장음표시 사용
61쪽
uidenda. Reperiatur inter duos terminos datos, me dius terminus C Proportionalis per i lib. 6 in quantitate continua, indiscreta vero idem praestandi modus colligitur ex io. lib. ., passim apud Arithmeticos
traditur. Ducatur scilicet terminus A in terminum B: de ex producto Radix quadrata eruatur C. Dico datam
Ratione A B in duas aequales diuisam esse posito inter Arii medio termino C. Est enim A ad C, ut C ad B. Ergo Ratio A ad B est diuisa in duas Rationes aequales.
Vel iuxta alterum problematis sensum , inuentae sunt duae Rationes aequales datam Rationem AB componentes , beneficio termini medis inter duos terminos datae Rationis interiecti. Quod si placeat animi
gratia experiri per Prop. o. quam sit haec peculiaris diuisio conformis illi, quam ibidem tradidi. Sic operare babitis termino, Ci Ratione B vel Aa diuide Rationem A B per alterutram, siue Ac, siue C B. Ratio, quotientis loco, inuenietur A C aut λ; quae indicabit Rationem A B, ita se habere ad Rationem B. Vt se habet Assi ad quotientem A C, ut verum est cum duae Rationes Ac de C B sint aequales. Sed si eadem Ratio AB in tres vel plures aequales Rationes diuidenda foret. Duo medi termini, vel plures Proportionales essent reperiendi. In quo Geometria laborauit hactenus.Foelicior haec in parte Arithmetica extitit, praesertim si suis illis numeris surdis, imo, ca cis uti liceat quidni porro liceat Vocet
enim inter duos datos terminos, medios quotcumque Proportionales statueres ut inter datos Aloe B , duos
62쪽
LI B. I De Rario, ibis. Aduos medios statuet C D, hoc modo et Aii, C Rcub. 32, DR cub.Io8, B Deruque Ratio AB in tres aequales AC, CD, DB distributa:&ita de caeteris.Quare datam Rationem in quotcumque aequales diuisi. Quod erat faciendum.
RROP. XXIV. THEOR. In omni progressione Geometrica Ratio termini cuiuslibet in serie assumpti , ad primum terminum est multiplicata per Rationem secundi termini ad eundem primium, toties quot Rationes numerantur a primo terminovsque ad terminum assumptum. Demoniatio. Propositio ham non alia eget probatione quam e
Et in eius serie terminus Uconseratur ad primum terminum A. Dico Rationem in multiplicari in mentem reuocanda est hic Propositio ' eiusque sensus per Rationem secundi terminii ad eundem primum terminum A toties sumptam quot sunt Rationes a primo terminora usque ad E. Quis ambigat 3 Ratio E ad A componitur ex Rationibus E ad D Dad C, C ad B ac tandem B ad A per Prop. 22. Huius. Sed eae omnes sunt Ratione aequales, tum inter se,
63쪽
ues II. tum primae B ad APquot ergo Rationes numeranturusque ad E, toties Ratio E ad Adicenda est componi, siue multiplicari, per Rationem Bad A. eaod erat
Primo, constat ergo in superiori progressione inexenaplum allata, tertium terminum C ad primum ARationem habere duplicatam Rationis in secundi scilicet termini ad eundem primum componiturcnim Ratio Cin , siue, ut magis proprie, specifico loquar, multiplicatur per duas Rationes CB, B Aquae cum sint aequales, duplicatur Ba ad componen- . dam Rationem in Eodem modo Ratio quarti termini D, ad primum A, est triplicata Rationis B A: cuius etiam quadruplicata erit Ratio quinti termini Eada: ita deinceps. Secundo In eadem progressione Ratio quinti termini si, ad primum A, duplicata est Rationis tertij termini Gad eundem terminum primum A.Nam tres termini E, C, A, sunt continue Proportionales, progressionem constituunt per Rationes aequales PC, CH Ergo Ratio terti terminii, ad primum A duplicata est Rationis secuudi termini Gad eundem primum A. Ut paulo ante declaratum est. Tertio hinc patet quo sensu dicaturina Ratio alteram cQntinere bis ter quater, c Per multiplicatio
64쪽
LIB. I. De Rationiblu. inrnem vel in se usu multiplicationis Vel illam multiplicare. Item quomodo una Ratio alteram toties insensu multiplicationis contineat, siue toties multiplicet quoties haae tertiam continet vel multiplicat.
