장음표시 사용
301쪽
2οa ELEMENTA SPHAERICORUM. rium igitur duxi, ut praecipua ex Sphaericis ΤHEODostrTheoremata, quamvis alia plerumque ratione, demonstrarem ει una Triangulorum Sphaericorum proprietates explicarem, praesertim cum uti iusque Dinstrinae ad accuratam Astronomiae Sphaericae Tractationem non minor sit, quam ipsius Trigono metriae Sphaericae usus. Sphaericorum Elementa cum Trigon metria Sphaerica conjunxi, ne numerus Disciplinarum praeternecessitatem multiplicaretur. Ob ingentem numerum casuum
Trigonometria Sphaerica vulgo admodum dissicilis habetur; sed omnem dissicultatem a me sublatam esse mihi persuadeo. Neque enim selum ostendo, quomodo per Regulam Sinuum atque Tangentium omnibus Triangulorum Rectangulorum casibus satisfiat more vulgari: verum etiam Regulam vere Cath licam propono memoriae facile mandandam, qua in Trigon metria non minus plana, quam Sphaerica omnia de Triangulis Iectangulis Problemata solvuntur. Triangula obliquangula non majori opera solvuntur , quam in Τrigonometria plana , ita ut Problema omnium dissicillimum, quo ex datis tribus Lateribus Anguli investigantur, non plus negotii facessat in Trigonometria Sphaerica quam in Plana. Etsi vero non opus esse videatur, ut ex Elementis Sphaericorum omnia ei perspecta sint . qui Regulas Trigonometriae Sphaericae sibi familiares reddere earumque veritatem intueri decreverit ; integra tamen, perlegisse juvat, quia in iis nihil continetur, nisi quod vel ad
subsequentia demonstranda, vel ad Partem Astronomiae Sphaericam firmandam conducat. Caeterum omnia in his Elementis facilius intelligentur, si ad manus fuerit Sphaera ex Circulis Ligneis vel Chartaceis se mutuo intersecantibus, compacta ,
302쪽
rib. I. Fig. L. Tab. I. Lig. a.
CAPUT PRIMUM De Symplomatis circulorum in Superficie Sphaera defriptorum.
DEFINITIO I. I. OPHAERIC a est Scientia Circura lorum in Superficie Sphaerae doscriptorum. DEFINITIO II. 2. Trigonometria S harica est Sc emtia ex tribus Trianguli Sphaerici partibus inveniendi reliquas, e. gr. ex dum bus Lateribus atque Angulo uno, duos Angulos reliquos cum Latere tertio. DEFINITIO III. 3. Drangulum Sphaericam est Triam gulum tribus Arcubus Circulorum maximorum Sphaerae in ejus Superficie si
mutuo intersecantium terminatum. S c Η o L I N. 4. Euinam Circa&νum in Superficie Θbra descriptorum snt maximi insta demons
Sphaera secatur. DEFINIT lo V. 6. Sphini est Solidum ex rotatione
Semicirculi ADB circa Diametrum AB
descriptum. COROLLARIUM I. 7. Quia Semicirculus ADB Superficiem
Sphaerae describit, omnes rectae a Superficie Sphaerae ad Centrum eius ductae sunt inter se aequales L .37. Geom.). COROLLARIUM II. g. Quod si ergo eas ultra Centrum continuaveris , donec Puncto opposito Superinficiei Sphaerae occurrant a erunt quoque se continuatae tum inter se , tum Diametro Circuli genitoris AB aequales.
DEpINITIO UL9. Axis I hara est Diameter Semicis. culi genitoris AB, circa quam tanquam quiescentem Sphaera rotari concipitur. Rus vero Diametre est recta a Puncto quodam Superficiei ad Punctum προ- situm per Centrum ducta. COROLLA R i UM III. ro. Axis ighur est una e Diametris I.8. H. DEν INITIO VII. II. Poli Sphina sunt Puncta Axis emtrema A & B. DEFINITIO VIII. II. Polus circuli in Sphaera est Puncitum in Superficie Sphaerae, ad quod e singulis Peripheriae Circuli Punctis ducta rectae sum inter se aequales. Oo 3 THE
303쪽
ΤΗ Eo REM A LI3. Si Sphaera quomodocunque sic ιών, Planam Sectionis erit Circulus, cuius Censrum in Diametro Sphaera.
