장음표시 사용
271쪽
Bases fuerint . Haec de his. Quod autem hoc quo Theorema mulitos habet Casus, quodque fieri pota ut Triangulo,um Bases aut
eandem Pari habentes imantur, quemadmodum in I arallelogrammis: aut nulla quidem communi parte fruentes, iuxta vero Signum Vtium se se contigentes: aut etiam omnino separatae ita ut inter ipsas Linea sit, mainestum est iis etiam, qui paululam intelligere potant. & quod iuxta omnes Casus utcunqν Bases sitas habeant,aut V eri reseadem via est. Parallelas nempe Lateribus duceten sic Te vitruiet , Triai limamque aequaluatem ostendere
ςφ i QVandoquidem squilitata ostendere nobispropositum crat,tum: quatuor numero Theoremata factinamus,duo quidem in Parallelogrammis, duo vero in Triangulis sus plantes, aut super eisdeni, aut super aequalibus iacentibus Basibus. Nunc autem comaertcntes,qus f quidem in Parallelogrammis Conuersa sunt putermisimus, quae Conuet e verbin Tetiangulis emoria d nacensisimus. Causa ver6. quonia; .hbh modus quidem Demostrationis idem est in illis etiam indit enter,pe inductionem ad impossibile,similemque Construci ionem. eo proelis se tenti autem sumus cum in simplicioribus, Triangulis inquam,viam ostenderimus,relinquereris, qui magis curiosi sunt,in caeteris quoque eadem ratiocinari. quandoquidem eandem in his etiam ese viam ωcile est simul agnoscere . nam cum acceperimus aequalia Parallelo, gramma super eadem risi, aut etiam super aequalibus,dicemus quod in esidem quoque sunt parallelis. Si enimnon sunt, aut alterutrum eoru intra cadet productis iis, qus in altero sunt parali elis aut extra. Vtcunque autem ceciderit, cum acceperimus illud, & quae in eo sunt Parallelas, ostendemus quae in Triangulis etiam ostenduntur. quod utique Totusuae pariteritor quale. hoc veia fieri non potest. Ἀδdtia. autem iure Elementoruminstitutor partieulam illam addidit i At ad easdem partes a manifestum est. nam fieri potest ut supereadem Bast squalia Triangula summantur,unum quidem ad hasce partes,alteruvero ad alias attamen non omnino in eisdem haec sunt Parallelis. seque enimsub eadem Altitudine sunt . Hanc iginir propterea adiς
272쪽
et particulam. Cum autem dupliciter Parallela ipsi duci possit iu- ν 1;qiui dita absurdam suppositionem aut intra. aut extra, ipse quidem Eucli- .des intra eam duxit: nos vero extra ducentes, eadem ostendemuS. m, Casui.
Sint enim a b c , d b c Triangula aequalia super una Basi, ad easdemque partes dico quod in ei Dde sunt Parallelis,& qus ad veratices ipsorum connexa est recta Linea Basi est Parallela. Con nectatur a d recta Linea. Si autehse Parallela non est, sit qus ex tra hanc iacet ipsa nempe a e, es
producatur ipsa b d usque ad e
quale e igitur Triagulua be Triangulo ebc . Verum Tria angulum ab e equale est Triangulo d be. Triangulum ergo e b c Triangulod b c est aequale, parti Totum. At hoc fieri non potest. non igitur extra ipsam a d, Parallela cadet. Ostensum est autem quod neque intra, apud Elementorum institutorem. Ipsa ergo a d ipsi b c Parallela est. In eisdem igitur sunt Parallelis aequalia Triangula , quaeque ad easdem partes, & super eadem Basi sunt. Demonstrata est laque reliqua etiam Deductionis ad impossibile pars . Adnotatu autem dignum est quod is, isso. Triplex chim fit Theorematum Conuersio aut enim totum ad totueonuertitur,quemadmodum octauumdeEmum, S nonumdecimum Triplex diximus aut totum ad partem, Ut sextum, A quintum: aut pars ad parte,ut octauu,5 quartu . non enim totu in altero Datu, Que situ in xi δ
alicto est: nec Qussitsi, Datu sed pars videntur talia esie hsc quo Theoremata in Triangulis. erat uidem Quaesitum in praeceden tibus, Triangula equalia esse hoc autem non selum in his Datum est quippe cum partem inseper sumpserit eius, quae in illis erat seppositionis. hoc enim, super eadem esse Bast, oes super aequalibus, cum in his tum in illis datum est, praeterquam quod in hisce silppositionibus quoddam adiecit,quod quidem nec Quaesitum , nec Datum in i Ilis erat . particula enim illa L ad easdem partes 2 extrinsecus insuper i cassumpta.
