장음표시 사용
31쪽
Praeter has autem figuras, esiquae quadrilaterae figura, trapezia πύpelitatur. - XXXIV. ' . Parallesae recta lineae sunt, quae cum in eodem
. ra que parte in infini- Λ- tum producantur, in C, D neutram sibi mutuo. γ incidunt.
XXXV. Parallesogrammum est figura quadrilatera ἰ cuius bilia opposita latera sunt parallela, seu aequidistantia. Vt patet in ronaboide supra pom
X X X V L Cum vero in pacificiogrammo diameter ducta fuerit, duaeque lineae lateribus parallelaesecantes di aetrum in uno, eodemque puncto, ita ut paralleIogramum ab hisce parallelis in quatuor distribuatur parallelogramma ue appellantur duo illa, per qive diamcter non transit, complemen- lay duo vero reliqua, per qhiae diameter incidi circa diametrum consistere dicumpr.
Hoc totum patet in parallelogrammo ABCD, in quo diameter ΛC , & linea GH secans diametrum in
32쪽
in 'o F existeniq; parallela lateribus AB ι &DC. Item linea IE secans diametrum in eodem puncto F, parallelaq; existens lateribus AD, & BC. Quibus ita stantibus perspicuu est
parallelogramu t tum ABCD, diliI- sum esse in quatuoPparallelogramma , quorum duo,nempe GFID, EBI F, per quae diameter non tiansit, vocantur complementa , sue supplementa reliquorum duorum AEFG , FHCI exilientium circa diametrum
Istuletur, ut a quouis puncto in quodvis p tum, rectam lineam ducere concedatur. II. Et rectam lineam i inarum in continuum recta producere. ΙΙΙ. Idem quouis centro, & interuallo cireulum d Eribere .
Item quacumque magmtudine data,sumi posese aliam magivtudinem ves
33쪽
coinmun dones, quae etiam Pronunciata:
eidcin aequalia, & inter se sunt aequalia. Et quod uno aequalium maius est,
aut minus, maius quoque est, aut minus altero aequalium . Et si Vnum aequalium i maius est, aut minus magnitudine quapiam, alterum quoque aequalium eadem magnitudine ma- Ius est, aut minus II.
Et si aequalibus aequalia adiecta sint , tota sent
Et si ab aequalibus aequalia ablata sint, quae reli
Et si inaeqqalibus aequalia adtesta sint, tota sunt inaequalia. Et si inaequalibus inaequalia adi ista sint, maiori maius, & minori minus, tota sunt inaequalia, illud nimirum maius, &hoc
' Et si ab inae qualibus aequalia ablata sint, reliqua . sunt inaequalia. Et si ab inaequalibus inaequa- Iia ablata sint a maiori minus, & a minori ma ius, reliqua sant inaequalia, illud nimirum maius, α hoc minus.
34쪽
VI. . Quae eiusdem duplicia fiunt,inter se suae aequalia; Et quod unius aequalium dupluna est, & ab terius aequalium duplum erit. VII. Et quae eiusdem sunt dimidia,inter se sunt aequalia. Et e contra, quae aequalia sunt, eiusdem sunt dimidia. V ΙΙΙ.
Et quae sibi mutuo congruunt, ea inter se sunt laquesiλ. l
Sensus huius Axiomatis est quod si dentur duae luantitates , quarum una alteri superposita, neutra al- teram excedat ,sed ambae inter se congruanialiae quamltitates aequales erunt . l
. Duae lineae rectae non habent unum , & idem
se cillum commu m. Istud Axioma , si bene intelligatur natura rectae lumae , non est dissicile. Proclus vero ut tollat omnem dubitationem , ipsum demonstrat, ut videre est apua P. Clauium in suis commentariis.
Duae rectae in uno puncto concurrentes, ut producantur ambae, necessario se mutuo ri eo lpuncto intersecabunt. 3
35쪽
XII. Rem omnes anguli recti sare inter se aequales.
Praesens Axioma apertissimum est ex decima definiistione, qtia annulus rectus describitur s propterea quod inclinatio linearum angulum rectum constituentium augeri, ve I minui nequit, sed prorsiis est immutabi-Ii , cum angulus rectus essiciatur a perpendiculari,qqae alteri rectae insistat. iniae perpendicularis est omnino immobilis, nec ad unam , nec ad alteram par tem deflectere potest, secus non erit amplius perpen dicularis .
