장음표시 사용
281쪽
matis Casus nec plures,ne φ pauciores, Euclides aute breuitatis gratia unum ex facilioribus sumpserit, in quo Theorema dentonstrauu, lucidistinius Proctus,qui ubi I summa cura, δι diligetia utilitati nostrς studuit, hoc etiam in loco reliquos duos Constructionis Casus diluet dare, Theorematisque veritatem in ns demonstrare coepit, quibus Demonstrationibus absolutis, cu pulcherrimo documento, ut eius mos est Comentario sinem dedit. & hare quidem sunt, quae in com mentario reperiuntur. Ἀonia autem ab expositione Casuum commentarios suos auspicari minimὰ consueuit, dc quonia desunt quaedaverba ad sententia, orationemque perficiendam, iudicandu est quod non paucis initium versus comentarius caret. At verba quidem,qus desunt ad complendum sermonem,huiuscemodi forsan es lent f V erum Elementorum institutor Parallelograma,qus circa Dimetiente comen- consistunt inuicem coniuncta suscepit,si quis aute insurgat dices quod V ' 'potest ut Parallelograma inuicem non coniungantur iuxta viruSignum, quodque porro Coplementa non sum quadrilatera, oportet hunc quoi ponentem Casium idem accidens perspicere 1 Ea
vero, quae ante Casuum expositionem intomentar a principio demderantur, sertasse varia essent. consueuir enim Proclus x h; que ante quam ad Casuum interpretationem accederet, varia in principiis c5mentariorum recensere, verbi gratia, Propositionis continuatione,& speciem,utputa si Theorema sit an Problema, et si Problema qui dem,quale Problema,virum ordinatum,vel inordinatum vel Me diu: virum Determinatum, an indeterminatu: virum Abundans .an Diminutum: & si Abundans. Utrum Maius an Impossibile: Sc si
Diminutum,utru Seillionem, vel Positionem, vel Constitutionem,
vel Applicationem vel aliquid aliud id genus iacere iubeat. Si vero
Theorema, cuiusmodi Theorema,vtru Elementum vel Elementa re vel horum neutrum: & si Elementu virum Simplex an Compositu: & si Compostium, utrum Complexum,an incomplexum: S si Complexu utrum uniueriale an Particulare: & fi Universile,virli
Praecedens an Conuersum e & s Prseedens triam Locat an secus :& si Locale,utrum in Lineis Loeale, an in Super sciebus: A si in Luneis virum in Lineas planis, an in solidis si in PIanis visu in sim plieibus an in mistis: A si in smplicibus, utrum in rectis, an in circu-
laribus: & si in ei reularibus,utru in Circunserem l , vel Semicircuit ferent as, vel Semicircunferentia maioribus, aut minoribus: si inmistis, utrum in Helicibus .an in Cisi eidibus: vel aliis huiusmodi:, Quod si in solidis,uitu in sphsricis,vel in conicis, vel cilindricis, vel
282쪽
bus, utrum Iphaerarum aequalium, vel inaequalium. & li in conicis,
utrum in Hyperbolis', vel Parabolis, vel Ellipsibus, vel Helicibus:& si in cylindricis,utrum in Ellipsibus,vel Helicibus: si in spiricis,
utrum in iis, quae fiunt a seistione Spirae Continuae, vel Druiduae, vel implicitae, qus etiam variae sunt. similiterque si est Locale in Superficiebus utrum in planis an in solidis: & si in planis quide, virlim in circularibus semicircularibus, maioribus Segmentis, vel minori hus, trilateris, quadrilateris, gradatimque multilateris : & si in tri- lateris, vir tim in aequiliteris, vel aequieruribus, vel kalenis: & si in aequicruribus,sive scatenis,utrum in re fiagulis,obtusangulis, vel acu- tangulis: & si in quadrilateris utrum in