장음표시 사용
311쪽
Fig. 1 . Arithm. i Quod cum sit absurdum S. 8 Aaithm. . AFB Arcus Circuli mino. ris, Ata vero majoris esse debet. Q e. d.
COROLLA RI UM. sa. Quia duo Circuli communem Choriadam habentes sibi mutuo ita superimponi possunt, ut se mutuo secent; eadem Cho da AB ex Circulo maiori Arcum minorem Am aufert, ex minore autem majorem Ain, si uterque Arcus fuerit Semicirculo
minor F. M . THEOREM A XXIII. 3 3. Arcus Greuti inaximi est Linea brevi ma, qua in Super te Sphaera ab
Si Sphaera secetur Plano. Planum istud vel per Centrum Sphaerae transit, vel Centrum non attingit. In priori casu Linea ab uno Puncto ad alterum in Superficie Sphaerae ducta est Arcus Circuli maximi, in posteriori Arcus minoris
S. is . Quare si Sphaera Plano secatur, Linea brevissima inter duo Puncta intercepta est Arcus Circuli maximi S. sa . Quod si vero Superficie Curva
secetur, cujus Perimeter versus unam partem Cava, versus alteram Convexa;
tum Linea; quae in Superficie Sphaerae per duo Puncta data transit, necessario versus Arcum Circuli maximi Cava est; consequenter Arcus Circuli maximi mi. nor est Curva quacunque versus eandem partem Cava G. 48 . Quoniam vero per se patet, Curvam flexuosam ab unci Puncto usque ad alterum ductam este majorem Arcu Circuli maximi inter e dem Puncta contento ; Arcus Circuli maximi est Linea omnium brevissima , quae in Sphaerae Superficie a Puncto unci . ad alterum duci potest. v. d.
COROLLARIUM.14. Ergo distantia duorum Punctorum in Superficie Sphaerae est Arcus Circuli ma. m. inter ea interceptus cs. I. Geom. .
Non differt a Demonstratione Thein rematis I9. Geometria S. 179, THEOREM A XXV. 36. I in Gobas Triangulis Sphaeriacis saerit A-a. C-c & AC-ac;
Coincidit cum Demonstratione Theorematis 43. Geometria cS 2 3 I . S c Η o L I O N.
s . Nimiram Theoremata de congrum eia Triangularam Rectilineoram ad quavis alia Curvilinea extenduntur , modo latera supponamar similia, e. gr. Diles Arcas P roesici. avodsi enim ulterim suppoημων aqualia,
312쪽
Tab. I. a Balia, tum utique eongruere debent lx. fera. Isa. Geom.). Universaliter etiam verum est, quod similes Linea, quarum extrema coinc dant, tota coimidant seu aquales sint: alias enim Perpendicula ex Punctis eodem modo de terminatis ad rectam positione datam demissa non forent aqualia, coη sequenter illa per eorum rationem ad rectam quandam constan-
rem discerni possent . adeoque similes non f rent i s. a 4. Arithm. , quod 'porbesu
Quoniam Arcus AB & ab, AC &ae, BC & be aequales sunt, per spoιε.
etiam Chordae cognomines aequales sunto. 289. Geom. . Ergo Triangulum rectilineum a se congruit cum Triangulo ABC , si eidem decenter superimponatur S. 2oq. Geom. , consequenter etiam Sphaerica sibi mutuo congruere debent
THEOREM A XXVII. Tab. I. 39. In Drangulo aquis ro ABC, Fita 3. Anguli ad Basin B er C sunt aquatis; ct si in aliqua Triangulo Auali B ct C ad Bose BC qaatis sum. Triangulam ABC es aquicruruma
SCHOLIo mco. Facile apparet, hane Demonstrati nem valere de omni Diangulo, cujus latera sunt Linea similes.
THEO REM A XXVIII. 6 i. In omni Triangulo Sphaerico quod- Tah. I.
Continuentur latera AB & AC do. nec sibi mutuo occurrant in D. Continuentur quoque latera BA & BC. donec sibi mutuo occurrant in E. Quoniam latera Trianguli sunt Arcus Circulorum
maximorum in Sphaera S. s ); ABD , A CD & BCE sunt Semicirculi S. 2O . Ergo Arcus AB, AC & BC sunt Sem,
circulo minores. Q. e. d. TR Eo REM A XXIX.
