장음표시 사용
41쪽
terit , pariem rectae AB, rectae DE, congruere,& pari tem non, quia tunc duae rectae haberent idem segmem tum commune, b) quod est impcdsibile. Quod ii quis dicat posito puncto A in D, Eidere quidem punctum IJ, in Et sed rectam QR , cadere: ved ad destram , vel ad sinistram , claudent duae rectae Iine, superficiem. c quod.fieri non potest . Quare recta AA , rectae D E,congruet, ut dictum est Cui tergo angulus A,angulo D. ponatur aequalis , d congiliet quoque alter alteri, hoc est recta AC., rectae DF , con ruri, pun- ct imque C , in punctu' F, cadet, ob aequalitatem rectatum AC. DF nasis igitur BC , basi EF , congluet quoque: alias fi recta BC, caderet sipra, vel infra EF, cum punctum B, cadat linpunetrat, & punctum C,cadat inpiincto F, duae rectae cla iiderent I patium e quod est absendum. Quo circa. basis. BC, cum basi EF congruit , ac proinde aequalis eris. Et triangulum ABC.-REF.; Ranaidus B , ango E, & anaulus C , angulo F, ob eandi m caulam exustet aquai misi duo trianguIa &e. Queioderardemonstrandum . . ' , -
PRO P. s. ΤHEOR. 2. Noscelium triangulorum,qtii ad basim sunt angu- .li, inter se sunt aequales: Et productis aequa- . dibus rectis lineis, qui sub basi sunt; anguli,
inter se aequales erunt '. SIt triangulum isosteles ABC , in quri latera AB, AC , inter se sint aequalia. Dico 'angulos ABC, ACB, si ra basim BC , aequales inter se esse Item si latera aequ*lia AB, AC, producantur quantum libuerit usque a 4 pu iacta D; S: E , dico a neu los quoque DBC, ECB, inita sandem basim sC esie aequales. Pr batur. Ex linea enim AE , infinite piodiicta a) ab
42쪽
ciae BF GD. Considerentur deinde duo triano uti M . . ABF. AC D. Quia ergo duo latera ΑΒ , AF , trianguli ABF, aequalia uini duobus lateribus Α IC, AD, trianguli Α C D, utrumque utrique, nempe AB, ipsi AC, ex hypothesi, & AF .ipsi Α o ex construis ctione; angulusque
ribu AB , AF ; aequalis est aneulo Α , contento lateribus AC, ; imitio angulus 'aeique eriangulo : c) erit bifis BF, aequali se D s N e 4. amulus F, angulo D; &ahexilus ABF, ngulo ACD, i mi. cum & priores duo,&posteriores pontiri aequali hus lateribus in dictis trianetulit,ut piter. --n sdreentur duo triangula BDC , CFB. rectae AD, AF, et quales sunt per constructionem,nt vis auferantur ex ipsis aequales AB, AC, cd ς =qVd di, & CF, sint aequales. Quare duo i te ra ltrianguli BDC, aequalia sunt duobiis trianguli CFB, utrunque uti videliin Bra, i lCF, & ipsi FB, ut probatum est: Sunt autem, relanguli D , de F , dictis lat8ribus aequalibus contenti aequales, ut ostensiim etiam fuit ι igitur i angulu DBC, angulo FCB , aequalis ;& an 'UBC , t e.
ingulo CBF. Tam enim priores, quar' posteriore lana suo aequalibus opponuntur lateribus, existuntque supra conmuinem basim B C . Quod fi ex. totra mulis aequalibus ABF, ACD, cquos aequato esse iamlemonstrauimusan prioribus triangulis detrahantur an li
43쪽
anstuli ABC, ACB, supra basim BC , aequales : me l sum est autem in posteΗoribus triangulis, &anmulos . DBC, FCB, qui quidem sent infra eandem basim BC, esse aequales . Igitur & anguli supra basim inter se, &. anguli infra eandem inter se sunt 2quales; ac propi rea I scelium triangulorum , qui ad ,sim sint anouli &c. Qiiod erat demonstrandum . Ρ
iEx hac propos. s. liquia , omnetrianariluis aequila iterum esse quoque aequiangulum: hoc est , i,s angu- Ios trianguli aequilateri esse inter se aequales, nan e- per duo latera quomodocumque sumpta sint sicque anguli ad basini sint aequales .
