장음표시 사용
51쪽
36 Doctrinae Analyticae inuentum n OUUm. Inuenire quadrato-quadratum Cuius triplum additum alteri quadrato uadrato quam unitati, faciat quadratum.
4t Iubetur addi alteri quadrato-quadrato quam unitati quia alioqui res esset perfacilis,
nam triplum unitatis additum unitati facit ε. Item triplum quadratoquadratum i6 additum unitati facit q. pone ergo latus quadrato-quadrati quaesiti iN -I cuius quadra
---fiet valor c. ergo iuxta positiones latus quadratoquadrati erit in integris 3 cuius quadrato-quadratum 8 I triplicatum oc additum quadrato-quadrato numeratoris II. nempe I46 t facit I 88 . quadratum a latere Iaa.similiter capiendo duplum 3. nempe 6. eius quadrato. quadratum triplicatum additum quadrato-quadrato 11 hoc est dupli H facit a38i 4 quadratum a latere 488 rursus capiendo triplum 3 nempe 9 eius quadrato quadratum triplicatum & additum quadrato-quadrato 33 hoc est tripli ii iacit Iaosso4 quadratum a latere Io=8. &sc in infinitum.
Inuenire triangulum rectangulum in quo quadratum hypotenusae additum dato multipliciarere faciat quadratum.
1 Detur duplum areae & formetur triangulum ab IN & I latera sunt I Q I. r QTr. 1 N. quadratum hypotenusae est I Q Σ-- a QM- r cui additum duplum areae a C - a N.
facit t RQ a C --a 'a N--x aequandum quadrato finge latus 1 - i &fiet pro valore radicis at . non est maior I ergo non potest inde sormari triangulum quin habeantur numeri ficti, quare iteranda est operatio & ponendo pro noua radicet N. : iuxta quam si resoluantur singulae particulae numeri mox quadrato aequati fiet nouus terminus I QR 'Φ 3C- I - - 'an quadrato aequaudus finge latus u. - ' - . mo. 3e fiet valor radicis : : : ' huic adde ἰ ob nouam radicem , & hel valor pro primis positionibus zis '.' quare duo numeri a quibus formabitur recta ligulum triangulum erunt in integris 6 37 33 5 123728o. in unico casu problema est impossibile.
Inuenire triangulum rectangulum in quo area detracta ex quadrato unius lateris circa rectum faciat quadratum
pormetur illud trianguIum ab IN -I & q. latera sunt 1 QIII a N. I Q is - 2N. 8'i N -8. eius area C- Ia Q- 32N-- so sublata ex quadrato secundi lateris, quod est xQO- C-26 -- 6ON--21 .relinquit Ιχὶ ' 8C 'IqQ--IIa N- . i53 aequanduquadrato,finge latus i 4 N 'is. & fit valor radicis 'κ quare pono nouam radicem 1N-V. & iuxta illam resoluo singulas particulas termini quadrato arquati, fitque nouus terminus aequandus quadrato 1 QRI 38 C - fe -- . Finge latusi Q --N - & fit valor M vnde si tollas V ob nouam radicem, &ex residuo unitatem, ob positionem restabunt duo numeri sormantes triangulum in integris εο oi &α18o. igitur triangulum quaesitum est Izi wt. 3Ο8 36or. 273 6 36o.
52쪽
SI duobus aequalibus numeris inaequales duo adiiciantur, erit compostorum minor ratio quam adiectorum. Sint aequales num et i A B. C D. quibus addantur inaequales B E maior. 3d D p minor. Die O mi., s s noret in esse rationeni Λ E ad C F qii in B E ad D F. Quoniam enim A B N- C D- Κ' s sunt aequales in inor erit ratio ipsus AB ad maiorem B F. qu. 44 iplius C D ad minorem D F. igitur & componendo . minni est ratio A E ad n E uuam C s ad D F. Qiste & vieissim minor est ratio Α F ad C F quam B p ad D F. Quod demonstrandunt erat.
Si fuerint quotlibet numeri continue proportionales, planus sub extremis aequatur plano sub duobus quibuslibet ab extremis aequalitet diliantibus, atque etiam quadrato med ij, si multitudo numerorum fuerit impar.
α σα in κ pia, uκ Sint quotlibet numeri A B C D E F continue proportionales & nu- - - 3' q'meto pati, di eo primo planum sub A F. aequalem esse tum plauo sub B E tum plano sub C D. Quia enim est A ad B ut Ead se e hypothesi set idem numerus exprimo A in quartum s qui fit ex secundo B in tertium E. similiter qui a est B ad C Qt D ad Eι set idem numerus eae primo B in quartum E qui fit ex seeundo C in tertium D seu idem qui sit e2 Α in RIgitu plani sub A F sub B E sub C D sunt aequales. Quod etat piis positum. Deinde eonsiderentur tantum numeri Α Η C DE multitudine impari. Di eo planum &b Α Eaequari tum plano sub B D.l tum quadrato ipsius C. Nam vi prius quia est A ad B ut D ad E. pla- , sub A E aequatur plano sub B D. sed quia est ut Bad C. ita C ad D planus sub B D. aequatur quadiato ipsius C. Igitur planus sub Α E planus sub BD.& quadratus ipsius C aequales sunt inter 1e. Quod demonstrandunt erat.
