장음표시 사용
271쪽
PROPOS. 3 o. THEOR. 3 o. Si com sita prima cum secunda , ad secum
clam habuerit maiorem proporrionum, quam quarta, ad quartam: Habetat per conuersionem rationis , prima cum secunda , ad primam minorem pro portionem , quam tertia cum quarta, ad
la malar proportis AC, ad BC, quam DF, ad ERDico per c uersinnmn rationis, minorm esse Proportionem AC, ad Λ B, quam DF, ad DE . Cum enim fit minor proportis AC, ad BC quam DF, ad EF, a era e diuidendo maior pinportio ΑΒ, ad BC, quaM DE , ad EF. erit proporti R BC, ad AB, quam EF , ad DE te, Aepropterim & comp-eudo minor erit propiato iniusl AC, ad Λ qmmo rasin, ad . modest pro
272쪽
Si sint tres magnitudines, & aliae ipsis numero aequales, sitque maior proportio primae pri rum ad secundari , quam primae posteri rum ad secundam : Item seciuidae prioriim ad tertiam maior, quam secundae posteri rum ad tertiam : Erit quoque ex aequalit te maior proportio primae priorum ad te tiam , quam Prima posteriorum ad te
quam D, ad Eet Nec non etiam maior B, ad C, quam Ε, ad F. Dicora aequa litate .maio : rem quoque esse, proportionem Α, ad C,quam D dF. Concipiatur enim em G, ad C,WE,ad F; erit quo propterea
.roportio B, ad C, maior quam G, ad Ci ca Ideoque B, maior erit quam G. cbo Quare maior erit proin eis Α, ad G, minorem , quam Α, ad B, maiorem: Fo nitur autem proportio A, ad B, maior quam D , ad E. Ergo multo maior erit proportio Α , ad G , quam M. ad E. Quo stante denuo intellipatur esse H , ad G , HD, ad E; eritque propterea maior proportio Α, ad Gaquam H, ad G s cc Ideoque A, maior erit , quam ri. cd Quare maior quantitas Α, ad C, habebit maiorem Proporticinem, quam minor quantitas H . ad motr
273쪽
C : e) Sed vi H , ad C , ita est ex aequalitate D I ad F. Qitoniam ut D. ad Ε, ita est H, ad G,&HE ad F, ita G, ad C. I in re maior quoque proportio erit Λ, ad C, qu*m D, in F. Quod est propositum .
Si sint tres magnitudines, & aliae ipsis numero sequeses, sitque maior proportio primae priorum' ad secundam, quam secundae posteriorum ad tertiam: Item secundae priorum ad. teritam maior , quam primae posteriorum ad secundam : Erit quoque ex aequalitate, maior proportio primae priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam .
SIne tres magnitudines Α, Β, C, & aliae numero aequales D, E , F, sitque maior proportio A , ad B, , quam E, ad F. Item maior Mad C, quam iiD , ad E . Dico esse qlicstie ex qualitate maiorem proportionem Α , ad C, quam D, ad F. Intel Iiν-ttir autem est e G , ad C, ve V, ad E; eritis, que proportio B, ad C, maior quam G, ad Cr sa) 1deoque Β, maior erit, quam G. sua Quare maior erit proportio A, ad G,m,norem , quam eiusdem Α, ad B, maiorem: Est autem proportio Α, ad B, maior quam E, ad F. Multo ergo maior est proportio Α, ad G, quam E, ad F. Quo p sto intelligatur riirsus esse H, ad G, ut E, ad Fqeritque Propterea maior proportio ad G, quam H,
274쪽
circa Λ, maior ad C, maiorem habebit proportionem, quam H, minor ad eandem C: ce At in H, ad C, ita est ex aequalitate D, ad F. quoniam vi D, ad Ε, ita est G, ad C; Et ut E, ad F, ita est is, ad G. Maior ergo est etiam proportio A, ad C, quam D, ad F. Quod est propositum .d 8. qui.