Si trianguli duo anguli aequales inter se fuerint:& sub aequalibus angulis subtensa latera aequa-
I N triangulo ABC, sint duo anguli ABC, ACB, Ω-
e I per latus BC, aeqtiales. Dico duo latera illis oppo-a AB, AC, esse quoq; aequalia. Probatur . Si enim non credantur aequalia stantesti'. positione, erit alterum maiusalistero: sit igitur AB, maius quam. AC, si fieri potest: Et ex AB . a abscindatiir in D , recta BD, aequalis rectae AC , quae minor dieitur este quam AB, ducatur qtiae recta C D. Considerentur modo duo triangula ACB, DBC, in quibus cum duo latera AC, i CB, trianguli ACB aeqtialia sui: duobus lateribus DB,
44쪽
BC, trianguli DBC, utrumqtie utrique, nempe AC, ipsi DB, abscidimus enim ex AB , ipsi AC, atqualem DB a & CB , ipsi BC, cum sit unum, & idem is sint au-- tem & anguli ACB , DBC, dictis lateribus eontenti aquales per hypothesim: b erunt triangula ACB, DBC , aequalia , totum , & pars, quod fieri nequit. Non igitur erunt latera AB, AC, in atqualia, si anguli B, & C, super latus BC,aequales sunt, ne tinum Parti aequale esse concedamus t sed aequalia existent. Quare si trianguli duo anguli &c. Quod demonitrandum
Sequitur ex hac propositione, omne triangulum aequiangulum , idest , cuius omnes anguli sunt aequales , esse aequi laterum . Quod quidem conuersum est Corollarijs. Propos. ut patet ; & suadetur , quia in triangulo sequiangulo duo anguli quomodocumque sumpti inter se sunt aequales, unde & latera subtensa aequalia erunt .
super cadem redia linea ad unum punctiam duis duabus rectis lineis, duae aliae rectae sineae Utraque utrique iam ductis aequales, non constituentur ad aliud punctum, ad eisdem pala tes, cosdemque terminos cum duabus initio ductis habent .
SVper recta AB, ad quodvis punctum nempe C, du cantur duae rectae ΛC, BC. Dico stiper eandem
45쪽
rectam AB, versus eandem partem C, non posse ad aluid pii nct im, ut ad D,constitui duas alias rectas, Iineas, ullae sint aequales lineis AC, BC, utraque utrique,
eundem habent terminum A,& BC, i , si BD, quae eundem etiam possident termi: num B. Prob. Sint enim, .
si fieri potest, rectae AC, AD, inter se, & rectae
BC, BD, inter se etiam aequales, quo stante a puncta C, ad punctum D ducta recta CD triangulum C AI , ta I eriti si sceles, ac proinde anguli ACD, ADC,supra basim b inter se aequales erunt : Ac pro Inde c) cum angulus ADC. minor sit angulo BDC, pars toto,erit & angulus ACD,minor eodem angulo BDC.QHare multo minor erit Angulus BCD, pars anxiiii ACD, angulo eodem BDC. Rursis, cum in triangulo BDC, latera BC,RD, ponantur aequalia, d erunt anguli BCD, BDC, super basim CD, aequales; Est autem iam ostensum, angulum BCD, multo esse minorem angulo ADC. Idem igitur angulus BCD, &minor est angulo BDC, & eidem aequalis. quod est absit um . Non ergo aequales sint inter se AC, AD, sicuti nec etiam BD,&BC. Qitare siper eadem remcta linea duabus, &c. Quod erat demonstrandum.