Si tres, pluresve numeri inter se multiplicentur, idem semper procreabitur numerus, quomodocunque & quouis ordine seruato fiat multiplicatio.
Quod ostendit Euclides de duobus numerIs inter se multiplicatia dee ima sexta V. id in vo uersum de tribus pluribusve hic ostendetur. Tres autem , pluteiae numeri inter se multiplicati die untur, eum unus ex illis ducit ut in alium . tum productus in alium, & tutias plodustus in alium , & ita dei neeps, donee omnes multiplicati sint . - Sint ergo tres numeri ABC. ductoque A in B sat D. quo ducto in C sit E. .. ρ' O. e Rursus ordine mutato, ducatur B in C& fiat F, quo ducio in A fiat C. Deniri que nautar' rursus ordine ducatur Α in C& fiat H, quo ducto in B. fiat Κ. E a tot enim modis ordo uariati potest.) Dico itia ploducta EΚG inter se esse aequalia. Quia enim B ductus In utrosque A C. producit ipsos DF- erit A ad C vt D ad F. . Igitur . d. ivi. productus e et A in F nempe G. aequat ut producto ex C in D nempe ipsi E. similliet quia idem c 7. ductus in utrumque A & B producit ipsos H F. etit A ad B vi H ad F. Igitur qui fit ex Α in F ne Ope : μ'
53쪽
G. aequatur ei qui fit ex B in B nempe ips X. Quamobrem constat ties E Κ G. aequales esse inter se. Quou erat retopositum.
s, s Deinde snt quatuor numeri ABC D.& tribus ΑΒ C inter se ducti, fiat E quo A , s c o ducto in reliquum D fiat K. Tum mutato ordine, & tribus B C D inter se ducti, ὸ8 . ' fiat F. quo ducto in reliquum A sat H. Dico ipsos Κ di H a quales esse inter se,
& sempet eundem produci numerum quomodoeumque aliter Drdine mutat iidem ABC D inter se multiplicentur. Quia enim sumendo ternos ΑΒ C. tum
. .. i. ternos B C D. duo B C utrique sumptioni communes sunt, productus ex B in C esto C. patet ergo o, ..' ex demonstrati, in tribus numetis ex G in Α produci E, S ex G in D, produci F. Quate . . t E ao F ... - . se est A ad D. Igitur qui fit ex E in D. nempe H, aequatur ei qui si eu F in Α nempe ipsi K.
aena, r. similiter quomodocumque sumantur tres ex iisdem quatuor numeris, duci ex illis tepetientur in qualibet alia trium sumptione. Qua te lieehit eodem argumento propositum eoncludere. . Eodem inodo s sint quinque numeri , sumendo quaternos & quaternos, pro duetumque ex mutua quatuor numerorum multiplicatione, ducendo in reliquum , reperientur tres iidem numeri in
duabus quibuslibet sumptionibus, unde sumenἡci productum ex trium communium mutuo ductu, licebit simili ptot sus argumento propos tu in concludere. Et sic in sex numeris per ea quae in quinque demonstrata lunt probabitur intentum ,& in septem per ea quae in sex et unt ostensa. Igitur ex Omni parte constat propositum.
Si fuerint quatuor numeri in proportionalitate arithmetica, erit summa extremo. rum , summae mediorum aequalis. Et si summa extremorum sit aequalis sumanae me. diorum, erunt in proportionalitate arithmetica ipsi quatuor numeri. Arithmetica proportionalitas dicitur eum primi & secundi idem est interitalium , quod tetti j de
quatit, ita tamen ut primus secundo, di tertius quatio comparati, snguli singulis vel a quales sint, vel malo tes ἔ vel minores , non perturbato Ordine. . ti Sint ergo arithmetice proportionales Λ B ad C sicut D G ad Η. dico edit remotum Α Β &H summam aequari summae mediorum C& D G. etenim vel A B aequalis estri X ipsi C. vel maicit vel minor illo. sit primum aequalis ergo ut seruetur arithmetiea,4 medietas, mit & D G. aequalis, ipsi H. Quamobrem s aequalibus Α Β & C ad dantur aequales H N D G. erunt duo A B & H simul aeqtiales duobu, C & D C simul. Quod est propositum. Α s a Deinde excedat A B numerum C numeto E B ita ut Α Ε& C snt aequale, igi in ' tur & DC exeedit H numero F G. aequali ipsi E B. pet definitionem, & eriti in D F ipsi H aequalis. Itaque s aeuualibus AE& C addantur aequales H & D F ' fient Α Ε&H simul aequales Η, D F fient A E& H simul aequale, ips, C &DF smul, igitur si his summis aequalibus addantur rursus aequales EB N F G. Erunt A B & H simul aequale, ipsi, C N D G simul. Quod demonstrandum erat.
