장음표시 사용
261쪽
234 PARS ILProportionem eX ponunt,quae est inter Rationem TF,&Rationem G H. quique designari debent ex praescripto Propositionis . characteribus in . Atque ea est Proportio , quae oritur ex terminis ver maioribus ' Massumptis. Quod si verὁ minores allumantur haud aliter proportio reperietur sint enim termini vero minores supra exhibiti ut habet hoc schema. Et FHucatur in G, productusque diuidatur per ut fiat quo- tiens 3 7716 lo- E-3i8o861 G 61α36αὶ co Antecedentis G F. 169163 H 318o86 ad quem velut ad
seratur Antecedens E. Expriment hi numeri, qui M&N dici debent, Proportionem inter Rationes soli dorum E, Fin G, H positis terminis Vero minoribus En iam schema in quo utraque Proportio exhibetur,ut M 3i868 o Extermit is -318Ο861 Ex vero
carum discrimen, dum simul ambae opponuntur, clarius elucescat. Nec dum tamen satis aperte dignoscetur, donec uterque A tecedens M in alium mutetur, cui communis Consequens congruat hoc est, donec termini reperiantur Proportionalitatis, duplicis huius Proportionis M , M . qui habebuntur primo ter- naino ducto in quartum N , ut sat Antecedens: ducto secundo termino, in tertium M , ut fiat Consequens sunt autem huiusmodi, quales hic adscribo.
262쪽
ioribus ortum, ratione orta exterminis vero minoribus Vera ergo rati exterminis veris profecta inter hanc utraque interiaceret. Quod maxime obseruatum velim. Atque hactenus exposui Proportionem quae hic qimebatur. PROP. IVI. T HAE O R. Respuit Geometria coniunctissimae suae sororis Arithmetices apertissimis argumentis persuasa clarissimi Alumni sui nouamCirculi Quadraturam.
Demonstratio. Hic in primis consulatur Propositio mea 8 in qua retuli Propositionem 7. lib.io Geometrae in qua supponit probatum euidenter per Propositionem suam 6α. haec est propositio mea 7. esse eandem Proportionem inter Rationes AB MCD quae est inter Rationes EF&GH. Quas Proportiones voco L cM . id eis, eandem esse proportionalitatem hic consuli omnino debet Propositio . ut horum characa erum, quibus breuitatis mucis gratia uti cogor, memoria refricetur inter has duas Proportiones atque adeo Proportionalitatis huius terminos Ante&dentem consequentem Q aequales esse. Istud porrὁ an verum sit tabula. quas hactenus paraui, pro-
263쪽
producatur Proportio I quam Prop. 13. numeris accuratissimis exprem huiusmodi. Κ-3o3 1 L 383 α. AD feratur deinde in medium Proportio MN quae duobus
diuersis terminis exprimitur, prout veris maiores Vel minores assumi possimi. Nunc primum proponantur veris maiores. M est 318o8 o do 3 78i31. Compo' natur in unum schema ambae Proportiones hoc modo. - Si ergo hae duae
&EF, GH Rationes, sunt aequales: Idem debet esse utriusque Proportionis Denominator vel quod eodem redit; cum aequales ponantur proportiones Κα&M Proportionales debent esse earum termini. Atque adeo per Prop. s.lib. .Eucl.Idem numerus feri debet, si ducatur Κ primus, in quartum N qui fit ducto L secundo in tertium. Ineatur huiusmodi multiplicati, ut habeantur termini P. Proportionalitatis. Hi sunt quos refert hoc schema.
tionum propositarum uidentissime concluditur. Quod si terminos veris minores in medium adducamus, vix minor sese prodet dissimilitudo , siue in qualitas proportionum earumdem L, R N. Componant udambae in hoc schemate.
