장음표시 사용
421쪽
atque ipsarum unitatum qua repetiuntur in numeris quadrato aequandis, hae tamen lege ut maior
quasi totum quadratorum excedat maiorem unitatum numerum , minor quadratus excedat rei notem vnitatum numerum. Vt cum aequantur quadrato I N. - 2. NIN. a. quorum interuallum I. quatiemus duos quadratos , quorum interuquum si I. ita ut maior quadratorum excedat g. minotrie at a. ideircd sumi non possunt ἰὼ de ., neque V& . sed sumpsit Diophantus Similiter cum aequandi sunt quadrato Io N. -- 6. Ac Ici N. - quorum interuallum 48.sumit Dio phantus quadratos I s. de 64. quia iis. excedit o. & 64. excedit 34. non potuerunt autem sumi I. &qs. obdeseetiam conditionis adiectat. Secundus easus est, cum unitatum numeri assciuntur utrobique signo minoris, ut accidit deei rea quarta secundi, ubi aequandi fuere quadrato I N. - Ο&IN. - . N in hoc casu absque visa conditione suscit inuenire duos quadratos , quorum interuallum aequet interuallum propos totum numerorum . vi in data hypothes , quia interuallum est L duo quicunque quadrati unitate distantes, satisfacient proposto, sumpst Diophantus A & ἰὼ & sume te potuisset - Ae vel alios quosi cumque quotum interuallum sit unitas. Tettius eastis est. Cum Numerorum numeri asseiunt ut utrobique s gno minoris, quod nusquam oecidit in Diophanto, sed nobis decimam tertiam seeundi per duplicatam aequalitatem soluentibus, in
hune casum eOtingit incidisse,aequantibus quadrato tum y - I N. tum II N. Hie autem inueniendi sunt duo quadrati eodem interuallo distantes, quo de ptopositi numeri, ea tamen lege ut maior ipsorum sit minor unitatibus maioris propositoru sumetorum; minor autem sit minor unitatibus minoris. Vt in data hypothesi, quia propos totum numerorum interuallum est Iet. Quae tendi sunt duo quadrati , quorum intreuallum sit Ia. ita tamen ut maior quaestorum quadratorum sit minor quZimar. minor autem sit minor qu in s. quales sumpsimus 4. di I s. . Quartus easus est. Cum in unci propositorum numerorum , unitatu in numerus allicitur sgno pluris, in altero asscitur signo minoris. vi s snt aequandi quadrato IN. - g. N N. - I. Tuncque inueniendi sunt duo quadrati quotum interuallum si idem, atque propositorum numerorum, absque ulla conditione. Sie in data hypothesi, quia plopostorum numerorum interuallum est 2O. suis
iram duos quadratos, quorum interuallum si ro. quales sunt s. & r6. Itaque in his omnibus casibus. manifestum est propositam quam eunque duplicatam aequalitatem infinitis modi, explicari posse. .
sacv Nnvs M Dus utendi dupli eata aequalitate est, quando rursus uterque propos torum numerorum componitur ex Numetis o unitatibus , di Numerorum numeri sunt inaequales , sed unitatum numerus utrimque quadratus est. Et hie duplex casus cons derati potes. Primus easus est, cum idem quadratus numerus unitatum utrimque repetitur, ut accidit in prima operatione quadrages mae quintae quarti vhi aquantur quadrato 8 N. -- 4. & ε N. -- q. S in hoc casu cum interuallum propositorum numerorum constet e, solis Numetis ut vides in data hypoti es huiusmodi interuallum esse a N.) qua tendi sunt duo numeri , quorum mutuo ductu hat dictum in-Ieruallum, ea lege ut in summa eorum contineat ut duplum lateris quadtati, qui est in vitoque propositorum numerorum, ut in dato exemplo cum latus quadrati 4. st a. cuius duplum 4. deligendi sunt duo numeri quorum mutuo ductu fiant: N. ita ut in semisse summae illorum reperiantur' '. unitates, unde patet alios deligi non posse qu ni N. & η. quotum summae semiffs quadratum s atques maiori 8 N. - . vel eorundem interualli semissis quadratum aeques minori 6 N. - . q. fit utrobique I N. ita. unde liquet in hoe easu unicam tantum dari posse solutionem. Riduci tuetamen hic casus ad quattum modum, ut infra ostendemus , qua ratione ins nitis modis resolui potest. Secundus easus est, cum in propostis numeris , inatqueses un; tatum num es quadrat; continentur , ut accidit det ima septima tertii, ubi aequantur quadrato Io N. - - s. N IN. - 4. quorum interuallum eum componatue ex Numeris & unitatibus, est quippes N. - 1. tales sunt deligendi duo numeri quorum mutuo ductu id fiat, ut in eorum summa repetiatur duplum lateris maioris quadrati . di in eorum interuallo reperiatur duplum latetis minotis quadrati, hoc est ut in summa roperiatur 6. in interuallo 4. Quare per Canonem prima ptimi facilὰ repetientur huiusmodi numeri putas. deI. Aliter eosdem numetos reperies, s capias summam & interuallum laterum quadratorum s. & 4. hoe est summam& interuallum ipso tum 3. Aedi. sent enim ut prius s. NI. Quia igitur ad eonficiendum interuallum 1 N. -- s. sumendi sunt duci numeri, in quorum altero sint viri. tales s. in altero I. Patet nonnisi duobus modis tales numeros sumi posse, puta vel f N. s. di i .vel IN. - .E I. unde liquet in hoc easu contingere posse ut duae solutiones exhibeantur, dico contingere posse quia plerumque unica prouenit soluti ci . vi in data hypothesi, non enim sumendo 1 N. s. & I. solui potest quaestio, quia horum summae semissis quadratus, puta II N. - ν. maior est omnino quam ro N. ς. ae proinde illi aequari nequit. Contingit autem duplex soluti si proponantur aequandi quadrato 6 N. - ς.&ra N. - I. quia enim horum interuallam est et N. H. 48. constat ex tradita tegula produci posse huiusmodi ἐnteruallum, siue o. in R
422쪽