Denique concipiat ut se primus. DG secundus. C tertius. Α Β quartus, ita vi H si minor quam D G numero FG.&Cm minor qu m A B numero E B, sintque differentia F G. E B aequales idico tutias extremorum H N A B summam aequati summae mediorum D G & C. Nam consideratis iisdem numeris ordine inuerso eoncludetur per proximἡ demonstrata summam duorum Α Β & Η. aequiei summae duorum C & D G. Quod est propositum. Iam ἡ eonuerso sit summa es tremorum Α Β & H aqualis summae mediorum C N D G. Di eo ipsos quatuor numeros esse in arithmetica medietate. Nam vel A B aequalis est ipsi C Vel maior vel . minor illo. Sit ptimum aequalis. Quia igitur A B & H simul aequant ut ipsis C & D G simul. s .itim. que auferantur aequales AB. & C. remanebunt D G. de H aequales. Quare seue ipsotum A B ti Cnullum est interuallum , se fle ipsorum D G. & H. Vnde eonstat propositum. Deinde exeedat AB ipsum C numero E B ita ut A E R C sint aequales. Igitur ab aequalibus summis duorum Α Β & H simul, & duorum C & D G simul, auferendo aequales numeros A E &C. temanent E B R H simul, aequales ipsi D G. Quare si abscindatur ex D G. numerus D F aequa ialis H, erit reliquiit F G. aequalis E B. Cum itaque A B. exeedat C. eodem numero quo D G exe essit H. erunt aris intelleὸ proportionales ipsi quatuor numeri. Quod demonstrandum erat. Denique eon et piatur H primus D G. secundus. C tertius. AB quartus. Ita vi H sit minor qu mD G numero FG. & reliquux D s si aequali; ips R. Quia ergo ab aequalibus summis duorum H 3EAR. N duorum DC.&C. auserendo aequales Η & D F remanent F G R C simul aequales ipsi A B. si ab AB ab se in datur Α Ε aequalia ipsi C teliu quetur EB aequalis ipsi FG. Quate eum H des elata
54쪽
D G. eodem numero quo C defieit ab A B. sunt arithmet iei proportionales Η ad D G. se ut C ad Λ B. Quod erat ostenuendum.
HiMe apparet squatuor nuam ri fuerint in hae propors Onalis a te, o conuertenda
fore eos in eadem proporιionalita ιe. Nam si primus excedat se eundum , eodem interuallo quo tertius excedit quartum , S conue tendo, quattus deficiet a tertio, eodem numeto quo secundus descit a primo. Rursus si primus desciat a lecundo , eodem numero quo tertius a quarto, te conuertendo quartus excedet tertium, eodein interuallo quo secundus priuium.
Si tres numeri arithmeticὸ proportionales suerint, summa extremorum aequalis est duplo med ij. Et si summa extremorum sit aequalis duplo medii, ipsi irtis numeri artihmeticE proportionales erunt. A sint, tres numeri ABC in arithmetica proportionalitate, ut A ad B ita B ad C. D eoA 8 D s extremorum A C summam aequari duplo medii B. Etenim sumpto D r quali ipsi B. e ite ex hypothesin arithmetica proportionalitate ut A ad B ita D ad C. quia D idemi est atque B Igitur per primani partem praeced. erit extremorum A C summa aquai ssummae medio tum B D, seu duplo ipsus s. Quod erat primo propositum. Sit deinde summa ipsorum δε C aequalis duplo ipsius a. Dico esse in alithmetica proportionalitate ut A N a ita a ad C. Nam rursus sumpto D aequali E erit ex hypothis , lumina ducitum AC i viae duorum BD aequalis. Quare per secundam partem praecedem is erit in arithmetica medietatea ad η ut D ad c. hoc est A ad a vi a ad c. Quod etat secundo dc monstrandum.