62. In omni Triangulo S amico B AC Tab. I. A. ii rea AB ct AC simul simia seni Fu i s.
tertio BC majora. DE MONIT RATIO.
Compleatur latus unum AC in Ciruculum AFC, cujus Diameter AF. Fiat AD AB, ducaturque Arcus DAC so tensa DC, quae Diametrum AF in E s cabit. Quodsi concipiamus Semicirculum
313쪽
consequuntur arcus DAC, hoc est, duo arcus AB de AC simul suinti sunt arcu BG majores S. 3ol . Geom. e. d. THEOREM A XXX. 63. In omni Triangulo Spharico ABC. tria later Guncyim sum a AB . BC ct CA fant Peripheria Circuli maximi mi
DEMONs TR A lo. Continuentur latera AB & AC. do. nec coeant in D, eruit ABD J AC DSemiperipheria Circulorum maximorum
hor est, tria latera simul sumta Peripheria Circuli maximi minora sunt. sis d. THEOREM A XXXI. 6 . In o ni Triangulo phari. o ABC, major, angulo ABC enonitur maius latur Α , minori A latus minus BC,
que est contra Hypothesin: ergo A VB.
THEOREM A XXXII. 63. Si in Triangulo Sphario BACerura AB ct BC fruerini simul sumta
Semicirculo aqualia r Basi AC continuata in D , erit angulus exsernas BCD-ιerno onsio BAC aequalis. DEMONSTRA TIO.
BCD maior σιι interno opiosio A. DEMONsT RATIO. Continuentur latera AB & AC, do. nec tibi mutuo occurrant in D; erit
314쪽
co. II. DE TRIANGULIS SPHAERICI s. ros
c Tab. I. DE MONIT RATIO. Continuentur latera AB & AC, donec sibi mutuo occurrant in D, erit ABD Semicirculus S. 2 i consequenter eum ABΦBC sit semicirculo ma
S. 87. Aris . . u. e. d. THEOREM A XXXV.
68. Si risi AC Trianguli Θbarici
Continuentur latera AB , & AC , donec in D coeant; erit A - D S. 32 , adeoque cum sit in casu primo angulus BCD ipsi A aequalis, in secundo eodem minor, in tertio major per Hpoth. in casu primo BCD - D S. 87. Arisbm. . in secundo BCD D. in tertio BCD D S 64 . Quare eum ABq-BD sit Semicirculus S. 2O , erit in casu primo AB Φ BC Semicim cuius S. 88. Arishm. , in secundo AB ΦBC maior, in tertio minor Semicirculo S.9α Arit . . c. e. d. THEOREM A XXXVI. 69. Si is Triangulo Θharico ABC da. Direa AB ct BC fuerinι Semici culo qualia, anguli ad Basi, A ct Cmosi Oper. Mathem. Tom. III.
sunt aquales duobus rectis ri si ista Semi. Fig. I 4. circulo maiora, hi duobuae rectis majores ιsi illa Semivireati, hi daobas rectis mis
si AB & BC simul a quantur SemLcirculo, erit BCD - A S. 6 3 . Sed BCD Φ BCA - duobus rectis g.43x Ergo anguli ad hasta A & C duobus rectis aequales S. 88. Arithm. Quod
BCA simul duobus rectis aequales S. 43 ). Ergo in casu priori A & C duobus rectis majores, in posteriori minores g. 9o. Arithm. . Quod eras secundum is
THEO REM A XXXVII. o. Si in Triangulo Sphaerico ABC ameoli ad basin Act C duobus rectis aquaisus, litera AB ct BC simul sumta aqualia sunt Semicirculo; si isti duobus recintis majores , haec Semicirculo majora; sisti duobus rectis minores, hac Semicirin
Anguli, qui sunt deinceps, BCA &BCD duobus rectis aequales sunt s.q3 . Quare si A&BCA duobus rectis aequa les , erit A - BCD s. 9 i. Artihm. ;si A & BCA duobus rectis majores, erit
92. Arishm. . Ergo in casu primo latera AB & BC simul Semicirculo aequalia sunt, in secundo majora , 3n tertio mi
315쪽
nores , duobus majores DEMONSTRATIO.
