장음표시 사용
261쪽
Spatium tamen Spatio minus . ipse nanque beta minus es . A guiorum igitur inaequalitas Aream imminuit, Longitudinis autem accretio quantum illa abstulit, tantum adiiciens, Spatiorum aequali-
Terminus talem seruauit. Terminus autem accretionis Longitudinis,ipse Pa. rostitudi rallelarum Linearum Locus est. nam recitangulis quidem ambobus Di Par Parallelogrammis existentibus 5 aequalem Ambitum habentibus.
rum qua- Quadrangulum Parte altera longiori maius eue ostenditur: aeqvdat, P hi ii vero ambobus existentibus, S squalem habentibus Ambitum, telaru Li- quod est re fiangulum maius esse ostenditur eo quod rectangulu non pu1di, si est. Angulorum nanque rediitudo, 8e Laterum aequalitas omnem habet vim ad augenda Spatia. Vnde sane Quadrangulum quidem omnibus,quar equale Ambitum habent maius estevidetur: Rho-ralleiosa boides vero, nictis minus. At haec quidem alias ostendemus. ma C I, , a enim Suppositionibus secundi Libri conueniunt. Quo ad prae turd quide sens autem Theorema sciendu est quod Parallelograma aequalia di-R bibo cens, Spatia dicit:&non Latera. in praesentia siquidem de Areis seride vero mo est : & quod nunc primum in huiusce Teorematis Demonstra Exhoeio rione Trapezibium mentionem fecit . ex quo mani sestum etiam fit, quod non ab rein Suppositionibus hoc quom quid nam sit edocuit. s.cabe,' quiadnempe Quadrilaterum quidem genere, non autem Parallelo- tib b granamum . quod enim qu sex opposito sunt Latera , de Angulost Euclidis non habet aequalia. 8 Paralselogrammorum excidit ordine . Ele te isti u iis mentorum itaque institutor cum dissiciliorem Casum elegisset, Pr ης xpψ' positum demonstrauit. Siquis autem dicat, sint Parallelogramma Docume- R cbd, A bde esiper eadem: Basi
qiiid. Parallelogrammi , ab , ostende- Reliqd io mus quod ex f hoc Loco aequalia
huius Thς sunt. Tria pulum enim bcd.Vtra Casus. usique dimidium et t. quoniam Ip-
. . sius quidem a b. Di metiens est La
σε ne loci. tused : ipsius vo ode, LatuΚch. Di metientes autem Parallelogra
ma bifariam secam. Parallelogra muni ergo a b aequale est Parallelogramo d e . Rursus siquis supponat Latus ac ipsius a b Parallelo grammi seeari a Latere det sicque iacere Parallelogramma quem ad 'modum ipsa adh e b de qstendemus quod haec etiam squalia sunt.
262쪽
cum enim Latus a e Laterie s aequale fit, utrun ν enim cum ex opposito iaceat,aequale est Lateri d b. Auferatur communis e e recta Linea. Aequalis
est igitur a Qipsi e L Uenim a d etia squalis est ipsi e b,& A ngulus c a d Angulose b. Parallela enim est ad, ipsi e b. 8 Basis igitur e d. Basi fb aequalis est,totuque a d e Triangulu toti e b f Triangulo est squale. Comune
adi ciatur eb Trapeziu. Totu igitur ab,totidfinsquale non est. Et vides qu/d isti tres soli sunt Casus. Latus enim d e aut secat Latus e di
vi Elementorum institutor accepit: aut in Signum e cadit, ut in penultima descriptione: aut secat Latusae, ut in praesentia supposui mus. S iuxta omnes Casius Theorema veru esse ostensum est, ε nisi quod duplex Trapeziorum dissirentia cum sit,sc alia quidem neutruo possiorum Latenim Parallelum habeant, alia vero reum uni, in Trapezi3s, quae apud Geometram sunt,in praesentique descriptione
altera est Species. ipsa enim c e,ipsi d b est Parallela. PMeedens quidem Theorema easdem Bases accipiebat, hoe veris aequales quidem, disteretiles autem ab inuicem. Commune autem ambobus est Parallelograma in eisde sui ponere Parallelis. Oportetigitur ipsa neque intra subiectas eadere Parallelas rectas Lineas, ne pextra. Parallelogramma enim in eisdem dicuntur esse Parallelis, cum Bases ipsorum,& quae his ex opposito iacent Latera eisdem P rallelis coaptantur. Cyterum Elementorum quidem institutor cum Bases omnino separatas suscepisset,Theorema ostendit. Nihil auteimpedit ita etiam ipsas suppositas accipere, Ut quandam comunem habebant partem. sint enim a b, c d Parallelogramma, super squalibus Basibus e b, sd communem partem habentibus, & in eisdem Parallelis dico quod aequalia sunt. Connectantur e c,b g rectae Luli nes.
