장음표시 사용
51쪽
ter se aequalia. Duo igitur angi iii ABC, ABD, aequales sunt duobus tectis EI D , EBC. Cum erreo recta linea super rectam consistens &c. Quod ostendere oportebat.
ΡR POS. I . THEOR. 7. , Si ad aliquam rei tam lineam , atque ad eius punctuna , duae rectae lineae non ad easdemi partes ductae eos, qui rint deinceps, ata I los duobus rectis aequales fecerint dir i ctum erunt inter se ipsae rectae lineae. , . t ς It data recta AB, in qua punctin B, ad quod ex dia
ἰ uersis partibus ductae sint duae rectae Iineae BC.BD, facientes cum ΑΒ , duos angulos ABC, ABD, vel re ctos vel duobus rectis aequales . Dico ipsas AD, BE taliter esse inter se constitu tas ut CBD, sit una linea r cta . Probatur. , Si enim C. BD non est recta,producta DB , in directum , & continuum cadet aut-BD, aut infra . ' Si cadit suprat o verbi gratia in B, cum super. rectam CBE , insistat recta AB . c a a fient duo a nouli J ABC, ABE , duobus rectis aequales Ponuntur autetit
I &-anguli ABC , ABD , duobus rectis aequales in
P λ .p . ,omnes recti sunt inter se aequales et Q itare duo an guli ABC, ΑΒΕ . duobus angulis ABC , ABD ,ertinete .s,bis Abl/to igitur communi angulo ABC, c ea ' I remanebunt anguli ARE, ABD, inter se aequales,pars,& totum, quod est absurdum . Non igitur recta BE, cadit supra rectam BD . Quoquo modo ostendetur lini sim nec cadere infra ipsam BD ; igitur CB , in dir j ctum producta eadem incietur, quae BD i ideoque si ad
52쪽
- 2s ad aliquam rectam lineam,atque ad eius punettim &c. quod demonstrandum erat.
si duae rin e lineae se se mutuo secuerint, an- pilos ad verticem aequat inter se essiciciet. SEcene se duae restae AB, CD, in puncto E, victique . Dico Orsilos , quos faciunt ad verticem Ε, esse inter se crudales, annulum videlicet AEC, angulo DEA, de angulum AED, angulo CEB. Drobatur. Quo niam enim recta AE , consistit: si per rectam CD , c a I erunt i a rduo anguli A EC, AED, duo- i mi. bus reciis aequales . Rursus quia recta DE, consistit superrectam AB, ba erunt duo anguli DEA; DEB,aequales duobus rectis. Cum igitur omnes a uu recti ido sint inter se atquales; erunt dlio anguli AEC, AED duobus angulis DEA, DEB,ae litales. L mpto igitur communi anstulo AED ; c c a remanebi ngulus AEC, angulo DEB, aequalis. Eadem ratione d monstrabitur, angulos AED, CEB, inter se aequales em : Si igitur duae rectae lineae sese mutuo se. cuerint &c. QIod ostendere oportebat.
Euclides eolligit ex dein strati netu rimatis c ex sente. tia Procli, quoniam alia exemplaria . hoc Corollarium .non habent duas lineas rectas sese mutuo secantes, essicere adiunctum sectiones quatuor 3ngulos quatuor Tectis adpulis aequales . Nam inde-lmonstratione ostensum fuit, tam duos angulas AEC, AED, quam duo AED, DER, duobus esse rectis aequa.