parallelogrammis, an secus:& si in parallelogrammis utriam in quadrangulis, parte altera longioribus, rhombis, vel rhomboidibus: si in non parallelogra mis, utrum in trapeziis, an trapezoideis: dc si in trapeziis, utrum in aequieruribus an in scatenis: & si in multi lateris,utrum in quinquangulis quinque Laterum, vel sexangulis sex Laterum, deincepsque in infinitum :&sim quibuslibet istarum,utrum in aequilateris, S squiangulis, vel in aequilateris, sed non aequiangulis, vel in aequiangulis, sed non aequilateris, vel in non aequilateris, & non aequiangulis. Si vero locale in Superficiebus solidis saerit trum in sphaericis, spiricis, conicis, vel cylindricis, vel cuiusilam alius speciei:&si in sphericis quidem,utrum in semisphaericis,vel semisplurica maioribus,aut mi noribus: si autem in spiricis, utrum in spiricis Spirae Continuae, vel Diuiduae, vel Implicitae: si vero in conicis, utrum contrec tanguli, obtusanguli, vel acutanguli: & si in aliquibus istarum, utrum in conicis Coni aequi ris, vel scalent: si demu in cylindricis, otrum in iis, que fiunt a circvuolatione Lateris Quadranguli,vel Partealterato gloris: & si in qualibet istarum, utrum Cylindri aequieruris, vel Sca- leni. Postheceonsueuit Proclus consequenter Expositionem Theorematis aggredi 8c declarare quaesit eius Suppositio, quodque Consequens : necnon quod fit eius Conuersum, quisque Conuersionis
modus, utrum iuxta Praecipuam Conuersionem, an iuxta eam, quae non Praecipua vocatur: & virdm totum ad otum comaertat, vel
totum ad partem, vel partem ad partem: quot praeterea Propositio conditiones iuxta Geomet icam diligentiam habeat: quis fuerit eius inuentor: utrum fit aliqua contra eam instantia, Sc quomodo sit ei occurendum: ae demum quae sit eius Constructio, Sc quot modis abes m Mathematicis Construatur,at demonstretur, Vtrum per Dee
283쪽
monstrationem direc iam, an per Deduistionem ad impossibiIe: S utrum in unico Casu, vel in duobus, vel in pluribus veritatem nacta sit: At ex quibus mediis demonstretur,utrum ex primis principiis, an ex altis Theorematibus: postremoque cum aliqua pulchra costderatione, aut documento, aut digressione comentariis suis finem imponere,ut in praesenti eis evidetur. Hare candidissime Lectior erant mili: recensenda, ut quae in Procli comentariiis desiderantur tibi praeoculis ponerem,de quibus ea,qua potero cura, ac diligentia quaerere, atque inuestigare non cessabo quousque repe tantur, ut torum hoe volumen integrum, in eademque per festione, qua Autor illud perscripsit restituam, S renate Foenicis instar reuiuiscere faciam, atq i omnibus, qui Mathematici euadere cupiunt nouum hoc Mercurii, Mineruaeque iandiu desideratum munus impertiar. ὀd si ante mearum expositionum emissionem hosce defeetus inuenire non potuero , meis additamentis ea, que mutilata sunt perficere pro viribus enitar. De his autem hactenus.
e - . ut Parallelogramma inuicem non coniungantur iuxta Vnum
Signum, quodque porro Complementa uo sunt quadriIatera, opo hui' Thh. tet hunc quoque ponenteni Casum idem accidens perspicere. Sit c u - ertim Parallelogramum a b,quod habeat Parallelogrammae k, d lcirca eandem Oimetientem , sit autem inter ipsa quaedam Et recta Linea, quae sit Dimetientis pars. Rursius itaque eadem dices nempe Triangulum a c d aequale Trian gulo be d,&Triangulum e ch.