Euclidis hic appellauit. vide et c5. 18.
ma ieiide dicat esse Parallelis. Reli et duo Casius lici
263쪽
neae. QuQmam igitur ipsa es, aequalis est ipsi bd, etenim Bassi e bBasi fd aequalis erat. sed Latus c f Lateri dg est aequale , 8c AnguIuscf e aequalis Angulos d b,& ceigriir ipsi b g squalis est. est autem
S Parallel, ijsi. Parallelmrammuemo est ipsum c bi habetque eandeis alim eum utroque Parallelogramorum ab c d N in eisdem est Parali s. Paralleloyammum igitur ab ParallaIogrammo edest squale. Si quis autem neque communem habentes partem, ne a se in-u cem separatas Parallelogramorum Bases supponat, verum quod solum reliquum est se inuicem tangentes in uno Signo,ut in Paralle logramis ae, e d. dicemus quod Baiis
b.e, Basi e L & Lateri e d est aequalis.
Quamobrem&rei talineach, rectiae . Lineaed e aequalis, & Parallela est. quae enim aequales, A Parallelas con
iungunt, ualeg 8c ipsae, Parallais psunt. Parallologramum igitur est ipsum bd. S est super eisdem Basibus, Se ineisdem arallat elis cum ipsis cde Parillelogrammis Aequalia ergo sufitcs , de ParalleIogramma. At nos quidem iuxta primam notionem Theorematis Con structiones divisimus cum dicebamus Bases aut communem habe re partem, taut tangere tantum se inuicem, aut i se inuicem distare. Fieri autem potest ut quanuisse se tangatit quemadmodum ipsς be, es, tot a d e Parallelogramum extra Latus e supponatur, vel ceLatus congruens ipss a e rectar Lineae , vel Latus c e secans Latus a cimi Latere ac producto Usque ad Signum h Latiise e cadens tamquam Di metiens Parallelogrammi he quando Nd s Latus ident fuerit cum recta Linea a fi mi t e Latus secans Latus a li, vel a h La texe produci que ad k Signum Latus e e cadens extra Signum h, L ua d ecm Larus ala ' Vel congruens . T
265쪽
JI C tibi animaduertendum est candide Lector, quod praesens decimum Procli commen latium imperfletum a nobis repertum est in omnibus exemplaribin , quae ad hoc usque tempus ad manus nostras peruenere. ideo quale se se offert, tale in ordine suo imprimendum esse censui, ne te laterent pauca ea , quae in eo reperiuntur. Vt autem clare eius imperfectionem cognoscas, nonnul-Ia sunt mihi percurrenda, quibus cuncta, qua in eo continer iniursi integrum esset, paucis complectar. CLm itaque Proclus noster primum communitatem, atque disterentiam praesentis, & p Dce dentis Theorematis tradidister, docuissetque obiter quomodo PMrallelogramma in eisdem dicantur esse Parallelis, more suo ad ex ponendos Constructionis Casus se se accinxit. Casus autem apud eum videre potes tres in vn uersum,&iuxta primam animi notionem se se nobis offerunt, e quorum numero unus quide est ille, quem Euclides in sua Constructione suscepit: reliqui veris duo sunt ii, quos Proclus declarare sibi proposuit. quoς sine cum declarauerit, A ostenderit quod Theorema uniuerse in his tribus Casi bus veritatem nanciscitur , statim quod erat consequentcr exponendum adiecit, horum nempe trium Casuum Diuisionem una cum Theorematis in omnibus Casuum partihus Demonstratio ne . Uertim Diuisio quidem talis est. Quum Parallelogrammo rum super aequalibus Basibus , in eisdemque Parallelis existen tium tres sint Constructionis Casus , SC Bases ipserui naut omninoi se se disiunctae sint, ut Elementorum institutor supposuit: aut in uno tantum Signo coniunctae, ut Proclus in secunda sua deseri psione: aut quandam habebant partem commvncm , ut idem in prima, quilibet adhuc horum trium Casuum septem habet partes.