Si snt quotlibet numeri in arithmetica medietate continui, summa extremorum aequalis est summae duorum quorumlibet ab extremis aequaliter distantium, atque etiam duplo med ij, si multitudo numerorum suerit impar. A B, C, D s ii s , int quotlibet numeri A s C D s p in arithmetica medietate eonti
3. y ,7 -9 ix δ' nui, dieo summam extremotum As aequalem esse si ininae duorum quorumlibet ab eae tremis aequaliter distantium , hoc est summae duorum B a , & summae duo- tum C D. Nam ob eontinuitatem arithmeticae proportionalitatis, est A ad a sicut ετ ad F. Igitur ex- , ... ,. tremorum A p summa, sumina: mediorum a s aequalis est. Similiter quia est in arithmetica medieta, s.;ia. te a ad C. ut D ad E. - erit summa extremorum a s aequalis summae mediorum C D. Quare eum eadem ii 'Marta, summa duorum ηρ sit iam ostenta aequalis summat duorum A s. erit utique summa duorum A ν aequa- M.tui. lis tana summae duorum a s. quam summae duorum c D&sic de aliis si plures essent numeri proposii. .er oti c. - m. Quod si numeri A s C D p F ci sint multitudine impati.ossen. A a. B 4. Cis. D8. E io. F Ia. G I4. m dc mus ut prius summam extremorum A G aequalem este summae duorum c s. Quia vero ex hypothesi est C ad n viti ad s. in medietate arithmetica, sum- . A; hianis duorom C E aequali, est duplo medis D. Quamobrem ex omni parte constat pio positum. h. . . '
Si fuerint quatuor numeri arithmetice proportionales, I permutando, arithmetice proportionalcs erunt. o si sit in medietate arithmetica primus A ad secundum s. se ut tertius C ad quartum D. e 'si Dico & permutando esse in eadem medietate A ad c ut a ad D. Quia enim est in hac me '' ' dietate A ad a .l e ad O. erit summa extremotum A D Fqualis seminae mediorum C B per primam partem quartae huius. Igitur per secundam patiem eiusdem erit in eadem medietate primus A ad C secundum, sicut tertius A ad D quartum. Quod demonstrandum erat.
Omnis numerus pati ter par, di in idium par habet. Et si quis numerus dimidium par habet, is est pariter par.
55쪽
. . - . Esto A numera patitet par, euius dimidium E. Die B esse parem. Si enim a esset impar, aip. is isti. A i, se A esset pariter impat tantum , contra hypothesini. Non est ergo a impar, sed par. Quod ,. ' ' est propolitum. Deinde lit a pat , dieo A esse patiter parem, & patet ex definitione. Etenim A producitur ex binario numero pati, in parem B . Quamobrem ex omni parte patet intentum.
Omnis numerus pariter impar tantum, dimidium impar habet.' Α , Haee conuertit trigesimam tertiam, s. Euclidis. Eso A numerus pariter impar tantum, euius . . tia . a ' dimidium a. Dieo a esse imparem. Nam s a esset par , ipse A esset pariter par. Atqui A suidi Mi. i. ' γ' ponit ut paritet impat tantum. Igitur B non est par sed impar. Quod demonstrandum erat.
Omnem numerum pariter parem quaternarius metitur. Et omnem numerum quem quaternarius metitur, is pariter par est. n Esto Aa numerus pariter par cuius dimidium se C a numerus par per octauam o ri' se huiu, Et sit C. quaternarius. Dico primo G metiri ipsum A B. Nam sumpto
U n bitiatio, erit D ad c sie ut se ut c E ad A a. & permutando erit Dad Ca, scuto ad A a. sed a D binarius metit ut numerum parem C a. Igitur dis metitur ipsum Λ a. Quod demonstiandum erat. Deinde quaternarius C metiatur numerum A B. Dico A B esse pariter parem. Nam primo parem esse eonstat, quia eum metit ut G numerias par. Itaque ipsus A a dimidium esto c a. Tunc vi mamma, priua sumpto binarici D.ostendemus esse D ad c a sicut G ad A B. Sed G metitur a B ex hypotes. . Igitur & D metit ut C E. Quamobrem A a habens dimidium par, est pariter pat. Quod secundo elat ostem .. ., dendum.
h vite σῖ- omnis numerus excedens binario aliquem pariter parem, est pariter impar tantum.. c o sit numerus AB excedens pariter parem CB. binario A C. Dico An es e pati tet imparem tantum. Nam primis esse parem constat, a quia componit ut exfrima, duobus patibus AC. C a. Deinde esse patiter imparem se probatur. Nam s ponatur pariter par, o me-h ra , tietur eum quaternarius. Sed & idem quaternatius metitur pariter parem C B. Ergo qua tonarius' metiens totum A a. N ablatum C B, metietur & reliquum binarium A C, maior minorem. Quod est
impossibile. Quamobrem Λ a non est pariter par. Est igitul paclici impar tantum. Quμd demonstrandum fuit.