273쪽
CSt &mocius Conuersionis idem in hoc, & Demonuratio similis. 8 qus ab Elamelorum institutore Deductionis ad impossibile prae Y- - termissa est pars eodem modo demonstratur, Ac no est opus eade re Cum autem tria haec sint indictis Propositionibus, superar--αoe, qualibus, vel eisdem esse Basibus: in eisdem Parallelis: 5 aequaliam Toς' -THansula,& Parallelogramina manifestum est quod duo sem
per contexentes, unum vero relinquentes, Uarie conuertimus. aut
enim Bases easdem,vel aequales sup nemus, in eisdemque Paral Ie-lisi angula,& Parallelogramma &ficiemus quatuor Theorem ta : aut aequalia ipsa suscipiemus, & Bases easdem,vel aequales, S f-a 'T quatuQr, quorum duo quidem omisit Elementorum in ἔ--i eo. stitutor, ea nempe quae sunt in Parallelogrammis, reliqua vero duo ostendit, ea porro quae in Triangulis sunt: authcum aequalia sum pserimus, 3c in easdem Parallelis, reliquum ostendemus, quod uti vel super eisdem stini, vel super aequalibus Basibus, & faciemus aliam, Scio quanto quae sane omnino etiam dimisit Elementorum institulor. in . hisce nanque eadem est Demonstratio, nisi quod duo ex his quatuor mi erit Eu per se vera non sunt non enim aequalia Parallelogramma, vel Tria. - , a angula,&qus in eisde fiant Parallelis,necessario seper eade Basi sunt sed totum hoc in histe suppositionibus Periam est,qudd super eisdem. sunt Basibus,vel stiperaequalibus. alterum autem non omnino sum ptas suppositiones consequitur. Quapropter cum decem sint om rua haec Theoremata, Sex quide Geometra perscripsit,quatuor veta praetermisit ne rursus eadem ratione frustra laboret, cum eadem sit Demonstrario . ostendatur enim
in Triangulis quod si aequalia se
iud- - eisdemque Parallelis,aut si per eisdem ut seper squalibus BD sibus inicita n5snt enim,sed si fieri
274쪽
sit maior ipsa b c , SI abscindatur b h, quae sit aequalis ipsi e f. eonne claturque ipsa a h. Quoniam ita Triangula a b h,d e fsuper squalibus sunt Bainusipsisbli, e L ineisdemque Parallelis, squalia uti
sunt. Atipsa quoqueabe, des iangula supposita sunt aequalia. Triangula ergo abe, ab hariusia erunt quod fieri non potest. Non sunt i urinaequales ipserum ab c d ef Triangulorum Eas s. idem aut edenisustrandi mod in Paralta amis etiam erit. Cum ita &via incia silanis eademst,&id quod fieri non potest,ide, quod sci-icetaotu supparii estsqualmonimemto ab Elementoru institutorep termissum seit. Dictim est itaque quoddecem necesibio sunt Theoremata, & quae sintea, qus prstermissa sunt, quaque si horum reticentiae causa. Verum transeamus ad ea, quae post haec con