Angulus quivis BCA cum eo, qui est de nceps, BCD aequatur duobus rectis F 43): Ergo lotus est minor duobus rectis S. 84. Arιthm.J. Zod
Similiter quia A, B & C cum suis angulis , qui sunt deinceps, aequantur sex rectis g. 43 3; pars sex rectorum sunt s. 9. πιιιhm. adeoque sex rectis minores g. 8 in . . si od eras alte
Porro cum A & C simul sumti vel sint duobus rectis aequales, vel iisdem majores vel minores g. 69 in duobus casibus prioribus statim patet . tres R, C & B simul duobus rectis majores esse. Quod vero etiam in casu tertio duobus rectis majores sint, ita demonstratur. Quia A & BCA duobus rectis min res per 'poth. latera AB & BC simulsermicirculo minora sunt S. 7O ad, o. que BCD A g. 66. Fiat ergo GCD- As erunt AG & GC simul semici mrulo aequalia S. 68 . adeoque BG RGC semicirculo minora S. 0 . Arithm. , consequenter GBC & BCG duobus rec
ABC & BCA duobus rectis majores Tab. I. g. 9O. Arithm. J. Quod erat tertium. R I THEO REM A XXXIX. 72. Si in Triangulo Spharico BAC ab. I. crura AB ct AC μοι quadrantes, am ' H, toti ad Basn B or C recti eranι ; qua angulus inierceptus A fueris rectas, etiam fissis BC quadrans eris ; si Aobtusus, BC quadran/e majori, si A acuIus
Quoniam AB de AC sunt quadram tes, anguli B & C inter se aequales S. 19 , de junctim sumti duobus rectis aequales sunt S. 69 . Est igitur tam B,
quam C rectus. Quod eras unam.
Similiter quia AB quadrans per Θ-poth. BC est mensura anguli A S. 33).. Quare si A rectus, erit BC quadrans;
si obtusus, quadrante major ; si acutus, quadrante minota Quod eras aherum. THEOR EMA XL. t 72. Si in Triangato Sphaer/co BAC amgati ad Basen B Gr C fuerint rectis crinia AB est CA sunt quadrante ..
duobus rectis aquales fler Φρσιε. AB& AC simul Semicirculo aequalia sunt
S. 7o . Est igitur ram AB, quam AC
quadrans. Re. d. THEO REM A XLI. 74. Si in Triavolo Sphaerico qui ro ABC crura AB fuerint q vadrante maiora, anguis ad Basin B cr C sunt obiust si si minora, acuti cir contra.
316쪽
mb. I. DEMONSTRATIO. SI AB & AC quadrante majora ierunt simul Semicirculo majora, adeoque Anguli B & C simul duobus rectis majores S. 69 i consequenter tam B, quam C recto major S. 3 9 , hoc est, obtusus.
Si AB& AC quadrante minora, erunt simul Semicirculo minora, adeoque Anguli B & C simul duobus rectis mininres g69 i consequenter tam B, quam C recto minor f. F9 , hoc est, acutus.
Conversum Theorema simili prorsus modo demonstratur. Si enim Triangu- Ium aequicrurum , anguli B & C sunt aequalesig. 9 , adeoque simul sumti duobus rectis majores, si uterque obtusus, & ex adverso duobus rectis mino. res, si uterque acutus. Ergo in priori casu latera AB & AC simul Semicirculo majori, in posteriori minora S.7o ;consequenter tam AB , quam AC in priori quadrante majus, in posteriori quadrante minus. st e. d. ΤΗ EO REM A XLII. 7s . Si in Triangulo Spharico rectan- 'ig is aetulo recro B adjacens latur BC- faeris quadrans, erit Angulus A rectus; si BE quadrante majus, Angulus A Obiosus ; si denique BD quadrante minus, Angulus A acutus.