264쪽
LIIII. Examen triplicuinas tr. Oger
tiplicatione mutua terminorum Κ, N, terminorum L, M , ut ante ostondi hoc est termini Proportionalitatis in , aequales esse debent. Sunt autem huiusmodi. Cum ergo tanta inaequa- P ao 36 io 672 SP in i I96OJ72 62 litas obseruetur inter terminos P α Proportionalitatis Proportionum KL,&MN, siue sumantur termini Proportionis veris maiores , aut veris minores termini enim Κ, L prioris Pro portionis veri ipsi sunt in accuratissimi. Quis Geometriae alumnus non in dubium reuocet Propositionem illam 61. saepius citatam qua asseruntur Proportiones I, MN,Rationum AB, CD de Rationum EF, GH, aequales esse atque adeo iure non agnoscat tanquam absolutam Quadraturam nouam quae tota
huic Propositioni nititur. Atque istud solum e Logistica dedueram ratiocinium, notium hunc circuli Quadrandi modum omni vitio omnino non carere fatis euidenter ostendit Verumtamen cum istud unum sit totius huius discussio nis caput, licet satis fuse singula exposita fuerint, ita ut non numeros modo excalculo deductos sed ipsam etiam totius putationis seriem exhibuerim sit, si lu-b-at, totus ipse calculus a Logista non omnino rudi leuissima opera pulsit iniri: probari: in eo exponen-
265쪽
do paulo diutius immorandum videtur: ac in primis dissicultati cuidam prima specie satis graui occurren dum ea est huiusmodi. Obiiciet non nemo mirum videri non deberes, si ina qualitas aliqua deprehendatur in numeris superioribus proportiones KL, M N exponentibus ac proinde eas inaequales esse indicantibus. Cum enim Rationes EF, GH corporum ex ductu subalterno produ-
istorum, atque adeo earum Rationum proportiora snon nisi ex circuli perimetro eiusque rex quas Veris ac prat cisis numeris exprimi nondum contigit , X-pi mantur, ut ex Propositionibus i .is. Mi constat. Cum,ut ibidem videre est , sinuum numeri, qui omnino pratcisi esse nequeunt, adhibeantur ad harum Rationum inuestigationem,ac determination et . qtu fieri
potest, ut ipsa proportionalitas , P, Q duarum proportionum ML, habitudinem exponens, a qualibus numeris constet qui aequales proportiones illas L, 4 demonstrent; licet reuera aequales Geometrice ipsae sinat Imo ince quales esse huiusmodi terminosi: Croportionalitatis necesse est. Nam proportio Κ L, quae ad Rationes Am G D corporum ex ductu simplici genitorum pertinet veris accuratasque
terminis constat. Contra vero proportio M exterminis non omnino veris sed ad vero ploximo tantuni accedentibus, ut paulo ante dictum est proficiscitur: discrimen ergo aliquod induci necesse est in numeros P, a proportionalitatis quamuis si terminis exprimatur continuae quantitatis , absoluti ilina sese prodat:equalitas.
266쪽
LIB. III. Examen triplicis B.poster. 23 9 Ad hanc dissicultatem respondetur , dissilendum omnino non esse inaequalitatem quandam in terminos P, Q Proportionalitatis inuehi ex terminis non omnino praecisis suppositis, unde ipsa constituitur id
enim euidenter probat allatum argumentum. Ea tamen admittenda non est inaequalitas,quam in terminis Proportionalitatis PQ obseruare licet. Ha: cenim nullo modo referri potest ad numeros, qui non veri sed Veris tantum proximi supponuntur initio: cum in ipsis
primis figuris numerorum Pri .ese prodat ad quas
pertingere non potest tantilla a vero discrepantia in extremis ipsis tantorum numerorum figuris supposita, quaeque etiam in ipsis unitatem integram adaequare
non possit quamuis unitas ut Prop. O. monui, minor sit parte ter centies millesima positorum numerorum nec vero in decursu calculi tot occurrunt
ineunda operationes , quae particulam illam ita multi plicent, ut numeros peruadere possit immensos , nec paucioribus quam duodecim figuris constantes;& mutationem sue inaequalitatem gignere in primis ipsis eorum figuris: Quod vestigia relegendo totius putationis declarari facilius potest, quam breuius ita ut huic operae minime necessariae supersedeam certoque statuam inaequales omnino esse Proportiones ipsas DL,M N,ut arguit earum Proportionalitas Pater minis constans inaequalibus ab ipsis primis eorum fguris, quarum utpote summi aloris, maxima habenda est Ratio: Esto in posteriores figuras quae, Ut minimae quantitatis . ad priores collatae, contemni omitti
267쪽
mine numerorum a veris, supposito. Hanc responsionem , latamque sententiam in circuli nouam hanc Quadraturam, apertissime confirmat initus a me calculus superior initus si quidem de industria, ita est; ut duplicem semper operationem instituerim, quarum altera ad perimetrum circuli vera maiorem, altera ad vera minorem spectaret citavi certum siti verum ipsum terminum inter utrumque Versa ri. Cum igitur tandem necessarias putationes eo adduxi v stabilita sit utraque Proportionalitas P Q, tum
