Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

71쪽

1 si in solutione posteriori exponeo es m et usuerint non solum unitate, sed etiam binario, maiores tum omne hae curua etiam in utroque termino communem habebunt tangentem. Quin etiam insuper communem habebunt curuaturam, si exponentes illi vi et quoaue ternari erunt maiores.

16. Si curua data F X fuerit algebraica, mn solum infinitae aliae curuae algebraicae eiuSdem areae hinc reperientur, sed etium infinitas curuas transcendentes eiusdem proprietatis exhibere licebit, siquidem' pro inctiones transcendentes ipsius X asstimantur.

1 . Si pro P sumatur quantitas constans quaeis eutique C, hinc iam pro infinitis ipsius C aloribus

infinitae reperientur curuae, cum datast X, tam OS dem terminos, quam candem aream habentes, quae vi hac aequatione conti hebuntur

72쪽

16 METHODUS INVENIENDI INFINITAS Coroll. s.

18. Si ambo terminiis et , qui abscissis To,

et respondent recta Assi iungantur, erit haec recta omnium curuarum inuentarum corda communiS. Atque etiam areae, quas omnes hae curuae cum ista corda continent, inter se erunt aequale , quatenUS quidem ad eandem cordae partem fueriti sitae quae enim portiones sorte in partem oppositam cadent, eae Pro negativis sunt habendae.

Exemplum in.

19. Proposuo circuli quadrante , inuenire infinitas alias curuas intra eosdem Ierminos descriptas quae au- dein aream includant. Sit radius circuli a eiusque aeqtuatio)TV ac Xχὶ prodibunt quadranti termini si ponatur XIIo, et X ae posita ratione diametri ad peripheciam erit area quadrantis ἰ raa, cui aequale esse debent areae omnium curuarum per quadrantis terminos ductarum. Omnes ergo istae curuae hac continebuntur aequatione: y Vsaa- ma- min)x)x a P a' a xy Eubi m et 1 debent fili numeri nitate maioreS. Ut hinc curvam quampiam simpliciorem eliciarnUS,

73쪽

Exemplum i 2.

2. O. Propositus sit smicircutis ferminos suos in dia metri ni minis habens, atque inuenire oportet invinitas

alias curuas per terminos diametri transeuntes, qua Umnes cum diametro areas semicirculo aequales includant. Sit diameter Ta, erit aequati J V ax XM, unde cum fiat Imo, possit tam mo, quam X a, idem quoque in Omnibu curui , quae quaeruntur , euenire debet; deinde, quia etiam areae, earum diametro insistentes, ipsi semicirculo aequales esse debent, huic conditioni satisfiet hac aequatione generali γα, --xae in ma- w--n X ae '' a X 'P x a-x dummodo pro m et 3 accipiantur numeri unitate a iores. Quoniam igitur etiam pro P sunctionem quam 'cunque ipsius ae assumere licet , modo ne inconuenienti aliquoties memorat sit obnoXia , patet omnes omnino curuas quaestioni sitisfacientes in hac aequatione contineri debere. TOm. VI. Comm. Nov. C t

74쪽

ys METHODUS INVENIENDI INFIXIT s

pro linea quarti ordinis. S iam sit b - σὐ erit 3 Ita V ax-XX Haec ergo curua super diametro semicirculi descripta, aream habebit semicirculo aequalem. . Eadem curua suta inuetio prodit, si ponaturi ac

Scholion ..

er. Prior huius problematis blutio etsi magi, naturalis idetur , tamen in problematibus dissicilioribus, Iocurri nota inuenit. Hinc ob causam adieci alteram solutionem cuius undamentum in eo est positum , quod expressionern areae integralem Dd ante ad expressionem finitam reuocauerim. Haec enim reductio omnino nece laria deprehenditur , si formulae integrales, quae Ioco arearum uia considerandae , magi fuerint complicatae. Veluti si omne curuae per data duo putasta. ducendae eiusdem longitudinis, esse debeant, ita ut iam non Lydae sed si H- φὶ datum Valorem inter abstis la x: o. et aera a continere debeat tentanti mox Patebit, ormam assumtam III X--X sa a 'P pirum iuuare ad idoneas functione pro P cruendas. Quan-

75쪽

CVRVAS ISOPERIME TRIS etc. 19

eontineri debet, scilicet IV dae H-dX' - - aria α' , ita, ut hoc posterita membrum pli iter troque calliae o et X a uanestat, tamen nitituto calculo adaequationem tantopere implicatam peruenitur , ut inden alio modo relatio inter unctiones P et Q erui posse videatur. Hoc ergo incommodum Vt uitetur coordinatae X et a primum ita per alia formulas erunt exin Primendae , t inde arcu per sermulam finitam e pressus prodeat, id quod praestari poterit per metho dum Diophanteae analogam in Inalysi infinitorum , cuius nuper quaedam specimina in medium attuli.

Problema A.

x et Infinitas inuenire curuas per data duo puncta transeuntes, ita ut omnium arcus inter haec duo runcta comprehensi sui inter se aequales.