Porro in hoe seeundo easu potest accideteri utetque vel alter numerus Numerorum assiciatur fgno minotis. Vt si sint aequandi quadrato 36-is N. Ze 16 -i N. quorum interuallum Io- N. Quod si ponatui fieri ex 2. in Io - N. Optim/ resoluetur aequatio, δὲ set 1 N Rursus si sine aequandi quadrato 36 - I N. Ze I 6 -- s N. quorum interuallum χο -io N. hoe si ponatur fieri ex ruin Io - s N.vel etiam ex Io in a - N. duobus modis resoluetur aequatio, de s et i N. vel et . vel ao. Attamen utrumlihel horum aecidat, saep/ eontinget aequationem telolui nullatenus posse, ut sisnt aequandi quadrato 36-IN.&r6-o N. quotuin interuallum sto s N. Etenim si per regulam traditam sumantui numeri, quotum mutuo ductu fiat ao -- 3 N. horum summae stitiissis quadratus semper erit maior quam 36- I N. quia omnes illius partes assicientur signo Plutis. Quare quoties. cunque minot Numerotum desectus se tenebit ex parte maioris quadrati, et it impossibilis aequationis duplicaim resolutio. Sed etsi minor defectus iungatur minori quadrato, non semper te solui poterit aquatio, ut si stit aequandi quadrato s-8 N. N - ε N. Cum enim horum interuallum si s - a N. siue ponas illud prodoei e et r. in 1 - 2 N. siue ex s. in I -l N. nil ages, nam horum summae semissis quadratus semper erit maior quam ρ-8 N. similiter cum numeri ex una tantum parte defieiunt, potest impossibilis esse aequationis resolue o, ut si snt aequandi quadrato 36 -- 3 N. deI6 - s N. Cum enim horum interuallum sit ro - a1 N. non phtest id seri nis ex 2. in i s N. vel ex io. in I. - - N. sed utroque mod . illorum summae semissis quadratus maloe est qu mas a N. Quia veto & ea sus iste secundus eum Omnibus suis symptomatis reduei potest ad Quattum modum . ut infi4 doeebimus, semper huiusmoἡi aequationes non una ratione resolui poterunt. TERTIvs MODvs est, elim rursus propositi numeri eomponuntur ex Numeris fle unitatibus inaequalibus multitudine, fle unitatum numeti quadrati non sunt, sed Numerorum numeri sunt plani similes. Vt accidit deeima Octaua & decima nona tertii. Itemque trigesima quinta quarti . Et reducitur hic modus ad primum , faciendo numeros Numerorum aequales. Nam interdum minor ducitui in denominatotem rationis qu m habet ad eum malor, fle se fit xqualis maiori, ut trigesima quinta quarti, ubi cum aequandi snt quadrato 61 - 6 N. & 6s- 24 N. quia 24. ad s. est ratio quadrupla ducitur 4. in 11 -6N. Aesta6 - 24 N. Iam ergo si aeqties qua diat G 26o - 24 N. N 6s- 24 N. id perages per ea quae dicta sunt de tertio easu primi modi. Interdum uero ad vitanis das stactiones sumuntur quadrati duo n eadem ratione quam habent inter se proposti Numerorum numeri, quique habeant partes propositis tractionibus explessas. 8c maior ducitur in minorem, di minor in maiorem . unde productorum existit aequalitas ob identitatem proportionis. Sie deei-
inter se sit ratio quadrupla, non dueitur tamen 4. in minorem, quia se non tollerentur fractiones.sed sumuntur duo quadrati ico. 8e as. in eadem rationes quique habeant partes stactionibus expressas, putab&A. ductoque maiore Ioo. cin minorem N. - d. & minore as. in maiotem y: N. - 4 q. fiunt iam aequandi quadrato rao N. - o. & t3o N. -- Ios. qui est primus ea sus primi m di. Rursus decima nona tertii, cum sint aequandi quadrato et N. - 3 dc ἶN- . ubi etiam num ri Numerorum sunt quadrupli, sumuntur quadrati A. de 36. in eadem ratione qui habent partes fractionibus expressas, puta e 8t I. Factaque deeugatim multiplieatione fiunt aequandi quadrato IO N. - 26. 8e Io N. - qui est secundus easus primi modi. Caetetum aduerte smili prorsus artificio easum feeundum secundi modi reduei posse ad primum. Sint enim aequandi quadrato s N. . I6.8c 7 N. H. 4. Quia i6. ad 4. est in ratione quadrupla, si dueas 4. in N. - - 4. fient iam aequandi quadrato 28 N. - . Is de s N. - I6. qui est primus easus secundi modi. Quod si unitates quadratae in propositis numeris contentae, sint minimi in suis rationibus numeri, tunc ad vitandas stactiones, commodius erit quemlibet propositorum numerorum vicissim multiplicate pet unitates alterius, ut in hypothesi decimae septimae tertii, ubi aequandi sunt quadrato Io N. - s. de s N. - . duces'. in Io N. - . s. de duees s. in s N. - 4. fientque quadrato aequandi N. H. 36. & qs N. - 36. Et in uniuersum quoties rationis quadratorum talis est denominator, vi eo duello in illum propost tum numerorum, in quo continetur minor quadratus, non fiat integet numerus Numerorum. sumptis similitet minimis in ratione quadratorum eorundem , pet eos decussatim multiplitabis propositos mi meros, ut si sint aequandi quadrato , Io N. - s. de s N. - s. sumes minimos ita ratione 36 ad I 6. puta s. de 4. de per eos facta decussatim multiplieatione, fient iam aequandi quadrato 4o N. -- 344. At 4s N. - M. qui est utique primus easus seeundi modi. QvAR Tvs M o D v s est, cum propositi Numeri quadrato aequandi constant ex Numeris 3e unutatibus, de unitatum numeras quadratus est, de idem virimque, ut in ptimo casu secundi modi. Sed elim per secundum modum vix una aut altera contingat solutio , per hunc quattum modum infinitae possunt eΨhiberi solutiones , etiamsi requiratui vivatot Numeri eonsistat intra praeserip. tos limites. Sie Diophaotus quadragesima quinta quarti aequauit quadrato 2 N. - de s N. A. Tolens valorem numeri minorem esse quam I. Cum pet secundum modum , valor Numeri neeeDiarici fiat ria. 8E hie t iplex casus eonsiderari potest. Primus casus est, quando uterque propositorum numerorum , continet Numeros affectos signo
423쪽
pluris. sie in hypothesi Diophanti, ubi in utroque numero Numeri affetuntur sgno pluris, ptoe et
aequatio si consideretitur tres numeri 3 N. -- q. 6 N. - 4. S 4. Nam cum maiorum interuallum sita N. minorum 6 N. qua tendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit triens interualli, quo in noe illorum superabit Ponatui minoris latus I N. - 2.set quadratus I Q 4. 4 N. - q. qui cum excedat 4. numero i N. cuius triens N. hoc addito, ipsi quadrato , fiet maior quadratus I s N. -- η. Hic ergo aequandus est quadrato, di ad tollendas fractiones Omnia duceti in s. tum ut aequatio reducatur ad minimos, Omnia diuidendo per ω fit 3 α. Ia N. - - s. aquanis diis quadrato, cuius latus ut patet inflantis modis fingi potest . di eum qualibet data Numeti determinatione , sngatur eum Diophantos N. -3. fiet I N. El. Erunt ergo lateta quadratorum dedi'. ips quadrati V . i. quorum priorem si aeques 8 N. - . vel possetioreni o N. - q. fit viro bique I N.
