장음표시 사용
61쪽
'B , & CD s quod est contra suppositum. Ex puncto igitur sectionis E, ad piincta B , & C, ducantur rectae EB, EC , factumque erit trian ulum BEC, cuius latera dico aequalia essedatis lineis AB, BC, 8e CD. Pr batur. Recta BE c a aequalis est rectae BA , & recta CE aequalis est rectae CD r Igitur omnia tria latera sunt tribus datis lineis aequalia , quo stante constiturumiis triangulum ex tribus rectis lineis, tribus datis reinctis lineis aequalibus: Quod erat faciendum .
PROPOS. PROBL. s. Ad datam rectam lineam, datumque in ea pumctum, dato angulo rectilineo aequalem angulum rectilineum constituere.
iAta recta sie ΑΒ, datumque in ea punctum C , Sedatus angulus D EF: oportet igitur ad rectam AR, in puncto C, angulum constittiere aequalem au. gulo E. Limantur in rectis ED, EF , ver inque ducti inincta G, & Η, & conectantur recta GH : Deindea a sors. l constituatur triangulum CIΚ, sa) habens tria latera aequalia tribiis rectis EG, GH, HE, ita ut C I aequa
facile fiet si CI, Q- natur aequalis ipsi
GA . Deinde ex eentris C,&I, i teruallis vero CI,&IM, circuli deo scribantur secantes se in Κ, &e. Dim angulum IC . aequalem esse angulo E. Probatur. Quoniam enim dii
62쪽
duo latera CI, & CΚ. aequalia sint duobus IateributEG,N FH, 'trumque utrique,& basis Ix, basi GH,
per constructionem ; b erit angulus C, angulo E, aequalis . Ad punctum igitur C, efficimus angulum aequalem angulo E. Quod facere oportebat.
PROPOS. 2 . THEOR. II. Si duo triangula duo latera duobus lateribus
aequalia habuerint, utrumque utrique, angu lum vero angulo maiorem sub aequalibus rectis lineis contentum: & basim basi maiorem habebunt. DVo latera AB, AC, trianguli ABC, aequalia sint
duobus lateribus, DE, DF, trianguli DEF, utrunque utrique, nempe AB, ipsi DE , & AC, ipsi DF; Angulus vero BAC, maior sit angulo D . Dico basin BC, maiorem esse base EF. Ad lineam enim BA, at- lque ad eius punctum A, a) constituatur iangulus B AG, aequalis angulo D, cadetque recta AG , intra triangulum B A C, cum angulus B AC, ponatur maior angulo D, QPonaturque AG, aequalis ipsi DF, hoc est ipsi AC;ducta denique recta BG, cadet vel sit pra rectam BC, vel in ipsa BC, aut infra . Cadat in primis supra restam BC, ut est BG. Intra triangulum ACB, ab ijsdem extremitatibus AB, ad punctum G,ductae fuerunt duae rectae lineae AG. BG. minores c ipsis AC, CB: ruditiisqilia AG, per constructionem facta iiiii aequalis
63쪽
BGi Rursiis per constructionem BA, AG, aequalii sunt Iateribiis ED, DF, & angulus B AG, aequalis angulo EDF e) quare etiam basis BG, aequalis erit basi EFf si igitur BC demonstrata fuit maior quam BG, maior etiam erit ipsa EF.Quod erat demonstrandum. Si vero BG, cadat infra BC; fiat pariter 'G , aequalis ipsi DF, vel AC, ducaturque GC . Quoniam enim duo latera AC, AG, in triangulo ACG , sunt aequalia : s erunt anguli supra basin inter se aequales, nempe ACG, AGC; Est autem angulus BGC, g) maior angulo ΑGC; quaro etiam maior erit angulo ACG; sed angulus ACG, cha maior est angulo GCBι
quare multo maior erit totus angulus BGC, angula
GCB. In triangulo igitur BGC, cia maius erit latus BC, latere BG. Per quartam autem primi ostenditur BG, aequalis ipsi EF; unde maior quoque erit BC, quam EF; quod pariter demonstrandum erat. Si igitur duo latera duobus lateribus &c. Quod erat ostendendum.
PROPOS. 21. THEOR. 16. Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habuerint utrunque utrique, basim vero basi maimem 3 & angulum sub aequalisbus rectis lineis contentum angulo maiorem habebunt. DVo latera AB, AC
trianguli ABC. aqualia sint duobus lateribus DE, DF,trianguli DEF. utrunque virique, hoc est ΑΒ,ipsi DE,
& AC , ipsi DF ι bassautem PC, maior sit base
64쪽
Ep. Dico an ultim Α, maiorem esse angulo D. Pr tatur Si enim non est angulus Α, maior a noulo D, erit vel aequalis, vel minor. Si dicatur quod sit aequalis , Cum etiam duo latera circa angulum Α, aqualia snt duobus lateribus circa angulum D, utrunque virique per hypothesin; aa erit & basis BC, aequalis basi EF : quod est absurdum, cum basis BC, ponatur maior base Ep. Si vero angulus Α, dicatur esse minor a neulo D; erit, propter aequalitatem laterum circa istos angulos, basis EF, cba maior base AC, quodlb et Amagis est absurdum, cum EF, ponatur minor quam mi. BC. Quare angulus Α, cum neque possit aequalis esse angulo D, neque minor , erit maior. Si igitur duo triangula duo latera ducibus lateribus aequalia habuerint , &c. Quod erat ostendendum .