266쪽
nam st quidem communem habuerint partem, ut exempli gratia ipssabed Latera sane hisce Basibus opposita qus sint e fg h,aut ita a sese
distant ut quodam interea iaceat interuallum, ipsum scilicet fg: aut in uno tantum Signo, inquo coincidunt etiam Signa fg: nempe in Signo feoniundia sunt,ut ipsae , sh: aut quandam habent partem communem, ut puta ipsam g s: aut sibi inuicem congruunt, & tunc Signa g h eoineidunt eum e PSignis: aut Prodacto Latere e f, po sita Lineah ea quali ipsi ef, Latus gheommunem habet partem Ncum Latere e f, ut ipsam eli,& cum Linea E e, utpote ipsam ge
267쪽
aut totu Latus gli cadit super tota Linea k e, tagitque Latus e fui Si-g io e tantum,& tunc Signa g h coincidunt cit iplis h e Signis: aut pro-d a sta rursus Linea k e. 8 polita Linea I h aequali ipsi he, Latus gliparte habet comunem 3c cii Linea k e, ipsani scilicet h h. S cu Lineal k, ut ipsa g k,Sc tunc Latus g h distat a Latere es, ipsi h e interuallo.
Si vero penitus a se se disiundiae liberint, ut ipsae a b,e d, Latera potetis e fgh, quae hisce Basibus e regione sitnt, aut δέ ipsa a se se distant in
268쪽
teruallo fg: aut in uno duntaxat Signo se se tangunt, videlicet in Si gno ficum quo etiam g Signum tunc coincidit: aut quandam habent partem communem, utputa ipsam g s: aiit Latus gli cadit super L tere e f, coincidendo Signa gh cum e i Signis: aut producto Latere e L 8c p6sita aequali he Linea ipsi es, Latus g h comuni fiuitur parte tum quidem cum Latere e Lipsa scilicet e la tum vero cum Linea k e,
nempe ipsa g e: aut L atus g h congruit Lateri k e, & Signa g h eadesunt cum Signis k e, tangit 'U Latus e sin Signo e duntaxat: aut pro ducta adhuc Linea k e, & posita aequali Linea l k ipsi h e, Laius g hcommunem sortitur partem ipsam quidem h li cum Linea k e,ipsam
vero gh cum Linealh tuncque Laius g h a L atere e finieruallo hedistat. Si autem in uno tantum Signo coniunctae fuerint, quod re liquum est, Septem iterum modis Casus ipse varietatem suscipit . Veruntamen quoniam varietatem hanc apud Proctu ipsum videre potes in fine enim Diuisionis huius Casus comentarium deficit, ideo in ea non amplius immorandum arbitror. Talis quidem est Diuilio Cassium, quam aggressiis est Proclus noster in prssenti comm en tario in quo non extat nisi Casus illius Diuisio qui Bases aequales Parallelogrammorum in uno tantuni Signo coniunctas supponit: reli quorum autem duesum Casuu diuisiones eum Demonstrationibus Theorematis in Singulis Casibus desiderantur. forsan cum quadam etiam pulchra consideratione, aut documento in fine comentarη, Ut autoris mos est . multa enim pulcherrima ab iis, qui ingenio valent ex hoc, praecedentique Theoremate colligi possimi, quae ad uniue sim Geometriam maximὸ conducunt. Verumenimuero de Diuisione quide hscsussiciat. Demostrationes aut e prssentis Theorematis iuxta singulas Casuu partes tu quia faciles sunt, tu breuitatis causa mPrssentia silentio inuoluam . aptior enim erit locus in commentariis nostris diffusius S singillatim eas examinare. Hςc erat mihi dicenda Iector benevole de imperfectone huius comentarii, quod si aliquando integrum ad manus meas peruenerit uni eum sequentis undecimi comentarii principio, quod etiam in omnibus exemplaribus imper feeium est, te participem facere polliceor.