Seeundus casus est. Quando uterque numerus Numerorum asscitur sgno minoris, vi s sinem quandi quadrato I6. - I N. R i5 - s N. Tuncque considero tres Numeros i6.16 -I N. i5 - 1 N. di quia maiorum interuallum est I N. minorum 4 N. unde in tet uallotum ratio est quadrupla, quae duos quadratos, quorum interuallum sit quadruplum interualli, quo maior superabitur 1 16. Ponatur latus maioris 4 - N. set quadratus I 6 8 N. - - I Q. qui superat ut a I 6. interuallo 8 N. i inc uius quadruplum 32 N. - Quod si ausetas a praedicto quadrato, manet minor quadratusa 6 - o N. - . s ineuius latus ita finges, ut I N. sit minor quam ob numerum I 6 - s N. Pone illud 4 -6 N. fiet i N. Ergo lateta quadiatorum sunt r' & .... ipsi quadrati 'm'. quorum maiorem si aeques I 6 - i N. minorem vero id - s N. fiet utrobique valot Numeri est. Tettius casus est . cum in maiore propositorum numerorum Numeri assiciunt ut fgno pluris, in minore vero assciuntur sgno minoris, ut si quadrato aequandi sint i5 - 6 N. & I6 - α N. Tuneiaque eons detans tres numeros 15 - ε N. I 6. & i5 - a N. ubi maiorum interuallum o N. triplum est in te tualli minorum et N. quaero duos quadratos, ut interuallum maioris super Io. sit triplum interualli quo 16. superabit minorem, tacitatus minoris 4 - i N. fit quadratus 16 8 N. . a mqui superatur a1. interuallo 8 N. - euius triplum 24 N. - Q. quod adlatio ad a6. fit maior quadratus I 6 - 24 N. - 3 Q. euius latus ita fingendum , ut a N. st maior quam 4. quia latus rei notis quadrati ponitur 4 - N. Ponatur s N. - fiet I N. V. eruntque quadratorum latera inde . suadrati quorum maior si sat aequalis Io -- 6 N. vel minor aequetut 15 - 2 N. fiet uti
sique valot Numeri Itaque quoniam ut supta docuimus secundus easus seeundi modi semper reduci potest ad primum.
ae per consequens ad aliquem horum trium casuum, & in quolibet horum trium casuum solutiones inlinita tepetiti possunt, eonstat utique & secundum casum secundi modi eum omnibus suis seni pistomatis semper infinitis modis resolui posse.
Qui Netvs M o D v s quem ipsi commenti sumus est. Quando uterque propos totum numero rum quadrato aequandorum componitur ex Numeris & unitatibus, & numeri Numerorum sunt inaequales, nee habent inter se rationem quadrati ad quadratum, nee etiam unitatum numeri s ne quadrati. Quoniam vero modum hunc, R duplicem illius casum fuse ad quadragesimam qui tam quarti explicauimus , non est cur ibidem adnotata hie reponantur, ne inani eiusdem rei tepetitione eommentarios nostros augere velle videamur. Savetvs MODus est. Quando propositi numeri diuersmode componuntur ex quadratis, Numeri, & unitatibus, & hie pro omni casu qui excogitari possit , duae regulae sunt Obseruandae, ut aequatio sit e,plicabilis. Primo enim oportet' ut ves quadratotum , vel unitatum numerus quadratus sit. Deinde oportet interuallum propositorum numerorum, ex una vel ex duabus speciebus tantum eo inponi. Coete iam casus omnes possibiles explicare nobis non est ptopostum, sed eos omnes in quo, incidit Dioptrantus subiicete satis habebimus. eum e2 iis colligi possit quomodo in
alii, si proeedendum. Ptimh ergo accidit utrumque propositorum Numerorum componi ex tribus speeiebus supradiistis, & eorum interuallum unica tantum constate specie, ut vigesima tertii, ubi aequantur quadrato a inis 3 N. - I. N 4 - - 4 N. - I. quorum interuallum I N. ad quod consciendum mutuo duis eiu deligi possunt soli i. & N..t in eorum summa repetiantur N. duplum scilicet a N. latet is quadrati Quate uni ea contingit solutio. Sic etiam vigesima prinia tertii, aequantui quadrato η - - . 3 N. - I. & 4 Q. - I N. - r. quorum interuallum N. quod mutuo ductu conficiunt r. & N. Oh caulam supti allatam. Et unica tantum contingit solutio.. Secundo accidit utrumque propositorum numerorum ex duabus componi speciebus , alterum scilicet ex quia talis & unitatibus, alterum ex Numeris 3e unitatibus, interuallum autem illorum constare ex quadratis & Numeris. sic prima quinti aequantur quadrato Iχ -Ia. & εἰ N. - a. qum rum interuallum I Q ε - N. Quate tales deligendi numeri quorum mutuo ductu id fiat. utine cirum summa teperiantur a N. duplum latetis quadrati a in I tui alij sumi non possunt quain rI N. O. Sic rursus secunda quinti aequantur quadrato I Q - 2O. & 4 N. - ao. quorum