XIII. Et si uiduas rectas lineas altera recta 1ncidens, internos, & ad rasilem partes angulos duobus re ctis minores faciat, duae illae rectae lineae in instinitum producte sibi mutuo incidesit ad eas par
tes, ubi sunt anguli duobus rectis minores. Exempligratia si in duas rectas lineas AB, CD, in
cidens alia recta EF, faciat duos angulos inter nos ,&ex eadem parte vid. BEF, DpE minores duobus rectis, vult Euclides illas tandem in
unu na punctum concurrere , ver
sus eam partem in qua sunt anguli minores ducibiis rectis. Quia Vero ut notat Clauius huiusemodi Axioma maximam dubi talem secum trahit,ipsius probationem ommittere non debemus, ar soliimmodo ipsam ad Pro . . remitti mus,cum ibi sistum incipiat apparere usus Iuthis Axio niatis et de hoc ne ullus dubitationi locus relinquatur.
36쪽
XIV. Duae rectae lineae marium non comprehemeant alluit ismodi principium nullam potest habere dissimitatem anam si duae lineae rectae versius unam partem coeant in punditim , an ulumque efferment, necessario ex altera parte semper magis, ac magis disiungen tur,ut perspicutim est Quamobre, ut spatiu aliquod rectilineti ex omni parte claudatur , duabus rei his lineis tertia quaedam adiungenda est . Si quis vero cupereta demealliationem huius Axiomatis Clauium consiliat.
X V. Si aequalibus inaequalia adiiciantur, erit totorim
excesistis, adiunctoruin excessui aequalis.
Si inaequalibus aequalia adiungantur, erit toto et rum excessus, excessui eorum , quae a primi pio erant, aequaliS. XVII. Si ab aequalibus inaequalia demantur, erit rem duorum excessus, cxcessui ablatorum aequa
XVIII. si ab inaequalibus aequalia demantur, erit resi- . duorum excessus excessui totorum aequalis. l
onan totum aequale est omnibus sitis partibua simul sumptis.
37쪽
Si tum totius est duplum , & ablatum ablati; erit & reliquum reliqui duplum.
l Vt verbi gratia quia totus numerus xo. duplus est 3 totius numeri Io. Et ablatus ex illo 6. ablati ex hoc Propterea reliquus illius i . duplus etiam est reliqui huius r. Aduertant tamen quod hoc Axioma in uniuersum demonstrabitur Prop. s. lib.
. si fuerint tres quantitates, quarum prima super secundam, & secunda superet tertiam, euam prima tertiam superabit. ii. PROPOS. I. PROBL. I.
Isuper data xcista linea terminata, triangulumi aequilaterum constituere.
Ante demonstrationem huius propositionis est aduertendum in omni problemate duo potissimum esse consideranda , nempe constructio illius, quod propo nitur , & demonstratio , qua ostenditur, coiistructi i vom esse institutam. Quae duo etiam reperiit tur fere in omni Theoremate. Sae penumero enim ut demonstretur id, quod proponitur, construe dum est aliquid, ut ex sequenti bus fiet manifestum, cum . pauca admodum sint theoremata , quae nullam requirant constructi . nem a
38쪽
Sit igitur proposita recta linea terminata AB, per iam eonstiti iere iubemur triangulum aequi laterum. centro A , & interuallo rectae AB, a 3 describaturtitatius CB: Item centro B, & interuallo eiusdem recta BA , alius cireulus describatur CA , secans priorem in puncto C. Ex quo b ducantur dii ae rectae lineae CA , CB, ad piincla A , & B; Eritque si per restam ΑΒ, constitutum triangulum ABC, line est , figura rectilinea contenta tribus rectis lineis. Dico hoc triantulum ita constructum esse aequi late riim. Pro batiir.Quoniam rectae AB, AC, ducuntur ex centro Α, ad circumpherentiam circuli CB, d erit recta AC, rectae AB aequalis: Rursus quia rectae BC, BA ducuntlir ex centro B , ad circumpherentiam circuli CA ,erit recta BC, rectae ΒΑ aequalis. Tam igitur AC, quam K,aeqiulis est rectae AB. c 3 iniate AC, & BC inter se aequales erunt ; atque id circo triangulum ABC, erit aequi laterum. Supra data ergo recta linea termidata &c. Quod erat faciendum.