Nam in allata progressione Ratio C A, Rationem Bacontinet bis insensu multiplicationis siue bis multiplicat, hoc est, uno verbo, duplicat. Ratio EAean dem BA, quater multiplicat, siue quadruplicat, siue
quater continet in sensu multiplicationis. Dicetur vero Ratio E A quinti termini ad primum, toties in sensu multiplicationis continere Rationem in tertiitermini ad primum quoties Ratio haec Cin continet in eodem sensu Rationem B A secundi termini ad primum. Nam ut iam obseruaui, Ratio Ea duplicata est Rationis Cin eamque bis continet sed Ratio C A bis etiam continet Rationem B A, eiusque duplicata est. Ergo Ratio Ein toties in sensu multiplicationis continet Rationem GA , quoties ham continet Rationem B A. Quartὁ,Ex iis quae proxime attigi de cotinentia Rationii in sensu multiplicationis,occasio se se offert idonea inquirendi, an alio in sensu, quam isto multiplicationis, una Ratio alteram continer totiesve continere,quoties haec aliam'continet, dici queat & quomodo huiusmodi continetiae inter se disserant. Vnum enim istud caput, vel praecipuum fortassas est, quὀ tota haec disputatiuncula referri debet, ii suo loco monebo. Cui quaestioni respondeo: ut duplex genus Rationis componendae obseruare licet,unum per additio-
65쪽
18 ARS II. nem , per multiplicationem ; alterum cita est duplex continentiae genus inter se valde diuersum: unum per additionem, alterum per multiplicationem piovi enim compositum diuersum est , ita partes, quae
Vtrumque Omponunt, tiaeque in eo continentur,
diuersas esse necesse est. Repetatur hic progressio superior cuius termini duplam Rationem obseruant.
Terminus eius E quintus ad primum A, Rationem habet Quadruplicatam Rationis BA, ut exposui supra, eamque continet quater in sensu multiplicationis. At in sensu additionis siue absoluto, simplici, Ratio E A Rationem BA octies continet , eiusque est octupla Nam cum earum Rationum idem sit consequens A ita se habent Rationes inter se per Prop. 7. Huius, ut Antecedentes Evi B:quorum ille hunc continet octies Hoc ergo primum esto horum duorum
sensuum discrimen , insigne satis ut patet sed ecce non leuius aliud Secundum discrimen duplicis huius sensus , hoc
est. Ostensum est Rationem EA, toties in sensu multiplicationis continere Rationem Caci quoties Ratio Cincontinet Rationem BA, hoc est bis. At in sensu simpliciti absoluto. Ratio E A continet Rationem A quater. Nam utriusque est idem Consequens A: propterea iuxta Prop. . Huius Ita se habent hae duae Rationes, ut Antecedentes Ein C. At Ratio in
66쪽
LIB. I. De Rationibi . haudquaquam continet quater Rationem Ba Sed bis tantum iunt enim ita illa etiam Rationes, ut Antecedentes inter se per citatam Prop.7. huius. Tertium discrimen est, quod in sensu multiplicationis titilla obseruatur Denominatoris per quem progressio promouetur diuersitas. Sive is fuerit dupta, triplar aut alius Rationis Imo etiam si minoris fuerit inaequalitatis: semper Ratio tertiitermini ad primum dicetur bis continere Rationem secundi termini ad primum. At in sensu absoluto longe aliter se res habet. Mutatur enim Ratio terminorum, quoties progressio specie mutationem patitur. Vt patet in hac duplici diuersae specie progressione. In qna utraque patio termini terti C ad primum A, dici debet bis insensu
Rationem B A bis. Et in posteriore progressione, Caeandem B A ter continet. Denique in sensu absoluto&simplici, ut una Ratio alteram continere dicatur; necesse est ut maior ipsa sit quam ea quae contineri dicitur In sensu verymultiplicationis, id nullo modo necessarium est cum in Ratione minoris inaequalitatis contrarium semper contingat. Sit enim progressio per Rationes minoris inaequalitatis extensa A,B,C,c.