E8t quidem praesens quo Theorema locale miscet autem Triangulorum , 8c Parallelogrammorum constiputionex sub eadem Alti tudine iacentium . Quemadmodum igitur Parallelogramma seo sum perspeximus, itemque Triangula, ita cum simul etiam utraque sumpserimus idem cum Illis perpesia, quam habeat inter se rationem contemplabimur. In illisi tur qualitatis apparet ratio, omnia staquidem imose sunt aequalia quς super eisdem sunt Basibus siue Triangula , siue Parallelogramma, in eisdemque Parallelis. in his vero prima tuae qualium rationum ipsa nempedupla ostenditur. Paral logrammum enim Trianguli duplum esse demonstrat eadem Basi,
eademque Altitudine existente. At Elementorum quidem insti- Casu huitutor cum Trianguli Verticem extra Parallegogramum stipposuerit, Propositum ostendit. Nos autem eum in altero Paraillelogrammi Latere quod communii orum Bast Parallelum est, eum sumpseri mus, ide demonstrabimus. duo siquide sunt hi Theorematis Casus. Quandoquidem eadem ambobus existante rufi, aut intra Parallelo granium Vertice habere Triangulum necesse est aut extra. Sit igi tur Parallelogranavi a b e cd Triangulum, ponatur Signume inter a.& h Signa,connectaturque ad reeta Linea. Quc am itaῬ
275쪽
Parallelogrammu Trianguli die d est
duplum, friangulu autem ad c squale est e de Triangulo, Parallelogramum porro ipsius e c d Triaguli duplum est . Quod igitur eadem existente Basiduis plum esse Trianguli Parallelogramum
ostenditur, perspicuum est. Si autem Bases aequales fuerint, eodem: sta, ill modo offendetur, t Parallelogrammi Dimetientem nobis ducenti log bus . Triangulis enim aequalibus existentibus, Parallelogramum,
quod alterius duplum est ,reliqui etiam duplum erit. Triangula vero aequalia sunt propter Basium aequalitatem, Altitudinisque identitae. 'Lό, Izia1 . Iure igitur haec quo Geometres omisit, eadem enim est De ,einata in monstratio . a iam aut eandem partem habebunt, aut in Uno tan- b, gu tum Signo coniungentur, aut separatae erunt ab inuicem . Utcunqueel.)ςβ prae autem haec varietatem suscipiant,vna est iuxta omnes Casus Demostratio. Atqui Conuersia quo φ huic Theoremati eodem modo D monstrabimus. quorum vinum quidem est, Si Trianguli Parallat
uer: innis gramum duplum fuerit, eandemque Balam,aut aequales inu cem habuerint, fuerint autem ad easdem partes,in eisdem erunt Parallatis. Si enim non erunt, Totum suae parti erit aequale, eademque ratio vigebit. necesse est enim aut intra Parallelas Trianguli Vertice cadere, Nota aut extra . Utro autem sese modo habuerit idem sequitur impossibi
la ducta Parallela ipsi Basi per Trianguli Verticem . Alterum veris Theo. , ut est,Si Trianguli Parallelograminu duplum fuerit in eisdemq; ambo 4b, a. i fuerint Parallelis,seper Una Basi aut super aequalibus emant si enim post pi super inaequalibus, cum aequales si impserimus, uniuersum Totu suae parti aequale ostendemus. In hoc igitur comune impostibile omnia z. i hec Theoremata de linunt. Quare Elementorii institutor nobis re aut p- liquit eam,quae in his est arietate inuestigare, cum in limplicioribus ipse, S principalioribus contemplatione t contraxerit. Uerum enam.