Ad datum punctum, datae redi ae lineae aequalem
rectam lineam. ponere. Sh punctum datum A, Se data recta linea BC, citialiam rectam aequalem ponere oportet ad pun-stum A. Facto alterutro extremo lineae BC, nempe , centro aὶ describatur circulus CE, interuallo tectae BC. Hoc facto ex puncto A. ad centrum B b tista ducatur AB, nisi punctii n Α, fuerint intra re tum BC, vel in aliqua extremitate lineae BC Tune thim pro linea ducta sumetur portio lineae BC. Super tria vero AB e) constituatur triangulum aequilat ABD, sursum, aut deorsum versus, ut libuerit;cum duo latera modo constituta DA, DB, versiis r
39쪽
t tiam AB N) extendantur; DB. quidem opposituri' ' - . puncto dato A. usque aci circuim ferentiam in E; DA , Vero Oppo sitim centro A, ouantumlibet in
i Deinde centro D, interuallo l lineae DE per centrum B trans iiintis se alter circulus describa r tur FE, secans rectam DF, in P. Dico rectam ΑΕ, positam ad punctum datum A , aequalem esse . ' datae rectae BC. Probatur. Quoniam DE, DF, ductae sunt ex centro D, ad circums
i ci rentiam FE ipsae inter se aequales erunt: Abi l tis igitur DA, DB, aequalibus, in sint latera triam 3.- guli aequilateri ADB, remanebit AF, aequalian 11. f. t rectae BF . Sed eidem BE, h) aequalis est recta B l cum ambae cadant ex centro B, ad circumferentiam, EC. Igitur rectae AF , BC, quandoquidem utraque E i. b. t 'ostensa rectae RE,inter se λ squales erutit.' ε . Ad datum tetitur punctum &e. Quod erat faciendum
PROPOS. 3. ,R6BL. 3. Patis duabus rectis lineis inaequalibus, de maiore lineam minori aequalem detrahere .
SInt duae rectae lineae inaequales C, minor, & ΑΒ maior, porteatq; ex maiore AB detrahere lineam aequalem minori C. Ad alterutrum extremorum lineae maioris AB, nempe ad punctum A , a ponatur alis qua linea,quae sit AD,aequa Iis minori C. Deinde cem tra Α , interuallo AD b circulus describatur secans AB, in E ; Dico ΑΕ detractam esse aequalem ipsi C. Probatur. Quoniam AE,
40쪽
aetim AD per eonstructionem aequalis est Iinea C; d id r.erunt AD, & C, inter se aequales. Duabus igitur datis M. Quod erat faciendum.
PR0ΡΟ s. q. THEOR. 2. i duo triangula duo latera duobus lateribus
xqualia habeant, utrumque Virique; habeant . . vero, & angulum angulo aequalem sub aequalibus rectis lineis contentum : Et basim hastaequesem habebunt et eritque triangulum triangulo aequale ; ac reliqui anguli resiquis a filus aequales erunt, uterque utrique,sub qu, us aequalia Iatera subtenduntur.
Int duo triagula ABC,DEF,' uni utrumq; latusta AB, C,aequale sit alterius utrique laterr DE,DF, hoe est AB ipsi DF , & AC, ipsi DF; angulusqire Α, atentus lateribus M, AC, aequalis angulo D, eon tento lateribus DE, DF. Pico basim BC, Mua
A n lem quoque esse basi EF;A ' A & totum triangulum AB
qui opponuntur lateribus qualibus AC, DF inter se i & angulos C , & F , qui opponuntur aequalibus lateribus ΑΒ . UE , Inter re tuoque esse aequales. Probatur : Quoniam emam re M AB, rectae DE, ponitur aequalis, fit. ut si altera heri superponi intelligatur , collocato piincm Aa an peto D, aὶ ipsae sibi mitruo congruant,punctumquela iiii punct0E, cadat. Neque eitim dicere quis po B terit,