424쪽
interuallum Q N. quod fit ex I N. in I. N. - . Sic denique sexta sexti, aequantur quadrato
I Q. - a. & N. - . I. quorum in redissilium 1 - 14. N. quis fit ex N. in I N. - I . Tertio accidit alterum propositorum numercitum componi ex quadratis, Numeris, & unitati Ahus. Alterum ex quadratis di Numetis, ut decima quinta tertia , ubi aequant ut quadrato 4 Q. - ΤN. - . & Α-- Is N. quorum interuallum is N. - 4. ad quod conficiendum deligendi numeri, in quorum summa reperiantur N. ae pro inti soli . di N. - a. deligi possunt. Quarto accidit alterum pro storum numerorum componi ex quadratis Numeris, & unitatibus, alterum ex quadtatis & vnitatibus. si e vigesima quarta quarti, aequantur quadrato I Q -- IN. I N I - r. quorum interuallum I N. quod fit ex ζ. in et N. Sic rursus octaua sexti, aequant ut qua drato I Q. -- rq N. - I. N I Q - . I. quorum interuallum I N. quod si ex 2 N. in 7. posset etiam in hoe easu in tetustum numerorum eomponi ex Numeris & unitatibus , ut nobis aecidit vigesimam tertiam quarti, per duplieatam aequalitatem soluentibus, aequauimus enim quadrato I Q. - Ι - N. N I Q - . quorum interuallum 1 - I N. quod fit ex P. in a N. Quinto denique accidit alterum propositorum numerorum componi ex quadratis, Numeris, &vnitatibus, alterum vero ex Numeris S unitatibus, ut propositione hac vigesima quarta libri huius, ubi I Q - - ro 76 - 6 44 N.&i N. - sq. aequamur quadiato. Quo casu ut interuallum ex duabus tant sim speciebus ecimponat ut, nee esse est vel unitates, vel Numeros utrobique aequales multitudine reperiri, vel saltem inter eos esse rationem qMadrati ad quadratum, quo possint ad aequalitatem reduci, ut in data hypothesi, quia unitates io h 6. S 64. sunt in ratione quadrati ad
quadlatum , cum uterque numerus sit quadratus, reducunt ut ad aequalitatem ducendo I N. - - oq. an 638 . denominatorem rationis quam habet io 8376. ad 64. N nt i5384 N. - IO ' s. aequan
dus quadrato, una cum ipso I Q - Io 8s 6 -ε144 N. Quare horum interuallum , iam ex duabus tantum constat speciebus, est enim et auea 8 N. - 1 Q vel contrai Q Ias18 N. N duobus modis re solui potest aequatio, quia tam quadratorum quam unitatum numerus quadratus est, vi supra latis superque doeuimus.
Η me de duplicatis aga alitaribas tractara a multa possemus adiungere qua mecdie seres nec noui aetexerunt. Suffleti nane , νι mei hodi nostra dignitatem smyum a seramas , ut quoιο nem sequentem ga a sane dis is illιma est rhsoluamas. In a seire trianguiam recta utilam nam ero , ea,tis 'potenHast quadratus, o pari
Methodus nostra hae es. Farasar qai is propos a seeundam methodum mulgarem, si non fuceedat solutio pos ab solaram oleνationem qaia 1 empe valor
numeνi nota aemus in signitaν o ideo minor esse nihilo intelinitar , non ramen de pondendam animam eonfidenser pronvintiamvis qtia os ei ant ia , vi Ioquitarm ia , fati s usus sir veterum anal aram. J Sed is eram quassonem sente mago pro valore radicis ponamas i N. - nam ero qaem fabrino duellus aequari radiei incognita an prima operatione in animas, prodιbit noua ha via dabiὸ aquatio qua per veros numeνos solutionem qtias sonis repraesensabit. Et sae*iasaperiores daas quasiones alioquia dis Arimas resti imas , de mons rati imas pariteν es construmamus numerum ex άuobas ea bis eompositim in da os . Iios labos diuidi posse , sed hoe perit raιam ter ati quando operationem. Sapias enam contingit ut verisas quaesita ad
multiptices ope νationiam ire νationes solertem o in priam ne eessario adigat ana-hsam vi faeivime experiendo deprehendes.
425쪽
334 Diophanti Alexandrini,cLVASTIO XXV.
ΙN v a K r a a triangulum rectangulum, ut quadratus hypotenusae sit alius quadratus, & latus I & diuisius per unum laterum circa rectum, faciat cubum & latus. Statuatur unum laterum circa rectum i N. alterum vero x QA manet quadratus hypotenusat aequalis quadrato a cto suo latere , idemque diuisus per unum laterum circa rectum , iacit cubum cum suo Iatere. Restat vi I Q λ--I Q. aeque tur quadrato. Et omnia peri Q. diuida tur, fit I Q. - I. aequalis quadrato. Esto quadrato a latere I N. - 2. fit I N. b Sc reliqua sunt manifesta. 1N ALAE AEST IO N E M XXV.