8, B . L. Ratio ad x, duplicata est Rationis Bad A, do hanc illa bis continet in sensu multiplicationis dicet re vera minor sit. Cum enim utriusque sit
67쪽
co P AE II. idem Consequens A Ratio in ad Rationem 'A, ita se habet ut Antecedens C ad Antecedentem di, per Prop. 7. Huius Sed C adi habet Rationem subduplam: Ergo etiam in subdupla Ratione est, Ratio C A comparata ad Rationem B A. Nec C A in sensu absoluto ullo modo dici potest continere Rationem BQ; in sensu tamen multiplicationis eam bis continere
dicenda est. Haec de Continentia Rationum mutua hic annotata,quemadmodum &quae Corollario Propositionis D. tradidi sunt accurate obseruanda, tum quia Rationum per se satis obscurum, tale apud Geometras semper habitum negotium illustrant satis clare, tum quia maxime necessaria futura sunt ad plurimas lib. 1o. Authoris huius Propositiones intelligendas praesertim tantae obscuritatis , quantae grauitatis ad eius meumque institutum ut libro x.Prop. 7.patebit. PROP. XXV. THEOR.
Si ab eodem primo termino A, duae progressiones instituantur A, B, C,D, E ac A,F,G, H, L; duo terti termini C, dc G habent Rationem duplicatam Rationis duorum secundorum B,F:
termini verbi , H quarti loci triplicatam. Quinti demum loci termini E, quadruplic tam eiusdem se sic deinceps.
68쪽
Quod ad Quantitatem'Continuam pertinet hanc propositionem demonstrat Geometra noster lib. 2. Proop. 27. Deducitur quoad numeros ex Propositione io. lib. 8 Euclidis,quaei ipsa Quantitati Continuae leui opera accommodari posset. Vniuersaliter eam propono, eaque ad institutum meum tor. Si ab aliquo termino A duae series terminoru continue Propor tionaliua,B,C,&c. AFG,&c. Quot inter singulos terminos eiusdem loci,, primu terminum A cadunt te mini medij tot inter ipsos assumptos in utraque proingressione terminos medij cadent Proportionales. Verbi gratia, inter teminos B I, MA, nullus medius Proportionalis est terminus: Ergo inter Bri , nullus medius terminus cadet. At vero quia inter terminos C G tertistocli terminum A, unus medius terminus, in utraque serie, scilicet B, F, interlicitur: unus etiam medius Proportionalis cadet inter C G. Eodem modo de caeteris ratiocinare cum Euclide. Hoc
posito, Propositio allata sic concluditur. Ratio Cin,&GA, Rationis B A, I A duplicata est per Prop.α .huius. Sed inter in G unus medius cadit terminus Proportionalis; de quidem in eadem Ratione in qua sunt termini B, F primo reminora proximi. Ut ex
69쪽
cti P AR S ILEuclidis discursu constat. Ergo Ratio ad G duplicata est Rationis B ad F. Parique iure Ratio D ad Heiusdem Rationis B ad F, erit triplicata Ratio E ad L quinti loci, Quadruplicata: cita deinceps Elgo sab eodem termino c. Quod erat probandum. P. XXVI. 'MO B L. Duabus datis Rationibus tertiam Rationem Proportionalem exhibere.
Sint datae duce Rationes xi Lad B 3 4 Ca ad D c: quibus tertia Ratio Proportionalis adiungenda est. Aor E 6 Vel Ducatur Ratio secunda CD in se, ut sat Ratio E c. ad 36. Haec diuidatur per primam Rationem AB, quae diuiso breuissime instituetur iuxta obseruationem ad Prop. I . allatam ii ducatur in E 6 ut fiat G ibi Antecedens Rationis futurae. Cuius Consequens habetur, ducto A WAntecedente in F 36 Consequentum, ut fiat H 32. Dico ergo Rationem 49 adH 4 31, vel terminis ad minimos reductis, ad H, esse tertiam proportionalem ad duas data Rationes
70쪽
LIB. I De Rarionibw. Demonstratio. Solutionis huius facillima clara est Ratio ex eo quod eadem Ratio producatur per multiplicationem mediae Rationis . in se quae producitur per multiplicationem duarum extremarum Assii GH in se inuicem Ratio enim Assi ducta in GH non potest non restituere Rationem TF, quam diuisit. Sed eadem DF Ratio producta est per multiplicationem CD in se ut
habet constructio. liter. Ut haec mea methodus euidentius certiiasque constet: iuuat idem problema paulo aliter soluere adhibita in numeris Ratione quam in lineis usurpauit Geometra Sic ergo eodem seruato schemate operabimur. Duobus terminis Cain D c, tertius proportionalis inueniatur L. -.Deinde fiat ut 4 ad Z - Η, ita Aia ad aliud, quod 8. Dis T - 8. i, is isti s .Erit Ratio D ad F 6 tertia proportionalis duabus datis Rationibus Adi, D. Demonstratio. Ex iis quae de Rationum compositione superius tra