Triangulo h e s, necnon dgl Triangulum d hi Triangulo. Reliqua igitur a g l ke quinque Laterum
284쪽
Figura reliqus b fh l l, quin* Laterii Figurae aequalis est. Haec auteerant complamenta. Si veris ne* coniungerentur Parallelograma iuxta Signum, ne* distarent ab se inuice, sed inuleem interseca rent, eadem hoc quoque modo Demonstratio erit. Sit enim Parallelogramuab, & Dimetienscd, 8c Parallelograma circa ipsam, unum, quide ipsium ec si, alteru vero, a quo
etia hoc secetur, ipsum d g h h. Dico quod ipsa fg, e li Coplementa squa lia sunt. Cum enim totii d g k Tria gula toti dii h Triagulo aequale fit, est aut e pars quo φ ipsius Triagulum k i m squale iligulo h l n, Parallelogramu siquide est & ipsum I E Reliquu igitur di n li Trapeziu reliquod i m g Trapezio est aequale.. Verum ad c Triangulum aequale est hed Triangulo,&Triangu- Ium fel Triangulo e et in e fParallelogrammo, &d g m l Trapeziud ii ii 1 Trapezio. Reliquum ergo g f adrilaterum reliquo e hQuadrilatero inaequale non est. Ostensum est igitur Theorema iu- histata omnes Casus. Sunt autem tres tantdm, nec plures,neq; paucio- soli sit huires. Parallelograma enim,qua circa eandem consistunt Dimetien- casti,
tem aut ecabunt sese, aut iuxta Signum sese tangent, aut quadam a sese Di metientis parte distabunt. At nomen ipsum Complemenis Documgiorum a re ipsa Elementorum institutor accepit, quatenus h sc quo v . ob praeter duo Parallelograma totum complent. Quapropter ipsum per se ipsum memoria dignum in Definitionibus existimat uno fuit. pleidia. varietate siquidem ei opus erat ad sui deesarationem, Ut cognoscere cii Emus quid esset Parallelogramum, qusque essent ea Parallelograma, finationi quae toti Parallelogramo circa Dimetientem fiant. his enim declara- taro tis Complementum etiam hoc tantum modo cognitum utique fi ret. Illa aute Parallelograma circa eadem Dimetiente sunt,quscun -ει- parte totius Dimetientis pro sua etia Dimetiente habent: quscula P - ἡ tvero no, minime. cum enim totius Parallelogrami Dimeties aliquod tur esse cirex Lateribus intemi Parallelogramisecat, tune Parallelogramu hoe toti Parallelogramo eirca eade Dimetie teno est. Exepli gratia ut in ah Parallelogramo ed Dimetiens secat e h
285쪽
cisti. is. quide sunt haec aiunt Eudemi familiares, Pythagorieae'. Muss inuenta, Applicatio uti Spatiorum. & Excessiis, at Defe- Nola De ictus. Ab his aut &Iuniores cum nomina suscepissent,transtu Ierunti bia in eas etia Lineas,quae Conicae appellatur quippe qui na quidenarum Parabolen, alteram autem Hyperboleri, Tertiam vero Era. 'Uocarunt. cum illi quidem priscae autoritatis, da uinique viri in An astus plana Spatiorum ad terminatam rectam Lineam descriptione quae ab hisce indicantur nominibus perspicerent. quum enim proposita apud Nnse tecta Linea datum Spatium toti rectr Lineae coaptaueris, tunc Spatium illud applicari dicunt: quum vero Spath Longitudinem ipsa
recta Linea maiorem seceris,lune excedere: quum autem minorem.