τE s e x O quid somniat hie Xilandet de qi11stilatero tegulati, & de numere go. Sanὸ in eodiee manu exarato se habebatur, Corit Mic cum. 3ρύοπες τητώγων , m κάμνει e vr . Quare cum passim hoe libeo vox in ειρε exprimatur unἰeo π eum λ. superscripto, hae ratione satis colligi poterat. vetam lectionem esse, ψ ἄ-eces γνoc, at, in ευρα. eterum artifici δ Diophantus pet ipsas positiones, duabus propositi partibus satisfacit, nam quadratus hypotenuis sit x Q Q. - inqui est quadratus eum suo latexe, di idem quadratus hypotenuia diuisus per alterum laterum eitea rectum, puta per x N. dat quotientem I C. - IN. cubum scilicet cum suo latere. Quamobrem superest solum, ut quadratus hypotenusae. nempe I- aequetur quadrato. Et diuidendo per i Q. st a Q. -- L aequandus quadrato, cuius latus poni potest I N. - quotlibet unitatibus quarum quadratus superet I .Ponit Diophantus I N.- a. unde it IN. . suntque trianguli qua siti latera :. A. H. Quadratus hypotenuis est qui continet quadratum . I.& eius iatus se. U. & dividendo eundem quadratum hypotenusat per latus 3. Dis R. qui continet euhum R. & eius latus l. sev K. Non solum autem inuenti hae alte numeri praestant ea quae requitit Diophantus, sed praeterea summa laterum circa rectum est quadra. tus cum suo latere, ut patet tum expositionibus . nam summa laterum eitea rectum posta est a M- IN. tum ex ipsa solutione, nam est latus quadratum dee. Ille etiam formati potetit expeditus Canon. -- e . aruadratum timeata matia vim , d uide per aviam sui lateria, vela ea res, v ιν volueris quasseneum erit adserum I rerum circa remem , ct eias quaisatus eriι atiorum larus. Horem amem P Aaei simia eo latens hypate se quadratam. verbi gratia avset a. a quadiato s. & residuum 8. diuide per s. duplum late is ipsus s. vel eon- ροὶ divide 6. per g. quotiens t. vel . alterum laterum citea rectum. Ergo altrium erit s. vel ἄ&hypotenuia Uvel Ja. Quare uniea operatione duplex reperitur solutio. cuius rei ratio est , quia contingit I. aequari quadrato, & quia tam qu m I. quadratus est, potest latus illiua fingi vela N. quotlibet unitatibus, vel x- quotlibet Numeris, puta, vel I N. -3. vel I-3 N.
. Dia mi G ελ Κω ομην κ' α . λει ι εαριθμου α. ὁ αεια is σῆ ετέρα ἔπυ δεναμων IN v x Μ r a a triangulum rectangulum, ut unum laterum circa rectum sit cubus I alterum vero sit cubus suo multatus latere, hypotenuia denique sit cubus auctus suo latere. Statuatur hypotenuia
IC. - IN. unum vero laterum circa rectum a C. - I N. Reliquum ergo latus erit
426쪽
a Q. Ressat vi 2 Q. aequentur cubo. Estor C. & fit 1 N. 1. Ad positiones. Erit trian
Hse duo maximὸ notanda sunt. Ptimum non sine arte poni hypotenusain I C. I N. &alte rum laterum I C-a N. Nam hae ratione satisfit duabus postulati partibus, siquidem hypo, temisa est cubus cum suo late te, di alterum laterum est cubus suo latere multatus. Deinde ut habeamus tertium latus, oporteat a quadrato hypotenulae, nempe ab a C C. - a QN M. t Q. auferre quadratum lateris secundi, puta I C C. - a Q. rin & quod superest , nempe 4 quadratus tetiis la et is, res optimὸ succedit, eo quod Q in est quadratus, ae pio inde latus eius a Q. est tertium latus. Et simile semper eueniet s hypotentisa ponatur quilibet cubotum
numerus cubicus, plus suo latere, & secundum latus ponatur idem cubus, minus suo latere. Nam intet uallum quadratorum , erit semper certus quadratoquadratorum numerus , qui fit quatet
ex cubo in suum latus, quandoquidem hi quadrati sunt omnino similes , nisi quod in quadrato hypotenti sat continetur Aurium producti ex cubo in suum latus cum signo pluris, & in quadrator a tetis secundi, continetur idem duplum producti es cubo in suum latus eum sistio minotis. Proinde quadratorum interuallum aliud non est quam quadruplum producti ex cubo in suum latus. Igitur quadruplum hoe semper esse quadratum demonstrandum est. Non solum autem hoe ostendemus, sed quod uniuersalius est, duicto quolibet quadrato in aliquem numerum, & producto in euhum eiusdem numeri multiplicato, produci quadratum, ut non de quadruplo tantum , sed etiam de non cupio, se decuplo, &e. idem eon steti D ci. E,. Fi. milibet humerus A. cuius quadratus B. & eubus C. & sumatur quilibet, , g 4 c s quatiatus P. quo ducto in A. fiat G. dieci fi G ducatur in elabum C. fieti quadra
ci is A i, ' tum. Sumatur enim E. latus quadrati D.& si Funitas, ductoque E in B produeatue
H. Patet igitur per ea quae ad definitionem quartam primi , demonstrata sunt, tam tres ABC. quam tres D E F. esse proportionales. Quare eum ex primo D in primum A. fiat G.& eu secutulo E in seeundum B fiat H. ae denique ex terito F in tertium C. fiati ple C. erunt & ttes G. H. C. proportionales. ' Quare es C in C. fiet quadratus ipsus Η. Quod erat propositum. Hinc euidens est duplieiter variati posse solutionem di positiones. Nam primo licet ponete pro hypotenuia quemlibet euhorum numerum eubi eum, plus latere ipsius eubi, N pro altero latetum, eundem e ubum ininus suo Ialete. Deinde tertium latus quod semper reperitur certus quadratorum numerus, potest aequari diuersimode alicui cuborum numero euhico .ut in hypothesi Diophanti et Q possunt aequari ἰ C. C. 4 C. &e. ut si ponas a Q. aequales is C. fiet quaestum triangulum At a. olio. sit. Necesse est autem hie a inaequari alleui cuborum numero eu bico minori quam a. quia cimi alictum latus positum sit a C. - i N. oportet ut 1 C. st maior suo latete , quod aecidet si i N. st maior unitate. Id autem continget s et inaequentur cuilibet cubo minoti qu m et . ut euidens est, 'quia valor Numeri repetitur diuidendo a. pet aliquem cubum. si ergo euhus ille sit minor quam a.
fiet utique quotiens maior unitate. Hie etiam formabitur huiusmodi Canon. Per quemluet eti,tim minorem binario, Atiissi binaritim, quo ἰentem addesus ea ba , est dema a suo cubo, habebis πιροι musam, O Oniam Iaιὸ m. Terιium vera latus πιι durum quadrati quo ii emis eiu em.