Si fuerit maior proportio totius ad totum, quam ablati ad ablatum: Erit & reliqui assi res, . quum maior proportio, quam totius ad
S It maior proγγrtio totius AB, ad totam CD,quam
ablati AE , ad ablatum CF. Dico etiam proportionem reliquae EB, ad reliquum FD, maiorem esse, quam totius AB, ad totum CD. Cum enim maior sit proportio AB, ad CD, quam ΑΕ. ad CF, ca 3 erit quoque permutando maior proportio AB,ad AE,quam CD, ad CF; b ac propterea per conuersionem rationis minor erit proportio AB, ad EB, quam CD, ad FD; ca permutando igitur minor quoque erit pro portio AB, ad CD, quam EB, ad FD , hoc est EB, reliqua ad reliquam FD, maiorem habebit proportionem , quam tota AB, ad totam CD . Quod est prω positΗiri . b3ο. quLe27. quia ΡΕΟ-
275쪽
Si sint quotcunque ina rudines, & aliae ipsis numero aequales, sitque maior proportio primae priorum ad primam posteriorum, quam seeundi ad secundam: & haec maior, quam tartiae ad tertiam et sicque deinceps et Habel bunt omnes priores simul ad omnes Post riores simul, maiorem proportionem, quam I omnes priores, relicta prima, ad omnes pin steriores, retitia pariter prima : Minorem autem , quam prima priorum ad primam ' posteriorum : denique maiorem elician, , quam Vluma priorum ad ultimam poste-
S Imprimo Ioeo tres magnitudines A, B, C, & aliae
tres Ir, autem maior proportio Α , ad D, quam B,ad E : Item maior B, ad Ε, quam C , ad F. Dico portionem ipsarum Α, Β,C, simul ad ipsas D, E , F , simul maiorem proportione B, C . simul. ad ipsas E, F , smul: Μ,
Α, ad Da maiorem denique etiam proporti me C , ad F. Cum enim maior se tuoportio Λ , ad D, quam B, ad E s caa erit petmutando maior A , ad B , quam D, ad E ι ieitur eomponendo , maior erit proportio ipsarum A, B, simul , ad B, quam ipsarum D, E, fimul ad E ; co permutando igitur rursus, maior erit Pr porxis A, B, simul ad. D, E, fimul, quam B, ad E. Itaque
276쪽
que cum tota A, B, ad totam D , E , maiorem habeat Iroportionem, quam ablata B, ad ablatam E a U) ha-ebit quoque reliqua A, ad reliquam D,ma torem proportionem, quam tota AE B, ad totam D, E. Eadem ratione, maior erit proportio B, ad Ε, quam totius BC, ad totam E, F: Multo ergo maior erit proportio A, ad D, quam B,C, totius, ad totam E, F. ce3 Permutando igitur, maior erit proportio A, ad B, C, quam D, lad E,' f & componendo ergo maior est proportio totius Α,BG, ad B,C, quam totius D, E, F,ad E,F. o Et rursus permutando, maior proportio omnium Α,B, C, simul ad omnes D,E,F, simul, quam B, C, ad EF. Quod iuit primo loco propositum Quare cum sit maior proportio totius Α, Ε, C, ad totam D E,F, quam ablatae S.C, ad ablatam E, F; h urit etiam maior proportio reliqtiae A, ad reliquam D, quam totius A, B, C, ad totam D, E, F. Quod est secundum . . Quoniam vero maior est proportio B, ad Ε, quam C, ad F; L i erit pernvitando maior quoques, ad C, quam E, ad F; χὶ Et componendo, maior totius BA, MC, quam totius E, F, ad F: la 3c rurias permi tando, maior BG, ad E,F, quam C, ad F. Est autem maior proportio Α, Β, C, ad D, E, F, ut ostendimus, quam B, C, ad E, F, multo ergo maior erit proportio omnium Α,B,C, ad omnes D,E, F, quam ultimae in ad ultimam F. Quod est tertium. Deinde sint quatuor magnitudines,& aliae ipsis nu
pe si maior proportio tertiae C, ad tertiam F, quam quartae G , id quartam Η. Dico eadem consequi. Ut enim iam in tribus est ostensum, maior est proportio B, ad E, quam B,C,G, ad E,F,Η. Multo Di Fi-
277쪽
multo ergo maior erit A, ad D, quam B, C, G, ad P, is γε L , sma permutando eroo minor erit Α, ad B, C, G, D 3.qMi. t quam D, ad E,F.Η; cn & eomponendo malor A.B,
' . t C, G , quam D , E, F, H , ad E, F Η:φ 7-qη . t so 8e permutando A, B, C, G , ad D, E, F, Η, ma lior quam B, C, G, ad E, F, H. Quod erat proposi
Quapropter cum sit maior proportio totius A, B, C, G, ad totam D, E, F,Η, quam ablatae B, C, G, ad p33.l. . ablatam E, F, Η. p Erit & reliquae Α, ad reliquam D, maior proportio ,qllam totius A, B, C , G , ad totam D, E, F, Η, quia est secundum. Quoniam vero, ut in tribus demonstratum svit,maior est proportio B, C, G, ad E, F, Η, quam G, ad Η: δ& mainr A, B, C, G, ad D, E, F, H, quam B, C,S, ad E , F, Η, ut ostensum suit; multo maior erit proportio A, B, C, G, ad D, E, F, H quam ultimae G , ad vit,mam Η. Qilodest tertium . Demum eodem modo concludi poeest, eadem con, sequi in quinque magnitudinibus per quatuor a & in sex per quinque m. quemadmodum ostenclimus inquatuor ser tres . Quare constat totum hoc Theore. ma M.