Omnis nulla erus pariter impar tantum, excedet aliquem pariter parem binario. A G c D n Aspariter impar tantum, dico eum excedere binario aliqtihm
pariter parem. uia enim a B est par, secetur bifariam in AC. ca... . his. eruntque Ac caim pates. Quare si ab ipso ea ausetatur unitas CD, reliquus D E erit par. Sit illiti, duplus G 3. Igitur o a erit paritet par Quum itaque ut totus Λ E ad totum C B , sc sit ablatus o ab alta a, ad ablatum n p. nam utrobique est proportio dupla )erit S reliquus A G ad teliquum c D in eadem rim. proportione dupla. Quate eum c D sit unitas . erit A G binarius. Arque ideo clara Ga sit osensu patit et par, numerus A a superat pariter parem c B binario A G. Quod demonstrandum erat.
Si numerus pariter par, numero pariter impati tantum addatur, erit compostus
pariter impar tantum. Ae a Numerus pariter par a C. addatur pariter impati tantum C E. Dieo composituma a a ex his Aa esse pariter imparem tantum. Nam si Λ Eponat ut patiter par, metieiatur eum quaternarius. Sed idem quaternarius metitur pariter parem a C. Igitur metiens totum A a. δε & ablatum A C, metietur de reliquum C a. quamobrem C a erit pariter par contra hypothesin.
56쪽
Nam postus est pariter impat tantum. Igitur A B non potest esse patiter par. pariter imparem tantum. Quod erat ostendendum.
Vnde relinquet ut esse I liter parem. Quia enim Α est pariter par, ' metitur eum quaternarius. Quare cum Α meistiatur C. metietur & quaternatius, eundem C. Igitur C est patuet par. Quod de-Si numerus pariter par per aliquem numerum multiplicetur, productus erit pariter par. A si s , Sit numerus pariter par A quo ducto in quemlibet numerum B fiat C. Dico C esse pa-
Si numerus pariter impar tantum, per numerum imparem multiplicetur, productus erit pariter impar tantum.
A s A numerus pariter impar tantum , quo ducto in B. imparem munerum . produea-' s tur C. Dico C esse pariter imparem tantum. Sumatut enim D dimidium ipsius A, quo e ἡ ducto in B sat E. Euidens est, quia B ductos in vitumque D A producit E C AE ese E . 3μ' ad C sieut Dad Α. Quamobrem E est dimidium ipsius C. . Atqui Destim par, si semissis ipsu Α numeri patitet imparis tantum & B etiam impar est ex hvpothesi. lgit ut productus ex duorum impatium mutuo ductu , S ipse impat est. - Quare C habens dimidium iiii - . m. ε- par R est pariter impat tantum. Quod erat demonstrandum. 1 a nona,
Si pariter pares quotcumque comprinantur, totus pariter par erit. Α a sint pariter pares quotcunque AB C. quorum summa D. dico D csse par ter parem. s i, D, ό. QE 3 enim λ BC. sunt pariter pates, 'sngulos illotum quaternarius mei itur. Igitur & compositum ex ipss D, idem quaternarius metietur.' Quamobt cm erit D paliter' ...pat. Qiuod demonstrandum erat. ' λ M. '
Si quotlibet numeri pariter impares tantum componantur, sit autem par illorum multitudo, totus erit pariter par. Si vero sit impar illorum multitudo , totus erit pariter impar tantum. Sint quotcunque pariter impares tantum ABCD. N sit primum par e tum multitudo , & compositus ex ipsis K. dico Κ esse paritet patem. sumam ut euim E F G H singuli binarici minores singulis ABC D. Etuntque ipsi E F G H pariter pates. Numerus au- . d. .riti tem K aquabitur composito ex ipsis E FG H & totidem binariis. At . compositus ex m. Mi. . ipsis EFGH est paritet par. Nee non de totidem binarii faciunt pariter patem ι cum b viri a compositus ex illis habeat dimidium pat , scilicet numerum multitudinis ipsorum s E F G H. Igitur Κ compositus ex duobus patiter patibus, est paritet pat. Quod demonstrandum fuit. .a... Sint verti A B C pariter impares tantum , multitudine impari, quorum summa D. M .i. dico D esse pariter imparem tantum. Nam ianiplis ut pitu, E FC hinatio minotibus a vies aquam ipsi ABC. erit D aequalis composio ex ipsis E F G di totidem binariis. Quia perra, ιώ- uero singuli E F G sunt pariter pates , erit f& compositus ex ipsis pati ter par. summa i 'veto totidem binariorum est patitet impar tantum , g quia dimidium impat habet, numerum multitudinis ipso tum E FG. Igit ut . numerus D compositus ex duobus quorum alter est riis , pariter par, alter pariter i inpar tantum , est di ipse pariter impat tantuin. Quod de inon strandum erat. μαι. , --
cuiuis quadrato addatur duplum lateris illius, & praeterea unitas, fit quadratus a latete unitate maiore. tertia. Sit quadratus A euius latus B C eui addita unitate C D sat B D N ipsus B D qua. nu. dlattis esto G. di eo si addatur ad A duplum sui latetis BC & praeterea unitas, seri quadratum G. etenim nuadratus G. aequalis est quadratis ipsoru in B C. CD. N . qtio a.