P ' M ,, uero quoniam haec quoque in memoria reuocata sunt, age exercita iieeti eiu tionis causa nos Parallalograrim non accipiendo sed Trapeziu. euius
duo tantum Latera sunt Parallela. quippe quod eandem cu Trian Di ressio gulo habeat Basim dum in eisdem iacet Parallelis, videamus qua ad 44-43D, Triangulum rationem habet. Quod igitur duplam non habebit, alia i hiu' perspicuum est. Si enim duplam rationem haberet, Parallelogra . Q mum esset cu Quadrilaterum porro fit. Dico autem quod aut duploe G Rut minus . cum enim duo Latera Parallela sint, omninonis mola. unum quidem est maius, alterum vero minus . quoniam aequalibus existen
276쪽
existentibus, quae etiam ipsa coniungunt, Parallela erunt. Si igitur Triangulum maius Latus Basem habuerit, minus quam duplu Trbanguli Qgadrilaterum erit: Si ve ro minus, maius. Sit enim ab ed Quadrilaterum, sitque minus LM
tus a b Latere e d, & producatur Laius ab in infinitu,& Trianguluee d eandem habeat Basim cum tittilatero, ipsam nempe e ridula que per d rinum ipsi ae Parallela,qus sed . Duplum est igitur Trianguste edipsum ac d sParallelogrammum. Quare a b c d Quadrilateru minus quam duplum est. Rursus habeat Triangulum Basim ab , ducaturque ipsiae Parallela b f. parallelogramum igitur ab se duplum est Trianguinti . Quapropter QuadriIaterum ab ed maiusquam dupluest. His ita ostensis dicimus quod Quadrilatero existente, cuius duo tan- tu Latera ex opposito iacetia sunt
Parallela, si quidem ab altero Parallelorum Laterum bitatam dissi cto ad reliquum rectae lineae ducitae fuerint eius, quod fit Trianguli aut maius quam duplum Quadrilaterum est, aut minus. Si vero ab altero eorum Laterum, a quibus Parallela coniungunrur Latera bifariam sei to,ad reliquum rectae quaedam Lineae ducamr,eius, quod fit Trianguli duplum omnino Quadrilaterum est. Hoc ergo ostem datur . Sit porro inadrilaterum
b e d. sitque in ipso Latus a d L
teri e b Parallelum, & secetur bis . Ham Latus d e ad e Signum, dc co- ne stanturae, ebrectae Lineae, &producatur ipsa b e, coinesdatque cum Latere a d ad Signum f. in niam ita Anguli,qui sint ade Sibgnum aequales sunt, ad Verticem enim iacent, necnon Angulus f d e Angulo b c e est aequesis, Latus etias e Lateri e b erit squale,& Nangulum d e s angulo b e e squale.
cadit etia 'iter Parallelogram asi,& Τra pertu fuseade Easu elateisdem Paralleli
guli cum Traperio sup eadebasi no laeis de P rallelis, sed cia quada alia taditiise. 8e
277쪽
21 6 LIBERCommune apponatur Triangulum ade. Totum igitur aes a Ggulum duobus a d e,b c e Triangulis est squale. V erum Triangulua es aequale est aehTriangulo . nam super aequalibus sunt Basibus, - hie ad L ipsis nempe he,e in eisdemque Paral Ielis, . si reliqua ducta fuerit. Triangulum igitur aeb aequale est Triangulis ad e, bee, 8 Ἀast Proci: drilaterum ab c d duplum Trianguli a e b, quod erat ostendendii. ab aliquo Eodem sane modo ostendemus quod si etiam a Latere ab bifariam disiecto ad Latus e d quaeda rectae Lineae ducantur,eius quod fit Tri anguli duplum Quadrilaterum est. Si ergo ab altero Laterum, a quibus Parallela coniunguntur Latera bifariam sectio ad reliquum rectae quaedam Lines ducantur,eius,quod fit Trianguli duplum Quadrilaterum est. Haec quidem exercitationis gratia sim demonstratae. Ad
ea vero,quae sequuntur eundum nobis est.
Seholia ad Lectorem .l O C rursus in loco Lee orbenevole silentio