53쪽
tes per Propos a 3. Quare in es at o illi ad E,constitutiaeqiii pollent bis duobus reditis angulis. ' . C o R o L L A R I V Μ. I. a I9.pντ.qEadem ratione colligemus. omnes angulos circa unum ,& idem pun thim constitutos quoscumque fui rine , quatuor dumtaxat rectis angulis aequales esse Si enim q. aliaeqliotlibet lineae educantur , diuidentur solummodo illi quatuor anguli ad Ε, constituti in plures partes , c a in quae omnes simili sumptae totis suist adaequantur. Ex quo perspicuum est omne spatiumpuntium aliquod in plano circumstan. . aeqimialere quatuor rectis angul s, ut multi authoresas runt quia omnes anguli , qui circa illud ptinetiim conastitui pos sunt, quatuor sunt rectis angulis aequales. Simili m do constat, quotlibet lineas rectas se inuicem secantes, facere ad punctum sectionis angulos aequales 4.tectis.
l Cuiuscumque trianguli uno latere produs o. t externus angulus utrolibet interno , Ori posito maior est . .
co angulum externum ACD, maiorem esse inter- . - ω,& opposto BAC, itemque maiorem imterno , & opposito A
enim AC , bifariam in E ; & ex B, per E, extendatur recta BE, F, ita ut EF, b )a, scissa sit aequalis re
54쪽
ctat EB . ducatur aue recta FC. Quoniam istitii latera AE, EB, trianguli AEB,aeqitalia sint lateribos CE, EF , trianguli CE F, utrumqtie utrique per constructionem 3 sunt autem, & anguli ad E, dictis lateribus aequalibus comprehensi c Oanter se aequales , cum sitit circa verticem , & oopositi et Erit per Sundam par-ltemqtiariae propositionis angulus E AB, aequalis angu- .lo ECF : est autem angulus A CD , externus maior an gulo ECF , cum ii Ie sit totus, & hic pars: igitur , externus angulus ΑCD , d a marit erit interno', opposito EAB ; Denuo si latus AC, ploducatur ad G, &latus BC dividatur bifariam, &a puncto A, per Punctiim sectionis, eo prorsas modo.quo supra factum fuit , ducatur linea facile ein demonstrare ah uiuisit BCG . maiorem esse amulo interno. & opposta A BC, quo stante cum angulus BCG , ce sit aequalis an lgulo ACD , etiam anquius AC D f maior erit angulo ABC: euiumimqtie eego ni ianguli &c. Quo Lerat demonstrandum.
Cututamque trianguli duo angilli. duobus rectis sunt minores, omnifariam sumpti. - ἰ
SIt triangulum ABC; dico duos angulas ABC, ACB, minores esse duobus i eti is quomodocumque sumamur. Producatur en ini. quodvis latus , nempe BC, in A. -I Quoniam igitui ca) ngii liis ACI. externus maior est
I addatur communis an ulus f ACB, ba erunt duo angulil ACI, ' ACB, malo es duobus B C 1 angulis ABC, ACB, sed diiq
55쪽
duobus rinis. Igitur . duo ABC, ACB, erunt mino. res duobus rectis, Eadem ratione erunt anguli CBA, BAC, minores duobus.rectis, dummodo latiis BA, producatur ita, ut angulus externus efformetur. Cuiuscunque igitur trianguli duo anguli, &e. Quod . demonstrandunI erat. -
Ex dictis eonstit in omni triangulo, cuius unus a l gulus fuerit rectus, vel obtii sus, reliquos esse acutos. ,Cum enim per hanc plopositionem duo quilibet anguin li sint duobus rectis minores, necesse est,ut si unus su rit rectus, vel obtusus quaemcunque reliquorum esse acutum, ne in triangulo duos angulos restos , aut resis maiores esse fateamur .
Sestuitur etiam ex hae Propositione: si Iinea resta' eum alia recta angulos inaequales faciat, unum scilicet acutum, & alterum obtussim. lineam perpendicular eri qliouis eius puncto ad aliam lineam rerum demisissam eadere versus partem acuti anguli. Faciat enim recta AB, cum recta CD, angulos inaeqtiales, nempe ABD, acutum, & ABC, obtusiim; demittaturque expuncto A,quocunqtie aa ad CD,perpendicularis AD. Dico AD, cadere ad partes anguli aeuti ABD. dianis non cadit ad partes annili acuti, si fieri potest cadat ad partes anguli obtusi ABC. & sit verbi gratia A igitur duo anguli ABC, ACB, sunt maiores duobus rectis, cum unus sit reetus, & alter obtusus cly quod est abiurdum : quare perpendicularis cadet ad p ites anguli acuti, quod erat ostendendum . .