57쪽
est ipsa unitas: Productus autem e2 unitate C D in B C his, es duplum ipsus B C. Patet ergo quadratum L, aequati quatitato A ti vilitati, di duplo ipsius B c. Q Oo cemotis r udum erat.
Si a quolibet quadrato auferatur numerus unitate minor duplo lateris illius , relinquetur quadratu, a latere unitate minore Α , si Ci, A quadratus , cuius latus B cuius duplum C, unde ablata unitate relinquatur D & sit E unitate minor ipso B. Dico s D austratur a quadrato Α, ic linqui quadra-' tu in ipsius E. sumpto enim F duplo ipsius E, e imi B E disserant v nitate , paret eorum dupla C F differte binati . Quare idein set titi metus siue auferatur unitas ex C. sue addatur unitas ad F. nempe idem D. Atqui si ad quadratum ipsius E addatur duplum eiusdem E unitate au-a de ei a istunt nempe D. - fiet quadratus ipsus B nempe R. Igitur si ex Α detrahatut D. iesiduum erit qua- ctava, dratu, ipsius E. Quod demonstrandum erat.
Omnis numerus quadratus aut impar est, aut pariter par. Α .. A sit numerus quadratus A. cuius latus B. dico Α vel imparem esse, vel pati ter parem. viv=- ι 's'ti ''' Etenim vel B impar est , vel pati sit primum impar. Quia ergo ex impate B in imparemma nona , B si Α. ei it Α impar. Deinde si B par. Quia igitur ex pati B in parem Ast A, erit Α pariter par ea definitione. Quam brem Α vel impar est, uti pati ter par. Quod demonstrandum erat.
G, L Nullus numerus pariter impar tantum, est quadratus.
Patet, cum numerus paritet impar tantum , nec impar sit, nec pati ter par.
. vi eam a sexta, hia a Parta,
ini libet quadratus impar, excedit numerum pariter parem unitate.. Sit A quadratus impar, cuius latus B. N ab ipso A dei tacta unitate superst C. di eo C esse pati ter patem, Sumat ut D numerus unitate minor ipso B. Quia ergo B est impaen y M q' tiam si B esset pat , eii ductu illius in seipsum fieret Α par contra hypothesim ) eiit D par. Atqui duplum ipsius D una cum quadrato eiusdem D. aequatur numero C. QMadratus autem numeri patis D, est pariter par. Duplum quoque numeri paris D est pariter par cum fiat e, bina tio pati numero, in D parem. ) igitur & C compositus ex duobus pariter paribus , - est pariter par. Quod demonstrandum erat.
Duorum quorumlibet quadratorum interuallum , aut impar est , aut pariter par. Sint duo quadrati A maior & B minor, quorum interuallum C. Dico C esse pati te A *s' η μ' palem, .el imparem. Sumat ut ipsius A latus D F, N latus ipsius B sit D E, ita veri se EF se differentia dictorum laterum. Itaque E F vel par est , vel impar. Sit primum V ' V par Cum igitur interuallum quo quadratus A superat quadratum B aequetur qua diato ipsius E F N producto ea DE in EF his. erit C aequalis quadrato ipsus EF N pioducto e 2D E in E F bis , i. At quadratus paris numeri E F est parit c r par. Nec non& duplum producti εχ D E in Es est paritet par, i eum dimidium eius , n inpe productus ex D E in EF parem, si pati. Igi tui C eompositus ex duobus pariter paribus , cii patitur par. Quod erat propositum.
58쪽
Deinde sit E impar. Tune quia quod fit bis eti D E in E F est numerus pat habet .
enim dimidium quod fit semel e Y Ds in a p. si ei adiiciatur quadratus impaIis E F,' ma,h. M. qui impat est, ' etit C. eompositus ex pati di utipati , impar. Quamobreui ex omni b si1. parte patet propositum. vio M
Numeras pariιer imρ ν rantiam, non potes esse intertiatum da Ortim qa adrasorum. Intellige unitate indiuisbili manente, alit et enim quilibet numerus statui potest interuallum duorum quadratorum, ut ostendit Diophantus lib. 2. sed di vigesima propositio, & hae etiam intelligendae sunt de numeris integiis, nam nacti numeri nee pares sunt nec impares.
si duorum inaequalium numerorum summae addat ut & adimatur eorundem inter uallum , aggregatum quidem, maioris numeri , res duum vero, minoris duplum est. Ε Α a C D sint inaequales numeri A a minor & a D maior di a maloti abscindatura e minori A n aequalis ita ut reliquus c n sit interuallum ip tuiti. Dico primo, si toti a D addatur ΕΛ aequalis interuallo C D aggregatum Ε Desse duplum maioris numeria D. etenim eum aequalibus A a. E C. addantur aequales s A. CD etunt toti E a. BD aequales, atque i/eo totus an ipsius a B duplus erit. Quod erat propositum. Dico seeundo. si a toto A D auseratur interuallum C D, residuum A c minoris A a duplum esse, &patet eum a C ipsi Aa sit aequalis. Quamobrem ex Oinni parte constat picipoli tuiti.