Quodsi Planum Sectionis per Centrum Sphaerae tran sit, rectae omnes ex ejus Perimetro ad hoc Centrum ductae sunt
aequales g. 73. Est igitur Planum Sectio. nis Circulus fg. 37. Geom. & ejus Cen trum in Diametro Sphaerae, quippe cumi Centro Sphaerae idem S.9 . Quodsi Pl, ' num intersectionis FGE. non transeat per/ Centrum C ; ex hoc ad illud demittatur perpendicularis CD , quae erit ad rectas quotcunque DG, DE, DF &c. perpendicularis g. 484. Quare cum CE, CG, CF &c. sint inter se aequa
CDF Sc. etiam Bases DE, mi DF&c. aequales sunt s. 23s.Geom. . Est igitur Planum FGE Circulus fg. 37.Geom.) &rius Centrum D in Diametro Sphaerae
COROLLARIUM I. I 4. Diameter itaque Circuli per Centrum C transeuntis HI est Diametro Circuli genitoris AB; Diameter vero Circuli per Centrum non transeuntis FE Chordae alicui Circuli genitoris aequalis s s. g. Sphaerid .F. 31. Geom. COROLLARIUM II. a s. Quare cum Diameter sit Chordarum maxima sF. 199. Geom. ri Circulus Sphaerae maximus est, qui pet Ceytrum ejus transit, reliqui vero sunt eodem minores. COROIL ALIUM III. IS. Omnes adeo Circuli maximi in e dem Sphaera sunt inter se aequum is. IT a.
COROLLARIUM IRt . Si Circulus Sphaerae maximus per Tab i. datum Sphaerae Punctum Α transit; idem A . 'etiam per Punctum Diametraliter oppo. tum B transit S. I s COROLLARIUM V. 18. Si igitur duo Circuli maximi AEBF Tab. I.& CEDF se mutuo inter cent, Linea Se Fig. stionis EF est Diameter Sphaerae , adeoque duo Circuli maximi se mutuo 'intersecant in Punctis E & F Diametraliter opposivis.
THEO REMA II. I9. Circulus Sphara maximus dis dii eam in duas partes aquatissa in duo Hemispharia.
Circulus maximus EG DE transit per Tab. I. Centrum Sphaerae C. Erigatur ex C per. Eg. r. pendicularis ad Planum g. O . Geom. quae etiam perpendicularis erit ad CD
Geom. , Sphaera vero gignatur in rot
tione Semicirculi ADB g. 6)i Hemi Lphaerium ADGED gignetur ex rotatione Quadrantis ACD: Radius vero CD Circulum describit D GED S. I 3I.
Geom. . Circulus adeo maximus Spha aram dividit in duo Hemisphaeria. u e d. THEO REMA III. 2o. Circu li maximi in Sphaera se mmiuo bifariam strant se contra.
Quoniam Circuli AEBF & CEM Tib. i.
sunt maximi, per spoth. erit EF Dia-- Fig. 4.ter Sphaerae & eadem Diameter utrius
304쪽
tib. I. bifariam secatur S. I 3 s .Geom. ι conse, fg, 4. quenter Circuli maximi AEBF &CEDF se mutuo bifariam secant. Quod erat
Quod si Circuli CEDF & AEBF se
muto bifariam secent, communis inte sectio EF est Diameter utriusque Circu
- FB g. I 2 . Quare cum etiam Arcus cognomines sint aquales g. 2 89.Geom. ,
Peripheria Circuli integri ; erit ADB Semicirculus , consequenter AB Di ameter Sphaerae S. I 33. Geom. & g. 9.Sphar. P. Recta igitur AB ex Polo uno A in alterum B ducta per Centrum Sphaerae C transit S. 39. Geom. . e. d.
COROLLARIUM.22. Circulus itaque mBF transiens prem os Α & B alterius in Sphaera circuli DEF est maximus. S. II i. . THEOREM A V.
24. Rem AB re Polo uno A Circuli Tin LDEF dueta per Centrum Sphaera C in re. s.
Co R. O L L A RIU M. . 1 . Recta ΑΒ ex Polo uno A Circuli
D F per Centrum Circuli G ductata ait rum B incidit F. t y . THEOREM A VI. 2 s. Arcas Circuli Spsara maximi imter alium HIL , ct ejus Polos A o Binierceptus Quadrans es: qui vero intra Circulum monorem DEF ct ejus Polum unam A intercipitur, Quadrante major;
interceptus vero inter eundem se Polumatierum B , QuadranIe minor. i DEMONSTRATIO.
Ducatur ex Polo A in alterum Brecta AB , transibit ea per Centrum
Sphaerae C 6 2 i , adeoque & Circuli maximi , HIL F. Is ὶ , itemque per Centium G Circuli minoris DEF g. 24 . Est igitur AHB Semicirculus S. I3 S. Geom. . Quare cum Chordae AH& AL aequales sint S. i 2 & Radii &
305쪽
Tib. l. hinc .m & BL sunt itidem Quadran.