Geometri ita ut Spatio descripto aliqua extra sirrectae Lineae pars, timc demst: .ha -&hoc modo Euclides in sexto Libro tum Excessus tum Dese Eutorium estus mentionem facit. in praesentia vero Applicatione indiguit dato oh ooz Triangulo ad datam rectam Lineam aequale Parallelogrammum applicare volens . ut non solum Paralla logrammi dato Triangulonibus , s. aequalis constitutionem habeamus, verum etiam ad determinatam
I p .rebam Lineam applicationem. Exempli gratia Triangulo dato,
ii xi' quod Aream duodecim pedum habeat: recta autem Linea propol, ta,cuius Longitudo quatuor pedum sit,equale Triangulo Parallelo grammum ad rectam Lineam applicamus, si cum acceperimus to tam quatuor pedum Longitudinem, inueniamus quot pedum Latitudinem esse opriet, ut Triangulo Parallelogrammum fiat aequale. Cum ita fortasse trium pedum Latitudinem inuenerimus,& Longitudinem cum Latitud: ne multiplicauerimus h oc inquam facientes proposito Angulo recto existente, Spatium illud habebimus. Tale Tela se . quidem est verbum hoc Applicare a olim a Pythagoreis traditum .h, i Tria autem sunt in praesenti Problemate Data, unum, recta Linea. ad quam sic applicandum est ut tota ipsius Spatd Latus fiat: alterum. Triangulum,cui aequale debet esse quod applicatur: tertium, Ang no uin, ius cui aequalem Spat' Angulum esse oportet: Et est rursus perspia M. tuu recto quidem existente Angulo, Spatium, quod applicatur. aut aiadrangulum aut Pariealteralongius erit: acuto ver8,siue o,
286쪽
tuso,aut Rhombus aut Rhomboides. Quinetiam manisestum est. quod rectam Lineam finitam esse oportetia ad infinitam siquidem hoc fieri non potest. Simul igitur cum dixisset ad datam rectam Li neam applicare, indicauit quod etiam necessarium redia Lineam finitam esse. Utitur autem in C Histrustione praesentis Problematis Constitutione Parallelogrammi, quod dato Triangulo sit aequa Ie . non est enim idem Applicatio, Constitutio, uti diximus. Uerum haec quidem totum constituit Spatium tum ipsum, tuba Latera cum catio a cita: illa vero,cum unum Latus datum habeat ad hoe costituit ipsum Spatium, quippe quae nech deficit iuxta hanc extensionem, neq3 ex- cedit,sed uno hoc utitur Latere,quod Aream comprehendit. Qua eumenti. igitur fortasse diras de causa cum quidem Triangula Triangulis aequalia ostendebat,Theorematibus utebarur et cum vero Triangula Parallelogrammis, Problematibus aoniam dicemus aequalitas eorum, quae eiusdem sunt speciei sponte natu proueniens est, considerationeque sela indiget: eorum autem, quae dissimilis speeiei
sunt, propteream, quae iuxtas clem Amutationem, ortu, machi
nationeque aequalitas indige: quippe eum per sese inuentu dis
DUobus Problematibus in quibus tum Constitutionem,tum Ap
plicationem aequalium dito iri ulta Parallelogrammorum in- blemum ueniebat hoc uniuersali essitae enim Triangulum,tae Quadran gulum siue onusino quoddam aliud Quadrilaterum datum Merit, Problema perhoe Theorema aequale ipsi Parallelogrammum constituemus. nam omne metilineum ut iniux etiam diximim per se in Trian αμ gula distiluitur , 8c viam inueniendae Triangulorum multitudia superi anis tradidim . Cum itaque datum Rectingulum inti Metangula
287쪽
resoluerit s. 8c uni quidem ipsorum aequale Parallelogrammi- constituerimus, reliquis vero ad datam rectam Lineam aequalia Darallelobamma applicauerimus accipientes illam, ad quam fecimus primam Applicationem habebimus Parallalogrammum , quod ex his. Parallelogrammis eoissiat, aequale Rectilineo quodam illis elim ara=Ium istabat Triangulis, quodqueiustum est fictum eri L. Et si ergo de eem Laterum Figura Rectangulum illud. rit; in octo quide 4 si angula emiditatuemus , uni aurem aequale constituemus Parasse
lograminum, & septies aequalia reliquis applicantes habebit Eusid, quod quaeritur . Ex hoc autem ut arbitror) Problemate pri sci incitati aequale:Cimilis inadrangulum d scribere quaeserunt. Si enim Parallelogrammum cuicunque Rectilitruo aequale repe- estur, quaestione d um est, num rectilineae quoque Figurae pos . ἡόὸ: sinu Curvilineis aequales ustendi. E p Archimedes ostendit qu/d&Eui ictu omnis Circaeus Tria ψ lactangulci aequalis cst, cuius una quia i dem earum , quae exeunt istius Ccmmad Circinis tentiam Line, mensio rum revexi ,quae circaerectum Angulusunt Trianguli Lateribith: Ambitu veta , Basi aequalis est. Ve in haec quidem sita. ad ea
vero, quae consequuntur eamus.