pretereundum no est quod in omnibus serὸ quς hucusin vidimus exemplaribus niaxima hic im perseetionem inuenimus . nam praesens quidem quintusdecimus Comentarius finem versus inuisti latus est, totus vero sextusdecimus quadragesimae secundae Propositionis comentarius, Una cirprincipio septimi decimi desideratur, praeter quam quod legimus in uno solo exemplari quaedam verba, quae videntur quintudecimum commentarium reddere integrum, S incipiunt ibi s si reliqua ducta fuerit J vsp ad finem comentarq, ut videre potes in Exemplari grinco Basilear impressio, in quo verba illa non leguntur quippe quae ut arbitror Procli germana non sunt,sed ab aliquo addita videntur ad
perficiendam Demonstratione quam autor inceperat. Vnde sanὶ ea euiusmodi se se nobis graece obtulerunt, eiusmodi latine reddidi mus,quoniam re quidem vera Demos rationem absoluunt, proptereaqtae habendae sunt ei gratiae, qui haee addidit, quaerere tamen hi iuste comentarn finem, qui costet ex proprηs Procli verbis,desistem Himar dum non est. Longiorem siquidem eo, qui nunc extat sermonem Proetum in hoc habuisse commentatio censeo , p imo quidem eo quod quu superius tum in octauo Commentario, quod est ultimum secundae primi Elementorum partis, tum in non quod inter Com
278쪽
mentarios partis tertis primas tenet,nec secudi parti lcri ia conc xc i Isinem tertie propolitu discusserit, queadmouu fecit iii principio cluat ii libri ubi porro cu in fine teri a prima parte epilogo terna inalacris , ante si ad vigesinisseptims Proposivionis expositionc accedcrct, qus s.c d-dae parcus principio fruitur integru interposuit Capitulia, in quo 1 cuda prims annexa ostedit, quecpin ea periraisiada erat ab I Lmcioiuinstitutore declaravit l,sc plane hoc in loco sacicdaciai,quil pecu iii hoc potissimum 4 heoremate tertiae partis Propositum appari. at. At nemo est,qui non videat, quod in fine quarti secimi Conuntarn nullum secundae partis fecit epilogum, sed nullo intercedente medio ad trigesim squinte Propositionis interpretationem se contulit: quod' in principio quintidecimi nec hasce duas partes inuice colligauit, ne mentionem ullam secit eorum, quae ab Euclide in tertia traictantur. quod non abrefactium existimo . cum enim haud sine causa Proclus noster in quatuor duntaxat libros sua in primum Elementorum Librum Comentaria diuidere voluerit non potuit inter quartudecim v, & quintumdecimum Comentarium haec facere,ne Comentariorum peruerteret ordinem, d quod modo cuiusdam quinti Libri initium siceret. inamobrem reliquum est ut in fine quint idecimi brcuiter tum istarum partium continuationem, tum ultimae propositum tetigerit,ne a Comentariorum serie diuertendo,nec quadripertitam li-hroium distributionem labefactando. Hac ergo prima quidem ratione perspicuum nobis est quod praesens,de quo loquimur C5men
tarius prolixiorem ea, quae in ipso reperitur orationem continuerit.
Secundo vero,quoniam digressionem in materia pulcherrima, difficilique aggressus est, quippe quae pluribus indiget verbis ad omnesipstus materiae partes explicandas. quum enim E uclides hucusque Parallelogramum Parallelogramo,& Triangulum Triangulo, 8 Parallelogramum Triagulo super eadem, aut super squalibus Basibus, in eisdemque Parallelis comparauerit,itidem Proclus noste qui passe sim in Comentariis suis utilitati studentium consuluit, hic quoque exercitationis nostrae causa Trapezium Triangulo, 8c Parallelogramo, itemque alteri Trapezio super eadem, aut super aequalibus Basibus, in eisdemque Parallelis comparare sibi proposint. Trapeziuinquam illud, quod proprie Trapeziu a Posidonio, a Proclo vo
eatur quippe quod duo tantum habet Latera Parallela. nam Trape Σωdea, quae etiam Trapezia Euclides comuni nomine nuncupauit nullam habet Parallelarum causa passionem nec in eisdem esse possunt Parallelis, cum Latera Parallela non habeant. nec est valida r
at proclus in sua di gressione.