Pari ratione fit manifestum omnes augulos trianguli
56쪽
naters, & duos angulos trianguli isbseelis &pra tufim esse acutos. Nam cc clim & quilibet duo in s. si triangulis atqui latero, & duo in isoscete supra basim lint inter se aritiales; cda sintque simul tam illi duo,id irruquam hi duobus rectis minores, erit quilibet illorum tecto minor; hoc est acutus.
PROPOS. 18. THEOR. II. Omnis trianguli maius latus maiorem angulorum subtendit.
IN triangulo ABC, sit latus AC, maius latere M. Dico angulum ABC, maiorem esse angulo ACB. yrob. E maiori latere AC, caa auferatur AD, aequa- lis ipsi AB, ducaturque recta BD. Quoniam igitur duo latera ΑD. ΑΒ, per c 'striictionem sunt inter se aequalia bὶ erunt anguli b s. pN ABD, ADB, inter se aequales r Est autem angulus se te ADB, maior angulo ACB: igitur re anetulus MD, ma itor erit angulo ACB. Quamobrem cum id angulus ltotus ABC, sit etiam maior angulo ABD, erit angulus ABC, multo maior angulo ACB. Eadem ratione si la- tu. AC, ponatur maius latere BC, facile erit ostem dere, angulum ABC, maiorem esse angulo A. Quare i nistrianguli maius latus maiorem angulum subtenuit. Quod demonstrandum erat.
Ex hoc sequitur omnes tres angulos trianguIi sca- leni esse inaequales, cum latera in huiusmodi triangulis fiat inter se inaequalia. C Pro
57쪽
omnis trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur.
IN trian*ido ABC, aneti Ius B, maior sit angulo αDico latus AC, subtendens maiorem angulum B, maius esse latere ΑΒ, quod angulum minorem C, subtendit . Probatur: si enim latus AC, maius non est latere AB, erit vel aequale illi, vel minus: Si dicatur AC, aequaleesse ipsi AB, a erit angulus B , aequalis angulo C. est autem,&maior per lispothesin, quod est ab stirdum. Si vero AC, minus es se dic tur latere AB, erit angulus B, subtensiva minoti latere AC , minor angulo C, sibienis a maiori laterem; ponitur autem maior, quod maius est absurdum. Cum igitur AC, Iatus neque aequale sit lateri ΑΒ, n que minus . sequitur, quod sit maius. Qua etiam ratione probabitur latus ΑC. maius esse latere BC, s angulus B, concedatur maior anquio A. Omnis ergo trian ii maior angulus maiori laeteri laesenditur , quod demonstrandum
Sequitur ex hac Prop. omnium rectarum ex quovisi puncto ad rectam qiiamcunque ductarum, eam , ' perpendicularis est, esse minimam. Nam perpendi ' cularis linea iacit angulum rectum cum alia linea, vi de si ducatur alia linea, quae non sit mrpendicularis,&constituat triangulum , angulus a tali Iinea constitutus erit acutus, ne in triangulo duo anguli sint aequales duobus rectis. Qu' stante maior erit linea, quae
58쪽
ηοη est perpendi laris , cum ipsa subtendat angultim maiorem, nempe rectum , perpendicularis vero subtendat angulum minorem, nempe acutum.