Si quotlibet numeri continue proportionales, in totidem alios continue proportionales ducantur, primus in primum, secundus in secundum, tertius in tertium &ita deinceps, & producti continue proportionales erunt Ρ,ε l A 1 Ba Cp Dis sint quotlibet numeri continue proportionales A B C D & to o,, Ο Ε , pikcii, us tidem alii a ν G H ductisque A in a. B in p. e in C. D in M. fiant R .i84. i Κς . L 11. M os. N 18. L N. Dico & ipsos esse continiaε propo io Ies.
Etenim ex A in C & ex Ε ita si fiant p OP quadrati ipsorum B F Ute i. sumaturque etiam Rpria usus ex x in M. Itaque quoniam ea A in s& eu c inc sunt x MN ex x in M, .st R. patet R produci ex mutua multiplicatione quatuor numerotum A C E G. . Quamobrem idem ικ produeetur quomodoeunque iidem quatuot numeri inter se ducantur, ni Mirum s a ducatur in ..., C. & a in C. & producti p QIntei .e ducantur. Igitur ex vinodiet R. At pi ductus ex mutuo ductu quadtatotum p aequatur quadrato plani sub lateribus a F N ex B in F fit Lex hypothesi. Ergo Rest. vi in quadratus ipsius L. ae proinde tres x LM sunt eontinuἡ ptoportionales. Eadem ratione Ostendemus mis. s. tres L M N esse continuὸ proportionales. Quamobrem patet di omnes MN esse continue propor- via. tionales. Quod erat demonstrandum. Ma, D
59쪽
CLAUDII GAS PARIS BACHETI SEBUS IANI
IN DIO PHANTUM PORIS MATUM.Liber Secundu S. PROPOSITI Q I.
SI numerus secetur in quotlibet partes. Quadratus totius aequatur quadratis partium, & numeris qui fiunt bis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis.
A D C a Numerus Assectus se primum in tres partes Λ D. D C. C a. Dico quadra tum totius A B aquari quadratis partium A D. D C. C E . & numetis qui fiunt bis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis, nimirum productis his ex A D in e v ex D C in C A N ex An in D C. Etenim coneipiendo numerum diuisum in duas partes A C. c E. erit quadratus totius a B aequalis quadratis partium A C. C E. & producto bis ex A e in c a. sed productus his ex A c inc B aequatur productis his ex sngulis A D. D c in C B. Quadratus autem ex AC. aequatur quadratis partium a D. D C. & producto bis es A D in D C. Igitur constat quadratum totius A a aequari quadratis iplorum Λ D. D c. c a di numeris qui sunt his ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quod est propositum. A E D c κ Deinde secetur A s in quatuor partes A R. ED. D C. c a. Di eo nihilo- ' ' minus sequi propositum. Nam si totus A a eoncipiat ut diuisus in duas varies Ac. C E. erit quadratus totius aequalis quadratis partium AC. Cure producto ex Λ C in C abis. At productus ex A c in c a bis , - aequat ut productis bis ex singulis A E. E D. D C. in C a. Et quadratus ex A C. aequatur per iam demonstrata quadratis singulorum A E. E D. B C. & productis ex quolibet illorum in quemlibet eet aliis. Igitur quadratus totius A B aequatur quadratis singulorum A Ε. Ε D. D E. C n. de productis bis ex quolibet in quemlibet ex alijs. Quod demonstrandum elata similiter si numerus secetur in quinque partes , idem ostendetur assumendo quod demonstratum de sectione ia quatuor partes, & sic in infinitum. Igitur ex omni parte eonstat pio positum.
Datis duobus numeris inaequalibus, productus ex mutua eorum multiplicatione una cum quadrato semissis interualli ipsorum , aequatur quadrato semissis summae
eorundina. Haee ptopositio eadem est eum quinta, a. Euclidis mutatis tantum verbis. Etenim sint numeri A p ΕΗ C inaequales A B in Mor & B C minor .&totius ac semissis esto A a vel f e, & in se- missi As sumatur ps aequalis ipsi a a. Tune ab aequalibus ΛΕ. EC. auserendo aequales Fg. g a. erunt reliqui A s. B C aequales. Quamobrem p a est interuallum i qualium numerorum A a. a c. & a a est semissis eiusdem interualli. Itaque pet quintam , α. conssat quadratum ipsus se semiissis summae aequati producto ex Aa in a C. & quadiato a a semissis in te tu alli. Quod demonstrandum erat.