Sed & smili prorsu, artifieio lieebit soluere huiusmodi quaestiones. Inuenire triangulum rectangulum, .ut unum late tum circa rectum, sit quadratus, alterum quadratus absque latere: hypotenuia quadratus cum latere.
Esto hypotennia I N. unum latus I Q 1 N. ergo quadrato hypotenusae auferendo lateris quadratum, manet tertii lateris quadratus η C. quod quia volumus esse quadratum, Oportet ut quadratus ipsus sit quadrato quadratus. Igitur 4 C. aequantur quadrato quadrato. Esto I QR sit igitur i N. q. estque triangulum eto. ia. I 6. ubi etiam necesse est C. aequari alicui quadrato quadrato minoti quὶm q. ob causa in supra explieatam. Et si ponas 4 C. aequari I Q fiet I N. 64.
eritque triangulum 416Ο. Αο32. G24.
Hie finem impos tutus eram nostris eommentariis in hoste Diophanti Arithmeticorum libros, cum venit in mentem , multa alia, eaque non iniueunda proponi posse de triangulis tectangulis problemata , quae huic libro subiicere non abs te visim est, ab illis sumentes exordium quae deter minationes vatias de lateribus . vel de ipsa trianguli alea docent.
427쪽
Dato ambitu trianguli, inuenire terminos intra quos consistere debet hypotenuia
Datus ambitus esto io. Primum certum est hypotenusam, minorem esse debere semisse dati ambitus, eo quod euiusti teri anguli latus, minus eii duobus teliquis simul. Quare maior quaesitorum terminorum est s. ex Uuliue. Vt autem habeatur iminor tet minus, ponatur hypotenui a I N. ergo reliqua latera simulerunt io -I N. Quare ut fiat triangulum rectangulum, oportet diuidere aci - i N. in ducis numeros. quoruin quadrati si nul ton fietant I Q Quod ut fieti possit per Canonem trigesimae primi, constat oportere, ut duplum summae quadratorum, puta et insuperet quadratum summae duorum numerorum. Nempe I- - 2o N. - I Quare sublatis utrimque aequalibus , & addito desectu, fit rQL- IO N. maior quam Io . ex hae autem arquatione fit IN. R aoo- Io. Ergo certum est hypo tenusam, non posse esse mitiorem qu m P aoo -IO. Quapropter B. 2oo - Io. est minor terminus
in elusive. Dico inclusiue, quia hypotentis a poni potest a 2 - 1O. si videlicet latera circa rectum ponantur aequalia. Nam conditio ad trigesimam primam primi apposta, eatenus loeum habet, quatenus inaequales numeri quaeiuntur, ut ibi adnotauimus. Εου his igitur elici potest huiusmodi
-s , s as ι Itias Iarere auferas ipsum ambitum, νε aum Hir manor Ierminus inclusi P. Itaque si in rationalibus numeris i plum minorem terminum exhiberi cupias, id fiet per approximationem hae arte. Quia ut constat ex supt, dato Canone , minoi terminus upotenulae respecta ambitus, estu a - N. sume latus proximum de a puta I N. N hine aulat i N. testat ἰ: N. Quare talem habeto tegulam. . Durito datum ambitum an ap. radiarum ἀω Δρον o. orietur minor termiam quassus. Vt data eireumferentia io. ducito Ioinas. fit et . quem diuide per P . st minor terminus quaestus Quate dices dato ambitu Io. hypotenusam fore minorem quam I. non minorem quam 4
Dato ambitu trianguli rectanguli, inuenire terminos summae laterum circa rectum.
Ex praecedente pendet haec quaestio, quia enim summa laterum circa rectum, una eum hypois tenusa, conficit totum ambitum, patet tetminos summae laterum elua rectum respondere imminis hypotenuis, ita ut ab ambitu trianguli auferendo sgillatim terminos hyporenusae, relinquantur termini semmae laterum. Sic posito ambitu Io. cum per praecedentem fiant termini hypotentiis, . N I. uacio Io. si vitumque auferas , toto ambitu Io. remanebunt termini summae laterumcirea tectum . nimirum minor exclusuὰ s. inclusiuὸ χο - R aoo. Vnde Canon . S. sa dari ambitus es misον seminas exelusiud, ct s a dulo ambitas, aviferas lares Apsi a Gali 0sus ambitias, rem vim erit maior terminus inelusae. Fiet igitur terminus respectu ambitus a N. - a in seu per approximationem N N. unde regula. Dueles Litim ambiatim in ηι. noductum iuuide per o. oristin maior termistis quasios. . Vt dato an bitu Io. ducito io. in i. fit Aro. quem diuide per Io. fit maior terminus quaestus s-. Oportet ergo summam laterum ei te a tectum cadere inter s. &ss
Duo ambitu , inuenire terminos aggregati ex hypotenusa, & ex altero laterum.
Ambitus esto II. si mo patet maiorem terminum exclusue esse ipsum ambitum ra. potest enim aggregatum . hypotentisae & alterius lateris, statui quilibet numetus insta Ia. & quantumuis exiguus numerus relinquatur pto tertio latere, persci poterit triangulum. Minor vero terminus est 6. semissi, ipsis,3 3. -. H. Quod se plobatur. Quia quadratus ipsus ambitus ra. aequatur duplo producti ex aggregato hypote uae & baseos, in aggregatum hypotentiis di perpendiculi, seminis eiusdem quadrati, puta 7a. aequabitur producto ex aesterato eodem in idem aggregatum. At a. fit ut patet, ex Ia. in suum semissem s. Quare si a. dἱuinatui pet 6. st quotiens ia. & si a. diuidatur per numerum minotem qu m s. st quotiens maior quam ret. Evidens ergo est aggregatum hypotentiis & baseos non posse esse 5. vel minotem qu m s. alioquin sequeretur aggregatum hypote nuta& perpendi euli esse tet. vel maius qu1m 1a. Quod est impossibila cum totus ambitus ponatur iet. Itaque fiet bretiissimus Canon. a. Ipse ambirus, ct eius semisi stina quassi remisi exelusiae.