Soluti

Positis coordinatis X et 3 sit arcus IV Δ'--Ο,'ras iam Vt hae tres quantitates per nouam Variabilem sormulis a signo integrali libens exprimatur, siti III eritque

ubi r denotet functionem quamcunque ipsius Cum

76쪽

α, METHODUS INVENIENDI INFIXIT

per hanc nouam variabilem coordinatae X et I cum arcu scita exprimentur, Ut sit

Sint iam valores ipsius . qui praebeant propum istis datis abscissis nempe XIII et x a ac ponatur

sit unctio data ipsitus vero functio quaecunque indefinita, ita ut hac variabilitate non obstante, haec Brmula quaestioni aeque satisficiat, ac si esset Zzo. Nunc manifestum est, si exponentes m et ' fuerint binario maiores, tum troque casu Tu et III , Oa solum pro , sed etiam pro ari et 'o eosdem prodire valores, quaecunque unctio ipsitus, prora substituatur. Hinc troque casis XIII et zzza, tam applicata . quam arcu A OSdem quoque nanciscentur Valore , atque idcirco omnes infinitae curuae , quae ex diuersitate functionis: alauntur, non luna per data duo puncta tran,ibunt, sed tiam omnium arcus, inter haec duo Iiuncta intercepti, inter se erunt aequales.

Possim etiam aliae formulae a signo integrali liberae pro x, inueniri , quae ad tutionem sim pliciorem deducent. Ponatur scilicet, ut ante, X TR i

77쪽

vi sit zzza hicque valor in altera sormula integrali labititutus dabit

Iam ponatur eritquesta j, ubi significat unctionem quamcunque ipsius p. Sumt ergo

sint iam istis valores ipsius , qui praebent pro datis duobus puncti abscissa Xzo et Tu a ponatur:

ubi P denotet unctionem ipsius p datam , Z vero indefinitam , sintque Xponentes 1 et u binario natores. Cum igitur quaecunque Z sit filiactio casibus VIII o

78쪽

α METHODUS I VENIENDI INFINITAS

alores, a s esses et perspicuum est etiam casibuS et pro eosdem prodituros esse valores . scilicet pro a' aire 9 et . Consequenter omnes istae curuae per data cla puncta transibunt, eruntque omnium arcuS, inter laaec duo puncta intercesti, eiusdem longitudinis.

a. si in solutione priore , in niteriori Nero P, si unctio algebraica, atque prora etiam unctiones algebraicae capiantur, Omnes curuae inde oriundae non solum erunt algebraicae, sed etiam recti tua es. Sin autem prora sumantur unctiones iratiscendentes , ipsae cur e fient transcendentes, earumque rectificatio iuue finita a quapiam quadratur Pendebit.

ct . sin autem in solutione priori pro Q, posteriori vero pro P, eiusmodi capiantur unctiones transcendentes, xt ibi hic vero fiant unctiones algebraicae , instuperque sit uncti algebraica , tum curua quidem erunt algebraicae, sed non Iecstificabiles.

23. Duo puncta , per quae omne curuae numniendae transire debent, reperiuntur e binis haloribus

79쪽

CVRVAS ISOPERIMETRAS etc. a

pros, sublesituitatur Vnde patet eandem solutionem locum habeta, bicunqua.duo illa puncta assas aentur

r 6. Assumtis autem pro lubitu his valoribus f et g, τὰ issim duo illa puncta omnibuSi curulS communia re-Perientur atque, quo ho faciliuS, Xpediatur, funistio Z pro nihilo habeatius, quoniam quaecunque fuerit haec sanctio, eadem semyes punctae rePeriuntur.

curuae in sermulis inuentis contentae, per tria data puncta A, B, C transibunz, atque non solum omnes arcus AB, sed etiam omnes arcu BC, ac proinde etiam AC erunt inter se longitudine aequales, dummodo e Xponente singuli , π, et L fuerint binarioe

et 8'. simili modo infinitae curuae inueniri pote runt arane per quatuor pluraue puncta data transibunt . e quartim omnium arcuS, inter bina quaeque suncta ita tercepti, suhuri sint iuuicem aequalesia Scho -

80쪽

comparatae, Ut troque casu Qt III non solum ipsae in nihilum abeant, sed etiam earum differentialia prima et secunda , quod utique euenit, si Xponentes m et ciuerint binario maiores. Atque sint quantitates finitae, in assumtione huiusmodi dormularum nulla inest dissicultas. Verum si alter valor g fiat infinitus, idem remedium erit adhibendum , quod iam

supra est indicatum , scilicet tum firmula ita debebit instrui:

OH i3 --νθ' etc. ut summae potestatis in denominatore exponens maior sit quam hinc ero m binario maiorem esse oportet. Atque ut hoc casu conditiones problematis adimpleantur, uti non diuisum esse debet per ullam potestatem ipsius f.q, ita etiam in numeratore ipsi

aequalem Vel altiorem potestatem inducere non debet , quam in denominatore. Nisi ergo risit quantitaS, On stans debet esse eiusmodi ractio , in cuius numeratore variab1lis, non ad altiorem potestalem exsurgat, quam in denominatore. Sin autem eueniat, ut ambo alores fetu fiunt infiniti, Veluti 1 Italo et g α - , Ummanifestum est, pro illo altero re embro assumi posse fractionem quamcunque , in cuius denominatore variabilis e altiorem habeat potestatem, quam in numeratore. Huiusmodi enim unctio, non solum evanescet positoq- , sed etiam eiu differentialia omnium graduum. Probi