279쪽
hεφεnsi, tio haec in Triangulis, quoniam alio quidem modo Figurae quadrga- ό . . quadrangulae alio vero tralaters in eisdem dicuntur c lie n. Parallelis. Quare Proclus ipse priusquam 4 rap zn cum Trianguis Io. vel Parallelogramo, vel alio Trapezio comparationem efficeret declarauit de quo Trapezio sit ei sermo, nempe de eo, quod propria nomine Trapeziu appellatur, postea incepit comparare I rapi tum Triangulo super eadem Bast, Sc in eisdem Parallelix, qua compar tione iacta. antequam eadem super aequalibus Basibiis,in eisdemquo Parallelis inuicem compararet, voluit obiter Trapezium Triangulo super eadem Basi 8 non in eisdem Parallelis sed cu alia conditione: necnon super aequalibus Basibus, non in eisdem Parallelis, scd cum quadam alia conditione comparare. At finem versus comparatio-tionis quae super eadem Basi non in eisdem Parallelis cum conditione bipertiis Lateris, quod est Basi oppositum sectionis si comenta' G ὸἰ rius deliquium patitur, deestque primum quidem comparatio Tr
gressi ne, Deetsi ad Triangulum super aequalibus Bassibus non in eisdem ParaI-eomenim Isis, sed cum hac conditione quisd Triangulum solum in duabus sit ParalleIis, quarum una cadat super communi eorum Base, altera suocet TrapEth Latus, quod est Basi eius oppositu in duas partes a qua les: secundo vero Trapezii ad Triangulum supersequalibus Basi hus,in eisdemque Parallaiscomparatio: tertio autem, Comparatio Trapezii cum Parallelogrammo super eadem , vel super aequat Ibus Basthus, S in eisdem Parallelis et quatio denique eadem Trapezia cuTrapezio comparatio: quinto demum , dcvltimo praeter quandam sui moras pulchra in fin e comentarii consideratione, aut documentu, deest procul dubio secundae, at tertiar primi Elementor u libri paseritu continuatio, necnon eorum, quae in tertia ab Elementorum in
stitutore pertractantur breuis commemoratio. Haec sunt ea, quae in prssenti comentario audicio meo desiderantur bi s in eisdemque P rallelis J quantas aliqoes Procli studiosus manu iniecerit, postrenia'
earurius nunc extant in eo Demonem perseeerit, ac demu ita comentariu epilogo concluserit,ut integru videatur. Veruntamen possbile
etiam estiscuncta quidem hae quae addita videntur Procli legitima, synceraque sint, deliquium vero comentatri incipiat post illa verba Trianguli duplum Quadrilateram est a quodque verba illa stimquidem J que postremusortita sent locum sint totius comentardepilogus. Aut sortasse etiam fieri potest ut defeetias in duobus sit sociis. primum ibi s Quadrilateru est a deinde ibi t sint demonstrata θ ita ut verbailla Haec quidem&c. 4 sint epilogus digressionis, illa autenis ad ea
280쪽
t ad ea veris M. 3 sint pars epilogi eorum, quae post digressionem
dixisset,ac deni totius comentar'. Aut inconueniens quoque non est quod omnia illa perba,quae incipiunt ibi Γ Hse quidem 3 usque ad illa s eundum nobis est a sint totius digressionis epilogus, secunda Φimperfectio sic se habeat seundum nobis est hoc prius obiter adnotato, quod ex praesenti potissimum Propositione apparet tertiae pri mi Elementoru partis Propositum, comunis nempe Tri agulorum, Parallelogramorumque eontemplatio i S similia. Verumenimue ro utcunque se habeat studiosis iudicandum relinquo,quos equidem hortari non cestabo ut mecum qu ere non desistant quous p omnes Procli commentarii persecti, integrique reperiantur, ne tanta, quae in eis est dod rina pereat. Haec quidem amice Lectori me dicenda censui partim ut ea tibi verba ostenderem, quς in quodam exemplari graeco ad huius comentarii finem adiecta mihi videntur, ne si alia quando integrum vel aliter se habere commentarium reperias,ea me addidisse existimes: partim etiam ut quae in ipso desiderantur paucis recenserem,de quibus alibi nobis erit accuratius pertraestandum. At
de his hin sufficiant. Commenta iuς Procli in hane Propositionem, qui esset in Ordine sAbisuri
sextusdecimus desideratur in omnibus, quae legimus exemplaribus, est et que nostrum eam commentario illustrare ut Euclidis ordo, at doctrina quemadmodum in caeteris aliis Propositionibus, ita etiam in hac eluceseeret. Sed quoniam propostium in praesentia nobis est Proclum sotu abs aliis expositionibus emittere, satius erit huiusce Problematis interpretationem alias una cum reliquis in Proclum nostris expositionibus edere. Nune vero satis sit adnotas se quod deest Procli totus sextusdecimus eomentarius,ut unusqui discendi
cupidus eum inuestigare conetur. at haec dehis. Altius autem ru sus exordium semendo perscrutemur desectum sequentis septimideis tr cfim eimi commentarii cuius initio caremus. Videamus igitur quae in eo reperiantur, ut de hs etiam, quae desiderantur sententiam asterre possimus. Qsu itaque tres quidem sinit huiuste trigesimisecundi Theore- idi tam k a matis Πο.