278쪽
σSMiles sint figurae remineae, quae & sim
gulos angulos singulis angulis aequales h , hem, atque etiam latera , quίε circum a gulos aequales, proportionalia. ' '
Postquam Euclides in Libro minis explicationem
proportionum in quantitatibus continuis generi-Ce,nullatenus descendendo ad aliqu1 speciem quantitatis, absilait, in hoc libro specifice ostendit quavi-Nam proportionem inter se habeant lineae, anguli, eir- Cumberentiae circulorum, triangula , aliaeque figurae planae . Quod ut facilius exequatur. In primis dicit quod figurae rectilineae sunt illae, quae habent angulos inter se aequales, & ipsuper Iatera circa ipsis aequales angulos proportionalia. Vt V. g. tziangula ABC,
279쪽
DLF , ramum i o si ilia didentur, si fiterint aequia angula. italitangstius A , angu 'o D ; & B. ipsi EC, ipsi F , aequalis sit et Nec non etiam latera cir i aeqv le angulos proportionalia , hoe est ut AB , ad AC, ita D , ad DF ve AB, aclm, αἱ Eiad EFi
Reciprocae figurae sulit eum In utraque figura antecedentes, & consequentes ravonum insemini fuerint. l IT exempli gratia si in parallelogrammis ABCD,
t V EFGH, latera ΑΒ , BC , ita luerint proportio nalia lateribus EF, FG, ut in vim ι. Λ - . B Mep rallelogrammo sit S antee.
o. -a-imi a ciens consequens diuersarum pro
portionum. hoc est ea sit proportio AB, ad EF, quae FG, ad BC. In hoc enim casu AB, antecedens primae rationis est in uno paraIlai grammo , & E F , consequens in alio;&rursus FG , ante ensa, terius rationis reperitur in illo phrallelogrammo, in quo positimis cons lientem alte. rius rationis, & consequens AC, stat in alio parallelo grammo, in quo stabat antecedens prioris proporti nis. Quare in utroque paralleI 'grammo reperitur a tecedens , x consequens rationum , ac 'minde reo, prora erum. Quod idem etiam valet det ne imnam in aliis figuris re incarum figurarum non est usus apud GeometrMη .
280쪽
meundum extremam , & meditari rationem trecta linea secta esse dicitur, cum ut tota ad maius segmentum, ita maius ad minas se habuerit.
SI recta aliqua linea A B. ha diuidatur In C , inae,
qualiter ut quemadmodum tota AB, ad maius se - mentum AC, ita maius segmentum AC, ad minus C ste mentum CB, huiusmo- ἀ----4B di linea dicetur ditiise se mim extremam, & media i rationem . Hanc diuisi nem exponet Euclides Propos.' o. huius libri, eam que proposith , licet alijs verbis, in secundo lib. Pir pos. II. Inntimerae quidem sunt utilitates lineae tali. ter ut constat ex libris Stereometriae, unde iure merito haec diuisio vocari selet Diuina proportio. .
Altitudo cuiuscunque figurae est linea perpendicularis a vertice ad basin deducia. IN tri gulo AzC, vertex sit
Aia quo ad basin BC, perpendicularis ducatur AG, dicetur haec perpendicularis altitudo tria gut i ABC, ita ut tantam dicatur habere altitudin m triangulum