Quia CB ipsi BA ad Angulos rectos insistit, Circulus, cujus Arcus CB , per Polum ejus transit ad quem BA pertu
net F 2 3 1. Est vero BC quadrans per
b Oib. Ergo in C est Polus ipsius BA Tab. I. S. 2 s ). Cum adeo CA itidem per Poelum ipsius BR transeat F. 27 : erit AAngulus rectus g. 28 . Quod erat unum. Jam si BD quadrante minus, BE vero quadrante majus, in casu priore AD in. ter B & C, in posteriore AE ultra C cadit . adeoque in illo Angulus BAD recito BAC minor, in hoc major est S.
84. Arithm. ; hoc est . in illo acutus. in hoc obtusus. Quod erat alterum.
ΤΗ EO REM A XLIII. 76. Si in Triangulo Sphario ABGad B rectangulo Angulus A fuerit obtinsas erit latos i positum EB quadrami te majus : si vero in triangulo ABD ad B rectanguis Angulus A fueris acutus, exis latus ipsi oppositum BD quadrame
DEMONSTRATIO., Si enim latus BE esset vel quadrans, vel quadrante minus, Angulus A estet in priori casu rectus , in altero acutus S. s . Sed per Θpothesin obtusus est rergo BE nec quadrans est , nec quadrante minus, consequenter quadrante maius. Quod erat unum.
Eodem modo ostenditur, si A suerit Angulus acutus, fore BD quadrante mi
THEO REM A XLIV. 77. Si in Triangulo Spharieo ABC ad B rectangulo uirumque crus AB is s. BC Derit vel quadrante minus , vel quadrante majus; 'pothenusia AC eris
317쪽
Tab Ir. Continuentur crura CB & AB qua. Tu. νοῦ. drante minora in F & D, donee CF &di 13. BD suerint quadrantes, vel si CB & AB
quadrante majora, resecentur quadram
tes CF & BD ducaturque Arcus DF Hypothenuis continuatae in E occurrens. Quia DB secat CB ad Angulos rectos, per Polum ipsius transit S 28). Quare cum BD si quadrans. per confi=rtictionem ; erit in D Polus quadrantis CF S 23 , adeoque etiam Angulus ad F rectus s. 28 r unde eodem modo patet, esse quoque in C Polum ipsius DF ι consequenter CE quadrantem S. 2 s ). Ergo CA quadrante minor, S.
Si enim A & C fuerint acuti, erunt Iatera opposita BC & AB quadrante minora; si A de C obtusi , latera opposita BC & AB quadrante majora t=.76 . Ergo in utroque casu Hypothenusa AC quadrante minor i S.77 . e. d. TREO REM A XLVI. Tab. II. 79. D in Tri Agislo Sphaerico ABC ad Fu δ', B rectangulo latus unum AB fueris quadrante minus. alteram CB quadrante
majus ἱ H potianus AC eris quadrante
Continuetur m in E, donee BE sit auadrans & ex latere BC resecetur quatana CR ducaturque Arcus EF secans
Hypothenusam necessario in D. Quo' Tab.II. niam EB secat CB ad Angulos rectos per Hii 'Φpoth. per Polum ipsius transit S. 2 8). Quare cum BE sit quadrans, erit in EPolus ipsius CF g. 2 s) , adeoque etiam Angulus ad F rectus S. 28 r unde e dem modo patet, esse quoque in C P Ium ipsius EF, consequenter CD quadrantem S 2 s ). Ergo CA quadrante major g. 84. Ariι/m. . Q. e. d. THEOREM A XLVII. 8O. Si in Triangati Spharico ABC ad
quadran e major. DEMONSTRATIO.
Quia A recto major, C minor, per Θροι,. erit latus BC majus, AB vero minus quadrante s S 76. . Ergo Hyp thenusa AC quadrante major s. 79 2.
TMEO REM A XLVIII. si .Si in Triangulo Sρharico ABC ad Tab.II.