Fig. 1 tes, vi demonseratorum. Arcus adeo inter Circulum inaximum HlL de ejus Polos A & B intercepti Quadrantes
Quoniam ΑΗ & HB sunt Quadram aes, fler demonstrata , AD Quadrante major de BD eodem minor S. 84. Arathm Arcusi ergo Circuli maximi inter minorem DEF & Polum unum Amajor inter eundem de alterum Polum B interceptus minor est Quadrante. od erat lalterum. THEO REM A VII. 26. Si Aνι as Orcuti mammi inter
alium Greatum S ara is ejus Polos Act B intercepti Quadrantes βαιὴ Cirem
ias se maximus erit. DEMONSTRATIO.
est Centrum Spha- S. cis. ; consequem ter HIL est Circulus maximus S. I S .
THEOREM A VIII. Tab. I. 27. Si Circuias maximus Sphara
Sit DFm Circulus maximus: quinniam in D est Polus unus, in E alter Circuli AFBG μν hvoth. erit recta DG
cus cognomines aequales sunt F. 289. Tin I. . Geom. . inare cum Circuli maximi fg. . DFEG de R G se mutuo bifariam Ecent g. 2M; erunt GD de DF, itemque GE & FE Quadrantes; consequenter tecta GE - GD & recta EF - FD F. 289. Geom. . Sunt igitur G & F Politarculi ADBE s. II). Q e. d.
THEO REMA IX. 28. Si circulus maximus ADBE per Tab. LPolo A ct B alterius Circaeo maximi Eu.I. DGE transit; se mutuo ad Angulos reotos secant se contra.
sint mensurae Angulorum ACh de ECB S. 7. Geom. erunt Anguli hi recti S.I43. m. . Ergo rectae AC & BC rectae m. consequenter Quadrantes ACE &ECB Circulo DEG ad Angulos rectos imsistunt S.494.ωons. . Secant igitur Cirineuli ADBE & EGD se mutuo ad Amgulos rectos I. F, Quod erar unum. Si Circulus AEBDA alterum DE in E ad Angulos rectos secat: Planum EAD erit ad Planum EGD perpenduculare g 32. Ex Centro C erigatur
perpendicularis CA; erit eadem ad omnes Radios ex Centro C in Plano EGDductos normalis g. 484. Geom. , con sequenter rectar ex A ad Puncta singula
Petiyheriae EGD ductae aequales sunt S.I79. Geom. . Est itaque A Polus unus Circuli ECD S. I 2 , adeoque producta AC in B Polus alter Punctum
B s. 23); ideoque Circulus AEBD per
Polos alterius EG D transit. Quod erat
306쪽
Cap. I. DE sYMPTOMATIS CIRCULORUM IN SUPERFICIE SPHRR E. 2ς
inoniam DEF est Semicirculus per po h. erit DF Diameter ejus f S. 33. Geom. J. Quare si per Centrum Circuli minoris G & Centrum Sphaerae seu maximi C ducatur recta AB ; erunt Anguli AGD& AGF recti S. 29 l .Geom. .RdCO que Planum D AF Circulo DEF ad Amgulos rectos insistit, hoc est, Circulus maximus ADBF minorem DEF ad Angulos rectos secat S. F. Quod erat unum. Jam cum Anguli ad G sint aquales g. 79. Geom. EI GD GF S. O Geom.)erit ADαAFS DB α BP S. εἰ T9. Geom.). Sunt ergo in A & B Poli Circuli DEF S. I 2 2. Quod erat aherum. THEORεMA XI. Tin y. 3O. L Circulus maxi us AFBD trinfir s. fiat per Polos A er B aferius minoris Db F; secabis eum brariam ct ad angu
Quia recta AB ducta a Polo uno A nalterum B, transit & per Contrum Spha rae seu Circuli maximi C,& pcr Centrum Circuli minoris G g. 2 i. 244; erit DG CF S. O.Geom ); consequenter A Gad DG perpendicularis S 29 I. m. . Cum adeo Planum ADG Circillo minuri DEF ad Angulos rectos insistat 9 78.
Geom.); maximus minorem ad Angulum rectum secat S. I . Quod erat
mulsi Oper. Mathem. Tom. III. Et quia DF est Diameter Circuli Fig. s.
mus bifariam secat S. I 3s. Gem. .
