim me nibi usurpatis hic posuimus in I t atqlle pro P.

T . Data ergo curua quacunque m eiusue saltem portione intra abscissa XIII et X a contenta, aequatio inuenta infinita alias praebebit curuas, quae non solum per eosdem terminos transibunt, sed etiam intra hos termino aeqUale arsta complectentur. Coroll.