ΡRoΡΟ S., THEOR. 17. Si duo triangula duos angulos duobus angulis
aequales habuerint utrunque utrique, unum
que Iatus uni lateri. aequale, siue quod aequolibus adiacet angulis , siue quod Vni aequalium angulorum subtenditur, & reliqua latera reliquis lateribus aequalia, utrumque vir, que , & reliquum angulum reliquo angulo aequὰem habebunt. SInt duo anguli B , &C , trianguli ABC , aequales 3
duobus angulis E , & EFD, trianguli DEF, uter- εque utrique , hoc est B, ipsi E, & C, ipsi EFD; sitque i primo latin BC, Pud angulis P, C, adiacet, lateri
65쪽
t Eri quod angulis E, & EFD, adiacet, aeqitale. Dicol xς liqua quoque latera
Iateribus DE, D F, aequalia esse virumque viriqile , hoc est ACaipsi DF; ea nimirum, A quae aequalibus angi iis bubtenduntur 3 reliquumque angulum A , aequalem esse reliquo angulo D. Probatur. Si enim latus AB, a s. p, i. 1 Gquale lateri DE , sit DE, imius, a Ja quo ab- scindatur recta linea EG, aequalis rectae lineae AB, du-l caturque recta GF . Quoniam igitur Iatera AB , BC, . . t aequalia sunt lateribus GE , EF , utrunque utrique,
angulus C,aequalis angulo EFG. Ponitur autem angiIlus C, aequalis angulo EFD. Quare, & angulus EG. eidem angulo EFD , aequalis erit, pars toti : quod est' at surduin;non est igitur latus ΑΒ, inaequale lateri DE, sed aequale. Quamobrem cum latera AB, BC, aequalia sint lateribus DE, EF , uti umque viriq; & anguli con- tenti B,& E, aequales 3 cὶ erunt, & bases AC, DF, Mi ansuli reliqui Α,& D, aequales. Quod fuit propositum.1 Sint deinde latera As . DE . shbtendentia aequales anetulos C EF D, inter se aecilialia. Dico rurius rem e liqua latera BC, CA, reliquis lateribus EF, FD, esse
quumq; angulum Α, reliquo angulo D, aequalem. Si enim latus BC,nonc . pri.
est aequale lateri EF , se EF , maius, d ex quo sumatur recta EG , aequalis ipsi BC, ducaturque recta DG. Qiomam igitur latera AB, BC, aequalia sint lateria bus
66쪽
hut DF, EG , utrumue utrique, M anguli eonte iti B, & E , itales per hypothesin ; e erit angulus : φ p . C, aequalis angulo EG D: Ponitur autem angulus C, langulo EFD, aequales ; igitur& angulus EGD, eidem angulo E FD, aequa is erit, externus interno .& opposito , quod est absitauiti s a est enim maior . Non est ergo latus m . lateri EF , inaequale. Quo circa , ut prius, colligetur institutum ex Propos. huius Libri. Si duo igitur triangula duos angulos duobus angulis&c. Quod erat demonstrandum . sis. rL
. Sequitur ex demonstratione huius Theorematis tota etiam triangula , quoad areas esse aequalia . Nam si latera AB , BC , lateribus D E , EF , aequalia sunt, ut ostensium fuit, contineantque ex hypothesi, angulos B, & E, aequales: a erunt quoque tota triangula inter se aequalia .
si in duas rectis lineas recta incidens linea ab ternatim angulos aequales inter se secerit ο parallelae erunt inter se illae re, lineae. IN duas rectas AB . CD, ineidem recta EF , Deue lan vultu alternatim ΑEF, EFB , anter te aequale'. lotis luneas AB, CD , esse parallelas . Probatiir. Si l . enim t
67쪽
enim non sunt parallelae coibunt, si producantur infinite . Si autem
nunquam coirent parallelae essent, ut nabetur ex definiatione parallelarum.
parte; B & D , in puncto G Quoniam igitur trianoultim est EGF, cum ΑΒ, & CD, continuatae sint rectae usque ad punctum G ; &angulus AEF , positus est aequalis ngulo EFD ; erit externus angulus A EF, aequalis interno , & opposito EFD; quod est absurdunt. Hoc etiam inconueniens demonis strabitur , s dicatur lineas AB, CD, coire ad partes Α,& C ; non igitur coibunt lineae AB, CD. Qtiare parallelae erunt. Eodem prorsiis modo , si ponantur anguli alterni BEF, EFC,aequa les, demonstrauitur lineas AB.C D , esse parallelas. Si igitur in duas rectas M. Quod ostendendum erat .