269쪽
Initium hes Cominentarit Desideratur.
c., affirmant. zequalibus nanque illis existentibus,Spatia insqualia:&insqualibus, squalia ostenduntur. Tale aute quid Chorographi Choram perpessi sunt Urbiu magnitudines ex Ambilibus ratiocinantes. Olic eris quidam postasionum participes in diuisione eos quivna cu ipsis diuidebat deceperui, quippe qui Ambitus excessu abusistini,plura' Ide falsitu sumpserunt cum peragrates eam suscepissent possessione, qus a m tori Ambivi continebatur : Aream autem clim in quaedam Spatia,qus minori fiuctativir ambitu immutassent,optimi existimati filere. duobus enim squacruribus Triagulis propontis, quorum unum quidem utrunque aequalium Laterum habet quinque, Basim vero sex
eorundem: alterum aut , utrunque quidem aequalium Laterum quinque Basim veto octo eorundem Ferbi graria cubitorum, aut diu gitorum,magnopere horum rudem in electione decipiunt. nam hoc
quidem Ambitum octodecim habet, illud vero sedecini earundem metu arum. At Geometricus vir non ignorabit quod Spatia squalia simi, quantiis Ambitus inaequales se erint . utrun siquidem duo decim est. si enim i vertice perpendicularem duxeris, bifariam qui dem Bases diuides,efficiesque in altero quidem trium,in reliγo vero quatuor Baim dimidium : ipsam autem Perpendicularem e contrMxid , illic quidem quatuor, hic vero trium . Uportet siquidem quod i natio ei, quod a Perpendiculari, at ei, quod a Baiis dimidio fit esse aequale. Uerum si hoc quide tritim Herit, Perpendicularis qua tuor : Κ si hoc quatuor,illa pruncto trium erit. Clim igitur Perpeni dicillari Basis dimidium multiplicaueris , quod Trianguli Spatio
est aequale habebis. hoe autem iuxta utruncpidem est siue Ternario Quaternarium, siue Quaternario ternarium multiplicauetis. Haec
quidem diruiunt ad ostendendum quod Spatiorum aequalitas non
270쪽
omnino ex Ambitibus accipienda est. ne a d miremur si cii Triati gula,quae super eadem Vasi sunt iuxta reliqua Lutera intra easdem parallelas in infinitum augeri possint, Spatiorum tamen aequalitas im- nautabilis manet. Illa autem Triangula in eisdem Parallelis dicenda sunt,quaecunque super altera Parallelarum Bases cum habeant,in re Iiqua vertices figunt quorum Linea ad Uertices connexa, una re
Eta Linea est,ia Basibus Parallela super eade resta Linea iacentibus. P Raesens quoque Theorema locale quidem est, quippe quod Parallelogrammis proportione respondet, & Triangulorum situ super aequalibus Basibus supponit. Videtur autem mihi Euclides horum quatuor Theorematum, quorum duo quidem in Parallelogrammis ostensa sunt,duo Vero in Triangulis: & alia quidem eadem existente Basi,alia vero Basibus squalibus existentibus,unam Demonstratio nemin sexto libro per primum Theorema tradere, latereque vulgus eum hoc Reere . eum enim hoc os edat,Triangula, & Parallelograma, quae sub eadem sunt Altitudine, eandem habere interseratio nem,quam habet Bases, nihil aliud quim haec omnia magis uniuerse ex ipsa Proportione demonstrat. eadem nancti Altitudo nil aliud est nisi in eisdem esse Parallelis . nam Figuno omnes, quς in eisdem sunt Parallelis, sub eadem Altitudine sunt,&contri. Altitudo siquidem est Perpendicularis,quae ab altera ParalIela ad reliquam se extendit. Illic ita per Proportionem ostensum est quod ita se se habent Triangula,& Parallelogramma, qus sub eadem sunt Altitudine,hoe est quae in eisdem sita sunt Parallelis, ut Bases. 8 aequalibus existentibus Basibus, aequalia sunt Spatia: & dupla, duplis :& aliam rationem habentibus, eandem habebunt & Spatia inter se rationem. In pri
1 mtia vero quoniam non decebat Proportione uti eum,qui nondum de ipsa docuit contentus est aequalitate sola,at identitate . ex aequa litate enim identitas Bassum colligituri In uno igitur illo quatuor hse Thein emata eomprehenduntur . non tum quia Una Demonstra tione ostendit quareun in hisce quatuor continentur, verum etiam quia plus quid addit,identitatem Uti. rationum,quamis inaequales