Si duo tr iangula duo latera habuer int duobus I teribus, utrumque utrique, aequalia, habuerint vero & basim basi aequalem ; Angulum qu que sub aequalibus rectis lineis contentum au-ulo aequalem habebunt. Sint
46쪽
SInt duo latera AB, AC, trianguli ABC ,d iobtis lateribus DE, DF, relati uti DEF. aequalia virumque utrique, nempe AB, ipsi DE,& AC, ipsi DF, sit , autem & basis BC, basi EF, loci talis . Dico angulum
t 4 mente intelligatur basi, BC, superponi hiasi '
. - congruet cum puncto E,& punctum C,cum pun- eto F, quandoquidem istae bases ponuntur inter se aquales. Deinde si triangulum ABC, cs itetur idere super triangulum D E p, vel punctum A,cadet in puncto D, vel alio. Si punctum Α, in ipsiam punctum D, cadat congruent 'sibi mutuo triangulorum flatera, cum ponantur aequalia. Ac propterea cb) an- l b 8. pr .gulus Α, aequalis erit angulo D, cum neuter a dierum excedat. Quod . si punctiim Α, alia. dicatur cadere, qtioinodocumque postea id contingat, hoc est siue ina' - . latus ED, siue intra triangulum EDF , siue extra o Vt . - ἡ consideranti patebit; erit perpetuo B A, aequalis ipsi i ED, & CA, erit aequalis ipsi FD, propterea qud la- l . tera volustrianguli aequalia ponantur lateribus alte-a rius. Hoc autem succedere nqn potest, cum in ante-Jε cedentititerit demonstratum versus tandem partem ad . diiteris piioeta non posse duei duas lineas iam du-ic 7. pr et is aequales, elitidem cum primis initium habentes. Non igitur minctum Α, cadet alio iam in punctum D: ac Propterea angulus Α, angulo D, aequalis erit. Quare si duo triangula duo latera habuerint duobus luteribus aequalia, &c. Quod erat demonstrandum.
47쪽
Porct ex antecedente huius octauae propositionis non Blum colligi potest, angulos ab aequalibuswlateribus contentos aequales esse; verum etiam reliquos angulos, qui ad bales constituuntur , utrumque utrique, 'tangulum B, angulo E,& angulum C, angulo immo totum triangulum t i triangulo , ut constat ex eadem luperpositione unius trianguli super alterum.
Nam sibi mutuo congruent ,&dices anguli, &tota triangula, ut perspicuum est . Quod etiam ex quarta propositione colligi poterit .
l Datum angula m rectilineum bifariam secare
SIt diuidendus angulus rectilineae ABC, bifariam.
hoc est in duos angulos aequales. Α recta BC. a a maiori abscindatur BD, aequalis ipsi BA, duratur , ιδνLique recta AD. Deinde super AD, ba constiniatur triangulum aequilateriim 'ED, reducatur recta BE , diiiidens angu- Ium rectilineum ABC, in angulos ABE, EBC. Dico hos anguIos inter se esse aequales. Probatur.Cum enim latera AB,BE,trianguli ABE; aequa lia sint lateribus DB, BE, trianguli DBE, utrumque utrique nam Dsa per constructionem ipsi ΑΒ, factumiuit aeqtialea & BE, est communeἔ aetasisAE, sit aequalis basi FDι eiceo quod sint latera erianguli aeqtilla. teri; sequituri quod duo triangula ABE , BDE, M'bstant unditionesq-ae Propositionis , unde erit an gulus
48쪽
testis ABE, angulo DRE, aeqitalis, quapropter amgulus ABC, erit bifaria. diuisus 3 quod erat iaciem dum
PROPOS. io. PROBL. I. Datam restam lineam finitam bifariam
SIt recta finita AB, diiiidenda bifariam , idest in
duas partes aequales. a) Describatur super ΑΗ, triangulum aequilateium ABC, cuius angulus C, perrectam CD, b . diuidatur bifariam, rectaque CD, rectam ΑΒ, secet in D. Dico rectam ΑΒ , bifariam esse diuisam in D. Probatur. Quoniam duo latera ΑC, CD, trianguli ΑCD, aequalia sunt duobus lateribus BCAD, trianguli B C D , utrumque utrique, nempe AC, ipsi BC, cum unt ambo I tera trianguli aequi lateri, & CD, est commune s Est autem & angulus ΑCDe angulo BCD , aequalis per constructionem: ca erit basis AD, basi DB, aequalis.