tutionem 'mor mudanaru Figurarum. ide in . Ita
ΙMiget quidem hoe problemate iamem in sequentis Theorematis Constructionem . Videtur autem duorum in Rceti lineis opti0rum ortus tradere voluisse, aequitatesi: nempe TH- anguli, & Sadranguli, quoniam sane ad constitutionem quoque
est.5 dissolutio, hisce angulis opus est nam Icosaedrum quide, dc Meiaedrum . dc Prtunis ex aequilueris Diangulis constanta Cubus
288쪽
Cubus autem, ex Quadrangulis. Idcirco mihi videtur praeeipuῆ illa quidem constituere, haec vero describere . conuenientia nan hisce Figuris hare nomina reperit. nam illud quidem quatenus ex multis construitur, Constitutione: hoc vero quatenus ab Uno exoritur Latere, Descriptione indiget. non enim quemadmota habemus Qua- hbha ἐεri drangulum cum datae reistae Lines numerum in seipsum multiplica uerimus, eodem do S Triangulum sed cum aliunde ad rectae i- balneae Extrema Lineas rectis coniunxerimus, Una ex hiS aequilaterum οἴ, εχ Triangulum construimus . &Circulorum descriptio prodest ad in ueniendum Signum illuria quo rectas Lineas ad Extrema propositς ne oriatuere, hae Lineae corinectere oportet. At haec quidem conspicua sunt.
Ostendendum est aut q, rectis Lineis, a quibus Quadrangula descri-huntur aequalibus existentibus, ipsa etiam aequalia sunt. Sint enim inquales ipsae a b, ed rectae Lineae, di ab ipsa quidem a b deseribatur a b eg Quadrangulum, ab ipsa Me He d.ipsum e d h f, &connectan tur g b,hdrects Lineae. Quoniam igitur rectae Lineae a b, e d aequales
sunt, ipsae etiam a g, h e sunt aequa les , aequalesque Angulos compre
hendunt, & Basis g b Bas lid in qualis,dc Triangulum a b g Triangulo ed ii,& ipsorum duplicia sunt
aequalia. Quadrangulum ergo a c uiarangulo e s inaequale non est . Veruntamen Conuersum quoque verum est. Si enim inadrangula sunt aequalia,rectae etiam Lineae, a quibus descripta sunt ae quales erunt. Sint enim Quadrangula aequalia ipsa af, eg , &Ponamur ita Ut in directum sit La tus ab Lateribe. com itaque An guli recti sint, recta quoque Lineas is rectae Lineae b g in directum est. Connectantur se, ag, af, eg rectae Lmeae . Quoniam igitur a s Quadrangulum aequale est eg Quadrangulo Saf b Triangu-gulum cib g Triangulo est aequale commune apponatur hi , Trianis
289쪽
Praesens Theo. ad Pythaeo ra refert, qui et sacrificauit i i- uentione . vide Uictruvium.
Triangulum. Totum ergoa e f Triangulum Toti e f gTriangulo aequale est. Paralis Iesa est igitur ipsa a g , ipsi s c. Rursus quoniam,tu ipse ala, tum ipse e g b Angulus dimidia recti pars est, ipsa a f, ipsi e g est Parallela. Aequalis igitur est recta Linea af reetae Linear c g, Parallelogrami siquide Latera ex oppositoia centia sunt. Quoniam ita μduo sunt Diagula a b Lb c g, quae Alternos Angulos aequales habent, quippe cum ipsae a te g Pa rallelae sint, necnon Latus unum ipsum scilicet af Lateri egaequale, i atus quo a b Lateri b c,& Latus b f Lateri b g erit squale. Oste- sum est igitur quod Latera etiam a quibus descripta sum a se g Ddrangula,aequalia sunt,aequalibus illis existentibus.
InreelanguIis Triat lis Quadrangulum qiloda Latere rectum Angulum subtendente desesbitur,ae ivile est Quadra- γgulis, quae desoeibuntur a Iateribus t circa rectum A pulum iacentibuS.