B ransum rectangulo 'potiantis AC HI. 7. st quadrante mιnor, erant crura AB ct 8.σι9BC vel quadrante majora, vel minora,
jor, cras alterum BC quadrante majus
teram AB quadranre minas se Angulus eidem oppo rus C acutus. DEMONSTRATIO. Si enim in priore casu crus unum si rei quadrante majus, alterum minus,& Angulorum alter obtusus, alter acu tus ; tum Hypothenusa necessario soret
quadrante major S. 79 & 8o . Sed ter θροι sin, quadrante minor existit;
318쪽
. IL DE TRIANGULIS SPHAERICILI 3ον
B angulus o acutus s. 73 . Sed Tib. u.
quia x est acutus peνΘpoth. erit o obtu- Fig. 1 o. sus S.43 . Qiare cum angulus o non simul acutus & obtusus esse possit, perpendiculum intra Triangulum cadat necesse est. Quod eraι secundum. Denique in tertio casu , ubi angulus CBA obtusus, alter A acutus. cadat, si
fieri porest, perpendiculum CD intra Triangulum ACB. Quoniam angulus κest obtusus, per hνοι h. erit latus CD quadrante majus s.76 . Sed quia in Triangulo ACD 're 6poth. rectangulo ad D, angulus A acutus per hyoth. erit idem latus CD quadrante minus S. 76): quod cum sit absurdum, perpendiculum
intra Triangulum cadere nequit. Cadie ergo extra illud. Quod er tertium. ergo crus unum quadrante majuS,aIt rum minus esse nequit, nec Angulorum alter obtusus, alter acutus esse potest. Est igitur latus utrumque aut quadrante maius aut eodem minus. & Angulus ute que vel obtusus, vel acutus. Quod eraι
Non absimili modo ostenditur . si Hypothenuia quadrante major . sore
latus alterum quadrante majus, alte. rum minus; Angulum alterum recto maiorem , alterum minorem. Quod erat a
T REO REM A XLIX. 82. S in Triavisis Sphaerico obliqua gulo Ac B Angulus ad Basn uterque A ct B fueris vel obtusus, vel acutus . perpendicMiam CD ex Angulo seriis Cis Iaius 'posivum AB demissam intra Triangulum; si unus B obtasus, alter Aacutus, extra istud cadit. DEMONSTRATIO.
Cadat enim , si fieri potest. In casu primo perpendiculum CF extra Triangulum ACB. Quoniam in Triangulo AG angulus A obtusus peν spois. erit CF quadrante majus S 76 ; consequenter in Triangulo CBF Angulus o obtusus g. 7s . Sed quia x est obtusus.' fpoth.
erit o acutus S. 43 P. Quare cum angulus o non simul acutus & obtusus esse possit, perpendiculum extra Triangulum cadere nequit. Cadit ergo intia ipsum. Quod erat primum.
Cadat porro in secundo casu, si fieri potest, perpendiculum CF extra Triangulum ACB. Quoniam angulus A acintus, fler spoth. erit CF quadrante minus cs.76 , consequentet in Triangulo TR Eo REM A L. 83. Disantia Puncti A in Sphina a I Circulo maximo Hl minore BC es ' cas Circali maximi AD ad ipsium per
Si Arcus perpendicularis AD suefiequadrans; erit in A Polus Circuli maximi BC S. 26 , adeoque omnes Arcus
Circulorum maximorum inter Punctum
A p Circulum BC intercepti sunt qua in drantes S. 2s . Quodsi AD suerit quadrante minor; erit angulus B tecto mi.
Minor adeo Arcus Circuli maximi quam AD inter A & BC in utroque casu imtercipi nequit. Quare cum Arcus Circuli maximi AD sit Linea brevissima, quae in Superficie Sphaerae ab uno Puncin Qq 3 Io ad Diqili od by Corale
319쪽
Tab. I. to ad alterum duci potest S. 33 3 Fig. 6. etit is distantia Puncti A a Circulo BC S. l . Geom. . Quod eras anum. . Quodsi OG fuerit Circulus minor, CB maximus, A utriusque Polus r erit Arcus AD tam ad OG, quam ad BC perpendicularis s. 28. 3O . Cum adeo AD sit distantia puncti A aBC, &DHdistantia puncti H ab eodem BC, per
demonstraιar erit AH distantia Puncti A ab Arcu OG. Quod erat alterum. THEO REM A LI. 84. Si in Triangati Sphisus ACB b. II omnes anguli A, B ct C sint acuti ;Fig. io. laιera singula sunt quadrante minora.