Duorum inaequalium quadratorum interuallum , aequale est numero qui si ex summa laterum in interuallum eorundem.
Haec etiam non differt sexta, et. etenim snt inaequales numeri A C minor, & c D maior abain.' st ri datur ex c D numerus sis aequatis issi M. erit ergo a D intra uallum dubium A ... u c. e o. Dico itaque quadratum ex C D superate quadratum ex A C. numer qui fit e2 D summa laterum . in an interuallum eorundem. Cum enim , a sectis, si bifariam in c. & ei adiectus sit a D, erit per sextam, et . quadratus ex C D aequalis producto ex a D in a D & qua drato eu A c. Quare quadratus ex CD superat quadratum ex a C producto ex An in a D. Quod demonstrandum fuit.
Duorum quadratorum summadrato interualli eorundem. aequatur duplo plani sub lateribus, una cum qua . Haec
60쪽
Porismatum Liber secundus. sis
Haec quoque aliis verbis idem pronuneiat, quod septima a. Etenim sui inaequales numeri aca H c si maior &CE minor, & abscindat ut D c aequalis ipsi ea. ita ut an sit in- ''' tet uallum ipsorum Ac. C a. Dico sutia mam quadiatorum ab ipsis a C. C B. aequari duplo plani sub A C. Ca. una eum quadrato ipsius A D. Quia enim numerus AC sectus est Vtcumque in D, per septima a. quadratus ex A C ciam quadrato ex D C. idest summa quadratorum ab ipsi s A C. C a. aequat ut duplo plani sub Ac. D C. seu sub A C. c a. una cum quadrato ipsius A D. Quod demonstrandum erat. PROPOSITIO V.
Quadratus summae duorum numerorum, aequalis est quadruplo plani sub ipsis numeris contenti, una cum quadrato interualli eorundem. Haec rursus eadem est cum odiaua a. snt enim inaequales numeri ΑΒ maior, N B o minor, & ab LA C s D cindatur e s aequalis ipsi a D, ita ut A c si interuallum ipsorum AE. B D. Di.
eo quadratum totius A D aequati quadruplo plani lub A B. a D. una curi uadrato interualli Ae. Com enim numerus Aa sectus si vi eumque in C. per octauam 2. quadratus compositi ex AB. CB. nimirum totius D, aequatur quadtuplo plani iub AB. C E. seu iub AB. BD, cum quadrato ipsius AC. Quod demonstrandum proponebatur.
Duorum inaequalium quadratorum summa, dupla est quadrati semissis summae laterum, & quadrati semissis interualli eorundem.
Haee non differt a nona a. sint enim inaequales numeri A D. D a. & totius A B. semissis esto A c. vel A c D g si sergo per ostensa secunda huius en erit semissis interualli ipsorum AD. na. Itaque dico summam quadratorum ab ipsis A D n a. duplam esse quadrato rum ab ipsis CB. C D. Quod ipsu in enuneiat nona a. Quamobrem constat propositum.
Quadratus summae suorum numerorum , & quadratus interualli eorum simul, dupli sunt quadratorum ab Ipsis numeris.
Haec quoque coincidit cum decima di. sint enim inaequales numeri AC. minor, & CD maior A. . . C .... D a maiori abscindatur C a minori A C aequalis, ita ut a B si in tertiuitim ip sorum A C. c D. Die o Quadiatum totius A D cum quadrato interualli ala esse duplum quadratorum ab ipsis Ac. e D. Ctim enim A a sectus sit bifariam in c. N adiectus sit ei a D. pet decimam a. Quadrati ipsorum An. κ D simul dupli sunt quadratotum ab ipsis A C. CD. Quod erat ostendendum. COROLLA RIV M.
cusus liber numeri ex da ostis q. adrasis compositi tam dimidium quam duplam componitur , ipsum ex duo bas quadratis.
quadratis integris N inaequalibus. Nam si hoe ponatur, faeile eon eludetur ex quibusdam propositionibus lib. i. potis m. & ex sexta huius, illius quoque dimidium componi ἡ duobus quadratis integris N inaequalibus. Quia igitur numeri pariter patis tantum, continuὰ dimidium sumi potest, &dimidium dimidii donee ad binatium & ad unitatem deueniatur per trigesinam quartam p. Euclidis, patet sequi Ae ipsum binarium S ipsam unitatem componi quoque ex duobus quadratis integris di inaequalibus. Quod est impossibile.