428쪽
Dato ambitu invenire maximum areae terminum. Datus ambitus esto io.
Inueniatur per secundam harum maximus terminus summae laterum circa rectum, puta Io - 2oo. & huius quadratus esto ooo - R 32 Ooo. cuius octava pars sit Vs. - u socio. dico hune esse maximum areae terminum ἔ quia enim octava pars alicuius quadrati aequatur semissi quadrati a latete subduplo lateris proponti quadrati, erit 71 - 2 3oo. semissis quadrati a semisse ipsius 2o - uetoo. puta semissis quadrati ipsius Io - isso. Itaque quoniam quadratus semissis alicuius numeri ' Lmaior est producto duarum quarumlibet inaequalium partium eiusdem numeri, erit quadratus ipsius io - u so. maior producto duarum quarumlibet inaequalium partium, in quas seeati possit aci u aoo. quare eum area trianguli sit semissis producti duorum laterum, quorum summa Io A IOo. non poterit area maior es e semisse quadrati ipsus to - uso. hoc est non potetit esse ma tot qu m s - R scio. Hinc ergo fiet huiusmodi Canon. A Adrante quadrata disti ambitus, aufer Ditis εω risitim semisis quislatovadrari eis em amis bittis , νesiduam erit quaesitus termanaes. Proinde si libet in lationalibus quaestum terminum praescribere, cum ex dato Canone area resis
pectu ambitus sit 4 Q. - et Q. sume proximum latus de nempe quem aufer . :QJuperest is Hine ergo formabitur Canon.
Ducito Pad eum ambitus in s. pro ctvim Luide per ra. orierin amea termin s. Sie in data hypothesi ducito quadratum 4psius ro. puta Ioo. in a. fiet goo. quem diuide per Io fiet 4 l. quaesitus areae terminus. Non praescribitur autem minimus terminus areae, quia dari non potest. Etenim summa laterum et ea tectum, semper diuidi poterit in duos numeros, quotum mutuo ductu fiat quantumlibet exl-guus numerus, ut constat ex conditione apposta trigesimae primi, quae ut quaestio sit possibili, requirit tantum quadratum summae maiorem esse quadruplo producti. Unde euidens est, quti minor erit productus, eo magis solui posse quaestionem.
Data hypotenuia praeseribere terminos summae laterum circa tectum. Esto hypotenuia 3.
moniam ex eonditione apposita trigesimae ptimae primi, oportet duplum quadrati hypotenuis superate, vel saltem aeciliare quadratum summae laterum eitea tectum, eum duplum quadrati s si sci. non dioterit summa laterum ei rea rectum excedete a s . sed eadem summa latetum citea tectum de-het liaperare hypotenusam, ut duo trianguli latera simul sint maiora teliquo. Igitur quasti termini sunt s. exclusus. & u so. inelusiuλ Hine set Canon. I a potensia est minimas herminus. Αι Iartis Δρδε ε ara i hypotraasa es maxἰmus terminus. Quia ergo respectu livpote se maximus terminus summa laterum circa rectura est a sc I tus proximum de a Q est V N. hune habeto Canonem. Dueito h psse sam in py. proauctum a uiuae per ν o. arietur astus terminus.
Vt in data hypothesi ducito s. in s9. fit 49s. quem diuide per o. fit terminus quaestus T ''.
Data summa laterum circa rectum praescribere terminos hypotenuis. Sit summa laterum circa rectum s.
1 tui ex dictis ad praecedentem quadratus ipsius 6. puta 36. non debet meedere duplum qua drati hypotenuis. Quare hypotenuia non potest esse minoi quam n 18. Debet autem eadem esse minor quam summa latetum 6. Ergo quae liti termini sunt ε. exelusu , & a i8. inelusiu . Vnde
I a summa uterem Area rectam est maxἱmus terminus exeia d. Aι lutas semili quadrini eiu dem flumma laterum, est minimus terminus inelusiuri Quoniam igitur respectu summae laterum eirea tectum. fit hypote ivisae minimus terminus a lineum proximum latus de sit X.. N. hane habe regul m. Ducito summam laterum circa retiam in m. prodat am ius da press. oriatur minimus remis potenus. Vt in data hypothesi ducito s. in o. fit 41o. quem diuide per sy. st quaesitus terminus hypo tenuis 4 , V
429쪽
Diophanti Alexandrinis ROBLEMA VII.
Data hypotentisa praescribere totius ambitus terminos. Sit data hypotenuia 3.
Imietilantiit per quintam termini late tum elica rectum , puta s. N a s o. qui addantur sgillatimvs hypotenus ae s. fient quaesti termini I . exclusitie, u so. inclusue. Unde Canon. Mulum initis hyparentiis est minimus terminus exciasiae. At an regatum ex se senus es oedisti qωadrata ea Am hvo enas , es maximus terminus inestis7M. Cinn ergo maximus ambitus terminus respectu hypotenuis si I N. - Ra Q. & Ra inper approximationen, si N. inuenietui qumstus terminus in rationalibus hac arte. Duel o 11parentisam in ι ρ. 'ro sum Luide per o. arietiar maximias circumfrensia rerminus. Sie in data hypothesi ducito s. in Isis. st 8 s. quem diuide per 7o. set Ia quaesitus terminus.
Data summa laterum cirga rectum, praescribere circumferentiae terminos. Sit data summa f.