Demittatur ex angulo uno C in latus AB permndicolaris CD, quae intra TrL, . angulum cadit S. 82 . Cum itaque in Triangulo rectangulo CDB angulus B fit acutus & DCB similiter acutus per spo/h ; erit Hypothenusa CB quadrante minor s. 78 . Eodem modo constat, Hypothenusam AC in Triangulo rectangulo ADC esse quadrante minorem. Nec absimili ratiocinio colligitur . pe pendiculo ex B latus AC demisso, latus AB esse quadrante minus. Sunt igitur singula latera quadrante minora.
COROLLARIUM.8s. Ergo si in Triangulo Sphaerico obliquangulo latus unum fit quadrante majus, angulus unus est obtusius, g. 8 ), nempe
qui opponitur eidem lateri f. s x THEO REM A LII.
anguli das A ct B fuerint obtusi, teriisti Tib. R
vero C acutus I laιera AC , CB ob- Fiet. 1 a. tusis ovosisa sunt quadrante majora , quod vero σponitur acuto AB, quadram
DE MONIT RATIO. Demittatur ex angulo acuto C perinpendiculum CD in balin AB, quod i tri Triangulum cadet . S. 82, Ru niam aede 3 sunt anguli Obtusi , ni&racuti peν Θpoth. in Triangulis ACD &CDB ad D rectangulis per constr. erunt Hypothenusae AC & CB quadrante majores s. 8O . Quod erat unum. Demittatur porro ex angulo obtuso A perpendiculum in CB. quod extra Triangulum cadet S. 82 . Conrinucturperpendiculum AG donec lateri CB continuato in H occurrat; erit HGSemicirculus g. 2O). Sed arcus CB quadrante major . per demonstatae Ergo BG quadrante minor. Iam cum anguintus ae obtusus sit, per spoih erit x, acitus S. 43 , adeoque perpendicul una AGl quadrante minus' G. 76 , consequenteri AB quadrante minus S.77 . Quod ervi
gr. Ergo fi duo latera sunt quadrame
minora, duo anguli sunt acuti. HO. . t .
88. Si in Triangulo S aerico ABC n
320쪽
cap. II DE TRIANGULIS P SPHAERICIS.
quadrante minora, continuentur L F. Tab II.
E ct D , Anec flanι quadrantibus CD, Fig. 22. CE, AF aquales; Arcus Circuli mixLmi DF transiens per puncta F ct D es
quadrans. Arcum CE ad angulos rectos Iocat, o per Punctum E transit. DE MON aT RATIO.
Ex A tanqtiam Polo Intervallo quadratilis AD describatur circulus maximus DEF occurrens lateri BC producto in F; erunt anguli ad D & E tecti S. 28 . & quia BC vel quadrans vel quadrante majus.CF quadrante minus S. 2o) de BF quadrRnte majus in casu utroque ἱ consequenter cum CE sit qua drante minus, quia AE quadrans, EF quadrante minus s. 8i . Unde angulus ECF acutus S. 7 s), adeoque ipfi dein ceps positus Ac B obtusus g. 43 2. Eodem prorsus modo ostenditur angulos reliquos A & B esse obtusos. Q .LTREO REM A LIV. 89. Si' in Triangulo Sphaerico obi quangulo ABC duo latera AB ct AC
Producantur latera qMadrante mino. ra ΑΒ & AC, donec sibi mutuo occurrant in D., erunt latera BD.& CD quadrante majora S. 2 adeoque Omnes anguli obtusi. g. 88 ; consequenter an .
Quia FA secat AC ad angulos rectos per H ih. FA per Polum ipsius AC transit I. 28 . Quare cum FA sit quadrans per construa. erit in F Polus ipsius DC S. 2s , consequenter FD quadrans est s. eis. . Quod eraι
Porro quoniam DF transit per Polum F Arcus DC per demo grata; DC vicissim per Polum ipsius DF transit s. 27 . Quare cum DC sit quadrans per construct. erit in C Polus ipsius DF g. 2s ἰ consequenter CE quadrans S. cii. adeoque Arcus DF per Puncis 'tum E transit, EC etiam Arcum EF ad angulos rectos secat g. 28). P.Meras secundum o tertiam.
COROLLAR l U.M. 9 I. Quoniam DE est mensura anguli
cus EF complemento anguli C ad reetum aequalij. similiter quia DA mensura anguli F i & Dέ quadraiis i S. 9o erit angulus F complemento lateris AC aequalis.