PROPOS. 1 o. THEOR. II. omnis trianguli duo latera reliquo stim maiora, quomodocunque assismpta. SIt triangulum ABC,dico quaelibet eius dii. latera, Inempe AB, AC, simul maiora esse reliquo latere M. Producatur unum ex illis lateribus, nempe AB, usque ad D,taliter ut sit recta AD, a) aequalis alteri lateri non producto AC & ducatur recta DC.Quo niam igitiir duo latera AD, AC, per constriictionem uni inter se aequalia, erunt anguli ADC,ΑCD, inter se aequales: Est autem angulo ACD, maior angulus e BCD, Igitur & angulus BCD, maior erit angulo ADC. In triangulo ergo BCD, Iatus BD, oppositum maiori angulo BCD, d) maius erit latere BC. opposito minori antulo BDC. Cum igitur duo latera AB, AC, simul aqualia sint ipsi BD, si enim aequalibus AD, AC, commune addatur ΑΒ, o erunt tota aequalia, niini. niin linea composita ex BA, & AC, de linea composita ex BA, & ADJ erunt quoque latera AB, AC,simul maiora latere BC. Eodem milao demonstrabitur quaelibet alia duo latera reliquo esse maiora. Quare omnis trianguli duo latera, &c. Quod erat ostendem eum a
59쪽
si super, trianguli uno latere, ab extremitatibus duae rectar lineae interius constitutae fuerint hae constitutae reliquis trianguli duobus lat ribus minores quidem erunt, maiorem Vero angulum continebunt. I N triangulo ABC, super extremitates B, & C, Iate-
I ris BC. intra triangulum constituantur duae rectae tineae BD, & CD, in puncto D, concurrentes. Dico BD, CD, sit nul minores esse duobus lateribus BA,CA. 'simul ; At vero angulum BDC,maiorem anguloHAC. Probatur. Producatur enim a Itera linearum interiorum, nem
pe BD, ad punctum E , laterisCA. Quoniam igitur in tria gulo BAE, duo latera BA, A E, a maiora sunt latere, BE, si addatur commune EC, b erunt BA ,& AC, maiora quam BE, & EC. Ru: sis quia in triangulo CED, duo latera CE, & ED dma- iora sunt reliquo CD, si commune apponatur DB cai erunt CE, EB, maiora quam CD , & DB. Cum veroi ostensiim fuerit etiam BA , & AC , maiora esse quam CE, & EB ι rursis CE , & EB, demonstrata sunt maiora quam CD, & DB, sequitur e quod BA , & AC, maiora sint quam CD, & DB. Qiod in primiserae probandum. Praeterea quoniam angulus BDC, cs maior est angulo DEC, externus interno, & oppolito; 8rangulus DEC, ob eandem causam maior est angulo B AC ; ce) Erit angulus BDC, maior ansulo BAC, quod secundum propositum fuit. Si igitur sit per trianguli uno latere Re. Quod erat ostendendum . PRO.
60쪽
PROPOS. 12. PROBL. 8. Ex tribus rectis lineis, quae sint tribus datis rectis lineis aequales, triangulum constituere. Oponet autem duas reliqua esse maiores omnifariam suinptas : quoniam uniuscuiusque trianguli duo latera omnifariam sumpta reliquo sunt maiora.
Sint datae tres lineae rectae AB, BC, CD, quarum quaelibet duae reliqua sint maiores alias ex ipsis
non posset constitui triangulum, ut constat ex Prop. a.. oporteatque construere triangulum habens tria latera tribus datis lineis aequalia. Si datae rectae lineae fuerint sepamiae assumatur aliqua Iinea indefinite prinducta , aqua abscindantur aa tres lineae aequalestribus iam datis, quo posito ii ixta regulas mox tradendas triangustiae constituatur. Si vero datae lineae ut in nostra I gura componant unam lineam rectam AD, facto centro in B, interuallo lineae B Λ c b a describatur circulus ΑΕ. Item centro C , interuallo lineae CD, de iscribatur circulus alius DE, qui necessario secabit priorem circulum in punicto E , c cum enim duae ΑΒ, CD , maiores ponantur recta BC :& circulus ΑΕ, ex lineam abscindati ineam aequalem ipsi BA , non pote rit circulus DE, ex CB abscindere lineam aequalem linsi CD , nisi cadat,& secet circulum