Quia Angulus Sphaericus ACE Idem est cum inclinatione Planorum A CD de CDE S s)ὲ ejus mensura eadem est,
quae inclinationis. Plano ium. Est vero inclinationis quantitas eadem , quae am
AE est mensura Anguli rcctilinei ADE S 3 7. Geom. . Ergo idem est mensura Sphaerici ACE per demonstr. Qie. d.
COROLLARIUM I. 3 i. Quia plani C EF ad Planum CAF inclinario ubique eadem S sos Geom J; A guli in intersectionibus oppositis C & Faequales sunt. COROLLARIUM. II. 33 Mensura Anguli Sphvrici ACE Intervallo Quadrantis AC vel EC ex vertice C tanquam Polo inter crura describitur s. 33 .
307쪽
Tab. I. CEDF per Polos Cireuli ACBD tran- img ε seunt. Ergo vicissim Circulus AC DB tam per Polos HIdes Circuli AEBF,quam per Polos I ct i alterius CEDF transire
TREO REM A XIV. 3s. Si suo Canuli maximi AEBF ct CEDF si mutuo interficent, erit an lusoltiquitalis AEC Hsa3ιia Alorum in
Describatur revertice Anguli E, tamquam Polo, Circulus CADB; erit AC
mensura Anguli E fg. 3ι & Circulus per Polos H de , atque I & a Circulorum AEBF Re CEDF transibit g. 34 . Est vero CH Quadrans de AI itidem Quadrans g. 2 s , Ergo CA HI S. 9 I.
Sit AIBH Circulus genitor, ad cujus Diametrum AB sint Chordae GF de LΚperpendiculares: erunt DC & EC erurum distantiae a Centro C F.2 2S.Geom. & DF atque ΕΚ Radii Circulorum a Centro aequaliter distantium γ.6.Sphaer. 2S l3i. Geom. . Quare cum sit m ΕΚ sg 208. Geom. ; Circuli quoque his Radiis des ripti ae a les sunt s. III.
Geom. . Q. e. d. Co Rox L ARI U M. 3ν. Quia chordarum parallelarum non nisi duae DF & in a Centro aequaliter dis, tare possunt; Circulorum eidem maximo parallelorum nones si duo aequales stat.
ρον s. ciso, erunt eaedem distantiae Cir culorum GNF de LoΚ a Circulo maxiamo IMH, consequenter a Centro Circuli
TRIOREM A XVII. 39. Cyreati a Centro S sara C aqualia per distantes sunt eidem circulo maximo IMH atque inter se paralleli.
Quia Circuli Gm & LOK a Centro C aequaliter distant, erit erecta DE per Centrum ducta ad Diametrum utriusque Circuli GF Se LK perpendicularis S. 22 3. Geom. J. Ergo Radii DF & in Circulorum GNF & LOK sunt paralleli fi 2s6. Geom. , qui adeo in rotatione Semicirculi AF circa Axem AB Circulos parallelos in Sphaera describunt So . Quod erat unum. Ducatur Diameter HI per Centrum C ad AB perpendicularis, erit ea Di meter Circuli maximi IMH g. i s . E
dem vero, quo ante, modo porro ostenditur, utrumque Circulum GNF & LOK esse eidem Circulo maximo IMPI parab
308쪽
CU. I. DE SYMPTOMATIS CIRCULORUM IN SUPER PICIE SPRERα αρψ
A.' ,' culi maximi AIBH inter duas Circiatos G IMH inincepti fuerim quales Icirculiueunt inter se paralleli.
si IMH suerit Circulus maximus,demittantur ex F Ac G perpendiculares FP& GR. Quoniam Arcus FH & GI aequa. les sunt per Θροι,. erunt etiam perpendiculares re & Ginaequales S 298. Geom. . Consequenter Chorda GF Dia metro IH parallela S. 236 . Geom. , desieribit adeo recta DF in rotatione Semi
Semicirculi. AFHB circa Axem AB Radii DF & m describunt Circulos p rallelos g. 3 ). Q. e. d.
THEO REM A XIX. Tib. I. 4 I. Si duo Circuli in Sphari GNFFit. i. o IMH a Sphaera Centro C inaqaaliterdsentat minor eris GNF, cujus distam ita a centro CD major.
Ponamus Circulorum Diametros Gti m esse inter se parallelas: Quoniam enim Chordae a Centro aequaliter dis Tab. I. tantes aequales sunt CF. 298 Geom. , si Fig. LCirculi GNF Ae lMH non fuerint parableli, in Demonstratione facise assumi po test pro eorum uno alius ipsi aequalis Aealteri parallelus. Ducatur iam CB per Centrum C perpendicularis ad GF g.
216. Geom. , erit eadem perpendicul
Potis habenι, parrigeia sunt, or Areus Circulorum per Polos transaarium mo GI aquales sunt.