S I eosquidem qui antiqua enarrare volui audiamus, prssens Theorema ad Pythagoram referentes inueniemus, Sc dicentes eum cum id inuenerit bovem immolasse. Ego vero miror quidem Sc eos,qui primi huiusce Theorematis veritati incubuere. magis aute admira tione prosequor Elementorum institutorem, non solum, quia per euidentis ginam Demonstratione hoc couicit, veru etia quia & quod ipso uniuersalius est Scientiae rationibus, quae coargui, convincique mihime postum in sexiblibro persuasit. nam in illo uniuerse oste dit quod in reistangulis Triangulis sorina, quae a Latere rectum An gulum subtendente deseribitur, aequalis est sermis, quae a Lateribus redium Angulum comprehendentibus priori illi sermae similes simi fiterque describuntur. nam omne quide Gadrangulum omni Gadranguis est simile non autem omnia sibi inuisem similia red ilin
auadrangula sum. in Triangulis siquidem . aliisque mul angulis
290쪽
1 militudo est. Ratio igitur, quae demonstrat sornaam, quae t La. tere rectum Angulum subtendente fit siue Quadrangularis sit, siue i. qualiscuiacv alia, aequalem sormis, quae t Lateribus circa rectum Angulum existentibus priori similes similiterque descriptae sunt, quoddam magis uniuersale ostendit, quodque scientiae gignendae magis in isti vim habet quim illud quod ratio illa ostendit, quae Quadrangulum b. selum inadrangulis squale affirmati ibi enim Sc causa manifesta ' fit si rectitu uniuersali ostenso, quod utique Anguli rectitudo aequalitatem praebet sormae, quae a subtendente ipsum Latere des ibitur, ad omnes betudo, formas, quae a Lateribus ipsum comprehendentibus priori similes, similiterque descriptae sunt. quemadmodum Hebetudo quidem, em nux 'sitq;eessum: Acumen veri, diminutionem. Quomodo uacp ostenditur Theorema, quod in sexto libro est, ibi perspicuum erit. Quomodo
autem praesens verum est, nunc consideremus, hoc tantum adiiciei &ter-xes, quid hic uniuersale non debet ostendi ab eo, qui nihil de rei illi .nearum Figuram similitudine docuit, ne omnino aliquid de Pro
portione ostendit. multa enim eorum, quae hic magis parti l- di, siemst tim, , in illo magis uniuerse per eandem viam ostensa sunt. Osten dit igitur Elementorum institutor in praesentia Propositum a com- ponere. muni de Parallatovamis contemplatione. Cum autem rectνngula Triangula duplicia sint, alia quidem aequicrura, alia vero scatena, in αquieruribus quidem nunquam inueniemus Numeros, qui Lateri- cta utimbus congruant. non est enim quadrangulus Numerus quadranguli Numeri duplus. nisi quis proximiorem dicat . qui enim a Septena- quadran
ei fit eius,qui fit a Qsinario duplus est, unitate deficiente. in scat nis vero fieri potest ut Numerisu piatur,&euidenter nobis inem drangividitur quod a subtendente rectum Angulum fit,aequale iis, quae iLR- dii=iu, teribus circa rectum Angulum existentibus fiunt. huiusmodi enim est quod in Libro de Republica est Triangulum, cuius rectum An- lemento gulum Ternarius,& araternamus continent, ininarius autem eum Me subtendit. Quod igitur a Quinario fit Quadrangulum , aequale est Triangulis iis,quae ab illis fiunt. hoe enim est vigintiquin , quae autem abills ἡ: ha: ν sunt quod quidem a Ternario, nouem,quod veris a Quaternario se deesm. Perspicuum ergo est in Numeris quod dicitur. Tradit paute munt Tria sunt & viae quaedam inuentionis huiuscemodi Triangulorum, quarum unam quidem ad Platonem reserunt, alteram vero ad Pythaia meros in
mia, quippe quae ab imparibus orta est Numeris . ponit enim datu 'isse;bis imparem Numerum tanquam minus Latus eorum, qus circa re mam ut, Angulum sunt,&cum acceperit eum,qui ab ipso fit quadrangulum, toti .