Data igitur recta AB, fuit,fariam secta in D. Quod
Data recta linea, a puncto in ea dato, rectam lineam ad Magulos rcinos excitare.
SIt data recta linea AB, & in ipsa sit datum punctum C, a quo iubemur erigere super AB, line ad angulos rectos, seu perpendicularem . A puncto siniatur castrecta CD, aequalis ipsi CA. Deinde si per a 3. pry
49쪽
silper AD;cba constituatur triano ii Ium aequilaterum atque ex puncto E, ad T punetum C, ducatur 'inea EC, quam dico es e perpendicularem ad AB. Probatur. Quoniam latera AC, CE , trianguli ACE,
A Mualia sint lateribus DC, CE,
- mangitii DCE, utrunaque viri A quς, Π pe AC, ipsi CD, per constructionem; &CE, commune ; Est vero, & basis AE; basi ED, aequalis , cum sint latera trianguli aeqiii lateti: cc) Erunt anguli ad C, dictis lateribus comprehensi aequales: id) quare dicetur uterque re batque adeo EC, recta ad AB, perpendicularis erit. Data igitur recta linea a plincto in ea dato, &c. Quod iaciendum erat. I
PROPOS. 12. PROBL. 7 ' Surir datam rectam lineam etiam infinitam.
i. a dato puncto , quod in ea, non est, per pendiculaxem rectam ducere. . . 'aID H.SItrecta AB, etiatu interminatae quantitatis, & e etera ipsam punctum C, a quo oporteat lineam Per' i pendicularem ducere ad rectam AB. Centro C, inter uallo vero quolibet cir- culus describatur secans
niam 'interuallum assibptum tantum esse debet, ut transcendat rectam AB; alias eam non secaret
ca diuisa autem recta AE, bifariam in F , duc tur recta CF, quam di eo perpendicularem esse ad
50쪽
ad AB. Probatur. Si enim diicantur CA, CE , erunt Iduo Iatera AF .&FC, tria nouli AFC , aequalia duo. bus lateribus EF. FC, trianguli E FC. utrumque virique, per constructionem ; est autem & basis CA, basi CE aequalis, cum sint ex centro C, ad circumserentiam
aequalis siropterea uterqtie rectus Dutia est igitur CF , perpendicularis ad AB. Quod erat facien-lduint
Cum recta linea super remina consistens lineam angulos facit, aut dam reci os, aut duobus - rectis aequales efficit.
SIt recta lifiea AB, consistens super rectam CD,quae l faciat duos angulos ABC, ABD. Si igitur AB, fuerit perpendicularis ad CD , c a a duo anguli erunt irecti. Si vero AH, non fuerit perpendicularis , faciet lquidem unum angulum obtusum , alterum vero acu ε tum . Dico igitur ipses duobus lesse rectis aequales . Probatur. ccba A puncta B,ducatur BE,per- i pendicitiaris ad CD . & sint duo languli 'E C, EBD, reeti . . Quo-l niam vero angulus rectus EBD, I
c aequalis est duobus angulis c rq ρντ. A, AZE i s a erunt apposito communi angulo-l f x. pro .cto EBC, duo rem EBD, EBC, tribus angulis DBA, ARE, EBC, aequales . Riirsus quia g3 angulus ABC, i gduobus angulis ABE , EBC , aequalis eit ; c d γ inlapposito communi angulo AB L , duo anguli ABC, ABD, tribus angulis OBA , ARE, EBC , aequales. Sed eisdem his tribus ostendimus, aequales etiam esse duos remas EDD. EBC r quae autem eidem aequalia c ι δ in i