Quoniam GF ipsi IH parallela per brpathaerit Arcus FH IS. 3I2.Geom. . Per Centrum C ducatur recta AB M
eum GF bisecans in A s. 203. Geom.', quae secabit Chordas GF de IH bifariam
atque ad Angulos rectos S. 29 . Semre. .
309쪽
τ b. I. que AI & AH S. I 2 , adeoque etiam tu 3. Arcus cognomines g 298. Geom. , consequenter Arcus FH & GI S. 9 I. Arithm aequales. Sunt itaque Circuli
Quia Circuli paralleli GNF & IMHeundem habent Polum A, per demonstr. erunt rectae AF & AG, itemque AH &AI S. ia , adeoque & Arcus cognomines aequales g. 298. Geom. . Sunt igitur etiam Arcus FH & GI aequales S. 9 i. Arith. . Quod erat tertium.. THEO REM A XXI. Tab. 1 43. Si Circulas in Spharis AEBF is Eis. s. rerum CEDF secet, Anguli Sphaerici,
quales duobas rectis ; Rerticales vero
AEC ct CEB aquales inter se. Prius etiam valet de ρ νibus super eodem Arcu CED ad irim Punctum E constituiis.
Communis intersectio EF est subtensa Arcuum EAF & ECF, itemque FBE& EDF. Quodsi jam per G ducantur ad EF perpend.cii ares AB & CD, erit angulus AGC inclinatio Plani AEGF ad planum CEGF & AGD inclinatio ejusdem plani AEGF ad planum DEGF, angulus denique BGD inclinatio plani BEGF ad planum DEGF '.Geom.). Sunt igitur Anguli Sphaerici AEC, AED, DEB ut anguli rectilinei AG C, AGD, DGB S. sὶ. Sed anguli rectilinei AGC & AGD sunt aequales dum
bus rectis, etiam s plures ad idem Punc. tum G super eadem recta CD constituti
& BGD inter se aequales S. I s6. Geom. . Tab. LErgo etiam Anguli Sphaerici AEC & HI, 9. AED aut plures ad idem Punctum Esuper eodem Arcu CD constituti duobus rectis aequales, & Uerticales AEC& DEB inter se aequales sunt. 2 e. d.
COROLLARIUM. 4. Anguli igitur Sphaerici quotcunque AEC, AED, DEB, BEC circa idem Pun tum E constituti sunt quatuor rectis aequales.
ΤΗ EO REM A XXII. 4y. Arcus circuli paralleli IG est Tab. L ilis Arcui Greuti maximi AE , s
uterque inter eosdem Circulos maximos CAF ct CEF intercipiatur. DEMON ar RATIO.
a. e. d. COROLLARIUM I. s. Habent adeo Arcus AE & IG act
suas Peripherias eandem rationem S. II Arithm.ὶ; consequenter eundem numerum graduum tontinent sis. I. Geom. .
COROLLARIUM II. 7. Arcus IG minor est Arcu ARLEMMA I.
310쪽
c p. I. DE SYMPTOMATIS CIRCULORUM IN SUPERFIC. SPHAERAE. 3or
Tab. I. rectam AB cava; continens AEFGB mari P Q jιν est contenta ACDB. DEMONsT RATIO. Ducantui in Curva contenta Cho dae quotcunque AC, CD, DB: prodit, catur BD in E. donec Curvae contincn. lti occurrat; ducanturque Chordae intra
Ergo multo magis Curva continens AEFGB major contenta AC DB S. 9 I. Geom. . I e. d. LEMMA II. 49. Si in duobus Triangulis rectam
COROLLARIUM.s o. Quodsi ergo duo Circuli se mutuo intersecent in Α & B, quia recta ad medium Chordae communis ΑΒ perpendicularis G H per utriusque Centrum transits S. 29r. Geom. e majoris Radius AD major est Radio minoris AC s. m. Geom. ς distantia vero Puncti a recta est recta ad illam perpendicularis i. . s. Geom. ; dis, tantia Centri maioris Circuli DG a Clio da communi ΑΒ major erit distantia Ce tri minoris GC.
LEMMA III. II. Si Grolus minor AFBIA maj rem AFBHA secat, Arcus majoris AEn
Semiciresia minor, inter Chordam comunem AB ct Deum minoris AFB S
micirculo itidem minorem cadit. DEMONSTRA Tlo.
Ponamus AFB esse Arcum Circulῆ majoris: quia Centrum majoris D a Chorda AB longius distat, quam Centrum minoris C g. so ; erit A DF& AC - CE s. m. Geom. , adeoque