PROPOS. 18. THEOR. I Si in duas re stas lineas reista incidens linea exae num angulum interno, & opposito & ad, easdem partes, aequalem fecerit : Aut inter
nos & ad easdem partes duobus rectis aequa- les a Parallelae erunt inter se i ita rectat lineae. N duas rectas AB, GD , recta incidens EG, saciat
1 primo externum angulum EFB , aequalein angulo interno, & opposito, & ad easdem partes FGD. Diaco rectas LGD esse parallelas. Probatur. Quo uiam
68쪽
tum enim angulo EFB , aequalis ponitur angulus lF G D : & eidem angulo lEFB, cata aequalis est anguliis AFG; erunt cb I anguIi alterni A FG,FGD, aequales. Quare lineae AB, GD, c) parallelae erunt. Deinde si faciat recta EG, angulos internos, &ad eas eae partes , nempe BFG, FGD, duol iis rectis aequa les. Dico rursus, rectas AH, GD, esse parallelas. Probatur. Quoniam enim ansuli BFG, DGF, duobusrectis aequales ponuntur; uini autem & anguli BFG, AFG, cda duobus rectis aequales; erunt duo anguli AFG, BFG,duobus angulis BFG, DGF, aeqila les: ablato igitur communi angulo BFG, remanebunt duo anguli alterni A FG, DGF, inter se aequales.st are ce) parallelae erunt rectae AB, GD ; Si igitur in duas rectas recta incidens, &c. Quod erat osten-eeadum.
vsque adhuc prontinciatum 13. a principiorum numero reicimus . Vcrum quia sequens Propos. a'. cum alijs multis illi ita innititur, ut sine eius auxilio de m0nstrari nequeat, opere pretium erit illud hoc loco demonstrare, ut in expositione dicti axiomatis polliciti
Quia vero demonstratio ra. theorematis: dependet a nonnullis aliis theorematibus a Proclo, & alijs adductis, bonum erit ipsa in medium afferre ; relinquendo tamen bretiitatis gratia demonstrationes, quae Vi-Iideri possunt apud Claui uin, qui exactissime post Propos primi libri hanc nuteriain proponit. 1'
69쪽
THEO REMA I. Si ab uno puncto duae recta linae angulum s cientes infinite producantur, ipsarum dista tia omnem finitam magnitudinem excedet. THEO REM A a. Si duarum parallelarum rectarum linearum a teram secet quaedam rei hi linea, reliquam quoque productam secabit.
Si ad rectam lineam duae perpendiculares rectae lineae erigantur inter se aequales, qllarum ex trema puncta per lineam rectam coniungam tur, essiciet haec recta cum utraque perpendi culari angulum rectum.
Demonstrationes istorum Theorematum ommittumelir breuitatis gratia; cum videri possint apud citatum Clauitim in hoc loco. Pro nunc vero uti demonstrata habeantur .
Si in duas rectas lineas recta incidens linea internos, ad easdemque partes angulos duobus rectis minores faciasi duae illae ructae lineae in inmnitum productς sibi mutuo incident ad eas partes, ubi sunt anguli duobus rectis minores.
70쪽
Hoe est axioma it quod raliter demonstrati tr. Imcidens recta AB, in rectas AC , BD, faciat internos , & ad easdem partes angulos ABD, BAC, duobus rectis minores. Dico rectas AC , BD, ad partes
C, D, prodiictas coire . Probatur. Sit enim pri- .rnum alter angulorum, nempe ABD, rectus ,&alter BAC, acutus. Sum
ri pio in recta AC, qtioli- bet piincto F, coducatur a saeri. ex eo ad rectam ΑΒ, perpendicularis EF, & re-c ctae AF, aequalis accipiatur FG . & GH , aequalis
AH, dupla sit. Et quoniam si rectae Ap, abscindantur continue aequales rectae ex ΑΒ , aliqua tandem pars vltra B, punctum eadet, quod finita recta AB, per con- tinuam ablationem unius , eiiisdemque quantitatis a simatur tandem, iiuandoquidem linea AF , ita multiplicari potest , ut tandem aliquando finitam lineam AB, superet. Id quini Euclides frequenter assumit in libro s. & alijs sequentibus; ubi datis duabus magni. tudinibus inaequalibiis proportionem inter se habenti bus iubet plerumque minorem ita multiplicari, donee maiorem superet. Fit ut multo maeis , si ipsi AE, aequalis abscindatur FG, & toti deinde AG , non au tem soli AF, aequalis auferatur GH . Item toti ΑΗ, non autem soli Ap, vel AG, aequalis dematur HI . &sic deinceps, cadet tandem pars aliqua ultra punctum lB. Sta euatur ergo punct i I, terminans tertiam au plam in dato exemplo ex istere vltra punctum B. Ac
cipiatur quoque in recta AC , recta Ex , ipsi ΑΕ, &KL , ipsi AK, & IC , ipsi At, aequalis, ita ut tot sint
partes in recta AC, quot sunt in recta ΑΙ , ducantur ite rectae CI, producanturque una cum EF, ut ΕΜ,