Inueniantur per sextam hypotenuis termini, puta 6. N R I8. qui addant ut sigillatim datae sum mae laterum O. sent quaesiti circumferentiae termini, puta Ia. exelusiue & 6 a IR inclusust unde Canon. Sapiam summa lateram eirca rectum, es maximus terminus exelusive. At aggregaram ex summa lis reum, ct ex liatere semissis quadrari eι dem Amma , es mininus terminias incis e. Citinergo minimus circumferentiae terminus, respectu summa laterum circa tectum, si N. - Q. & u ἰ in per approximationem sit inuenietur quaesitus terminus in rationalibus hoc pacto. e tofiammam iaιerum ia disp. prodactum Haide per ι o. orierin minimus e reumserentia rediis
Sie in data hypothesi dueito 6. in Σ39. fit 1 34. quem diuide per i o. fiet quaestus terminus Io
Data summa laterum circa rectum, inuenire maximum areae terminum.
sume quadratum datae summae , puta I 6. huius octava pars nempe a. est quaesitus areae terminus , ut demonstratum est quarta harum.
Data hypotenuia inuenire maximum areae terminum. Data hypotenuis esto 6.
Sume quadratum datae hypotenuis, puta 36. huius quarta pars nempe s. est quaesitus areae terminus. Nam per quintam duplum quadrati hypotenuis debet superare, vel saltem aequare quadratum summae laterum circa rectum. Quare quadratus summae laterum ei rea rectum, ad maximum est D. cuius octava pars per praecedentein est maximus areae terminus. At octava pars de a. est quarta pars semissis ipsius 72. puta ipsius 46. Igitur patet propositiim.
Data area inuenire minimum terminum summae laterum circa rectum.. Area esto 6.
Sume octuplum areae, puta 48. huius latus nempe o. est minimus terminus summae laterum circa rectum, ut constat ex quarta , de nona.
Data area inuenire minimum terminum hypotenuis. Area esto 6. Sume quadruelum areae , puta 24. huius latus nimirum v a . est minimus hypotenuis terminus, ut constat ex quinta, & decima.
430쪽
337 Atithmeticorum Liber VLPROBLEMA XIII.
Data area praescribere minimum ambitus terminum. Area esto 6.
Sumantur per duas praecedentes minimi termini suminae laterum & hypotenuis, puta a 48. &24. horum lumina R48. - 224. est quaestus circumferentia terminus , ut euidens est.
Triangulum tectangulum in rationalibus constituere , ut summa laterum circa rectum sit datus numerus. Summa laterum circa rectum esto g.
ponatur unum latus IN. erit alterum 8-I N. cum ergo horum quadrati simul debeant aequati quadrato hypotenusae , fiet summa quadratorum 64 - ro N. - a Q. aequalis quadrato, cuius latus ponatur 8 - tot numeris qui excedant a. ut scilicet fiat I N. minor qu,m s. quia latus alterii in positum est g -r N. fingatur ergo latus praedictum 8 - 3 N. fiet quadratus 64 - 48 N. - o aequales 64 - I5. N. - a invia se fit 1 N. f. unum latetum circa rectum, estque alterum 'ipia hypotentisa 4' Hine Hicitur facilis Canon.
Inuenire triangulum rectangulum in rationalibus, ut eius ambitus sit datus numerus. Esto ambitus dio. Pone latera quaesiti trianguli 3 N. 4 N. 3 N. fit summa la N. aequalis et . est ergo IN. l.&quaeia situm triangulum 1. 6 8 & sic infinitae reperientur solutiones si loeo 3. . s. deligantur Mia atquenti, triangula non similia. Sed & licebit inuenire t iangulum simile cute unque dato triangulo te.
ctangulo, eodem numero ambitus manente.
Aliter sume semissem quadrati ipss Io. puta Ioo. 8e statue aggregatum hypotenuis di baseos quemlibet numerum inter aci. & eius semissem Io. ob ea quae demonstrata sunt tertia harum. Verbi gratia pone tale aggregatum I S. erit ergo perpendiculum s. At diuidendo a . per n1. quotiens i3 etit aggregatum hypote nuta & perpendiculi per decimam nonam tertii potismatum. Quare si inde auferas erpendi eulum , putas. manebit hypote nuta 8 Ita quam si iubtrahas, is fiet basi,si.
Dato ambitu , & data area trianguli tectanguli, inuenire triangulum. Esto ambitus M. Area 6o.
Pone hypotenusam i N. ergo latera circa rectum smul sunt α-i N. cuius quadratus Is cx- ..M. N. M. i Q. aequat ut quadratis laterum circa rectum, & duplo plani iub ipsis contento, hoe est qua fratci hypotentiis, & quadruplo areae. Quare et Q -- a . aequantur x6- - N. - I . in Unde fit i N. i . Ipsa scilicet hypote nuti. Isitur summa laterum circa tectum est 23 Quam o hthm dupli et . ia inueniri possunt ipsa latera, diuidendo scilicet aa. in duas partes, quarum quadrati siti ut essetant 289. per trigesimam primam primi, vel in duas partes quatum mutuo ductu sat ID. pet trigesina in primi. N utroque modo repetientur latera is.& 8. Hine si Canon. A quais ra ambatus aufer quadruplum area , res vim a Mida pra diaprum ambitus , orietur M. parenus.
Dato ambitu, & solido sub tribus lateribus, inuenire triangulum. Esto ambitus ia. solidus 6 o.
Pone hypotenusam i N. et unt latera circa tectum simul aa - 1 N. Re planus sub iisdem lateribu, Qua statua autem summae laterum circa rectum est x M. - 24 N. - I in unde si auferas quadrato, ipsorum laterum, hoc est illis aequalem quadratum hypotenuis, relinquetur I44-24 N. du.plum plani sub lateribus. Igitur huius dimidium, puta a - Ia N. aequatura. Vnde fit a N. hypotenuia se ilicet, est ergo summa laterum circa rectum & planus sub ivss Ia. unde etiam supi, duplici via, nimirum per trigesimam vel pet trigesimam primam primi inuenies latera ι.ει ' . 4. Hine elicietur facilis Canon.