quae ex termino maiore,tum quae ex minore , Vero, deducitur necessarium est ut alterutro Consequente QProportionalitatis, constituto cuius utriusque Consequentis Q figurae primae ad sextum usque sunt aequales,
ipse verus Antecedens, si haberi contingere os interutrumque hunc Antecedentem Io 6 8 , c. Qui extemino maiore,in io 363 , c. Qui ex termino minore collectus est , contineatur : Et quia quatuor priores figurae utriusque huius Antecedentis sunt aequalessetiam his aequales forent saltem quatuor priores figurae veri Antecedentis: Atque adeo caedem inaequales
forent quatuor primis figuris Consequentis in quemadmodum illis sunt inaequales quatuor figurae duplicis
huius Antecedentis Esto reliquarum insequentium tanquam minimi momenti nulla haberetur ratio sue aequales fuerint siue inaequales. Ad extremum ut sole clarius pateat hanc inaequalitatem terminorum P, Q Proportionalitatis non ex
268쪽
LIB. III. Examen triplicu quadre r. Minumeris a vero alienis,suppositis oriri , sed ad inaequalitatem ipsarum proportionum K Lin acceptam
reserri debere attendantur tum Antecedentes duo,
tum duo Consequentes proportionalitatis utriusqueri Nunquid non aequales sunt duo Antecedentes Pad quartam usque numerorum figuram duo vero
Consequentes Q, etiam ad sextam, aequalitatem retinent 4 tamen uterque Antecedens, consequens
uterque ortum habet a duplici circuli perimetro su posita, quarum una maior est vera, altera minor Cur ergo termini utriusque Proportionalitatis PQ, qui aequales esse deberent positis aequalibus proportionibus a,M N, inaequales sunt, si tota eorum inaequalitas ex eodem fonte emanaret ex quo derivatur tota
diuersitas duorum Antecedentium inter se, sicuti duorum Consequentium squi licet aliquam inaequalitatem patiantur aea tamen exigua est δε minimi momenti, Mad prima figuras terminorum minime pertingens sed extremas tantum occupans: Et ea sane tota est, quam generant termini perimetrorum ero maiores, Veroque minores suppositi quam etiam obseruare utriusque proportionalitatis Antecedentem dc
Consequentem fatendum foret,si ea solum radix foret discriminis intercedentis inter eos. Sed aliunde cum tam diuersum sit, illud emanare constat, ex diuersis scilicet proportionibus Rationum Al , CD ET, GH. Vt hactenus inita putatio demonstrauit. Et in posterum demonstratura est euidentius neque enim par est tanti momenti caput unico examini licet uni-
269쪽
ασ1 PARS I. cum sussciat subiecisse. Sed accedat necesse est , aliquot praeterea casuum milium testimonium ut eorum consensus, latae sententiae aequitatem apud omnes testatiorem praestet.
PROP. XVII. THEOR. Sententiae Propositione Antecedenti latae
, Confirmatio hetec, via per quam multiplici posset
iniri Posset eadem retenta quantitate linearum systematis, AV23. At is,&c. Vt Prop. antecedenti affam-ptae sunt, mutari latus rectum. sic aliae de aliae parabolae possent delineari, quarum communis axis semper foret Ai iuxta Coroll. 1. Propos. 6. Possent item linear A , AI A I his numeris Σ3, 16, definitae, per quemcumque numerum multiplicari Di adi Chorum numerorum loco , eorum sumi aequemultiplices ae- tento tamen eodem latere recto quod ante assumebatur , nempe Unitate. Posset etiam in hoc ipso casu mutari latus rectum. Quod si omnibus his diuersis initis viis quarum plurimas, ut mihi constaret veritas,quam tanti Geometrae authoritas sola mihi faciebat dubiam)eo semper deueniatur; ut proportiones Rationum superiorum AB, CD:&EF, GH in oequalitatem aliquam subeant id est termini Proportionalitatis earum,qui sunt Pac ,inaequales tandem absolutis operationibus sese prodant de carum inaequalitate, quae Quadraturain nouarti funditus concutit, iure nemo possit dubitare. Omitto tamen omnes hinc petitas assertio
270쪽
assertionis meae confirmationes, ut aliam afferam, quae mucis plurimum calculo praecedenti affundet: dcveritaterie tenebris, si necdum satis discus ituit, sole clariorem educet contemplandam. Dum varias in eo numerorum rationes , frequens & constans me docuit experientia , Proportionum, de
quibus tota es quaestio , inaequalitatem siue dissimilitat udinem eo ma orem semper se prodere taeteris paribus, quo longior axis i Parabolarum statuitur, quove quod inde consequitur ordinatim Applicatae E FI