Geometriae speciosae elementa primum de potestatibus, àradice binomia, & residua. Secundum de innumerabilibus numerosis progressionibus. Tertium de quasi proportionibus. Quartum de rationibus logarithmicis. Quintum de proprijs rationum logarithmis. S

111쪽

sura.b. minor. Et quoniam A ad S, quasi est caderoe, qliae C. ad T : ergo A ad B, potest este minor, coh r. quam I ad hue & maior, quam i ad i. Sed I adest quaelibet assumpta, maior, quam cui propior potest esse E ad F; & i ad l, est quaelibet assumpta, minor: ergo A ad P, est quasi eadem, quae E ad F. Quod &α

Theor. 2 o. a Q.

QVasi proportionales, conuertendo, sunt quasi PrOportionales. - Hypoth.

sint quas proportionales A ad S, ut C ad D. Dico conuertendo, quasi proportionales esse B ad A, ut D ad C.

Praepara

Sumatur quaelibet e ad f, maior, quam cui propior potest esse D ad C: εα quaelibet g ad Ma. b. minor: & erit conuertendo, sumptas ad e, minor,quam cui propior potest esse C ad had

gmib. 1, Quoniam A ad B, quasi est eadem, quae Cces . h. ad ra: ergo A ad N, potest aec minor, quam h h. l ad N & maior, quatit f adie, ergo conuerret

112쪽

T E R Τ I v M. III do, B ad A, potest esse maior, quam I ad Hi &de b. t minor, quam e ad si ergo B ad A, quasi eadem l est, quae P ad C. Quod&c.

Quare dic. Theor. 2I. Prop. 2I.

EX quasi ijsdem rationibus, ex aequali, quasi eidem

simi rationes compositae.

a ad B, quasi eadem ratio est, quae C ad D: & E ad F, quasi eadem, quae G ad HDico exaequali, ex A ad B, & E ad F compositam, quasi eamdem esse, quae ex C ad D, & G ad H compo

s . Praepari

Assiimatur i ad L, quaelibet ratio maior, quam cui propior potest esse, ex C ad D, & G ad H compositata item assumatur quaelibet I ad m, minor. Deinde fianti ad n , & l ad o, sicut cui propior potest esse C ad Di item p ad ii ad m, sicut cui propior potest esse Gad H. Denique sumatur inter n, p, media quaelibet quam litas r: S inter o, 3, media quaelibet is

113쪽

ιοVir. I Quoniam i ad L, maior est, quam cui propior potest esse, ex C ad D, Se G ad H compoli tari&est i ad n , cui propior potest esse C ad D,&η- -- l p ad L, cui propior potest: esse G ad Π: ergo i

ad maior est , quam, quae ex ι ad n, & ex p ad k, composita. Ergo n, maior est, quam p. Si p. b. t enim n, esset aequalis ipsi pe ex i ad n, de ex εqu litate,&exp ad L, coposita ratio i ad L ellet ca-dem, quae ex ea, cui propior potest esse C ad D, ex aequalitate, & ex ea, cui propior potcst este GΦ b. t ad composita est; contra assumptum. Quodsi n, essent minor, quam p: zX i ad n, & minori inaequesitate, Se p ad k , composita ratio i ad k, esset minor, quam quae ex ea, cui propior potest esse C ad D, ex aeqaalitate, de ex ea, cui propior potest esse G ad H, compolita est ; contra idem assumptum. eoustr. l Ergo n, maior est, quam p: Sc r, minor,quam 8. s. i n; & major quam p: habetque i ad r, maioremi rationem, quam 3 ad n; idest maiorem, quaIT ,

s. s. l cui propior potest esse C ad D : habet quoque rad k , maiorem, quam p ad k ; idest, maiorem, quam , cui propior potest esse G ad H. constri Similiter, quoniam i ad m, minor est, qua cui propior potest esse ex C ad D, & G ad Hl composita ede est i ad o, eadem, cui propior P

.. h. t testeue C ad D: de 3 ad m, cadem, cui pro-

114쪽

sita. Ergo o, minor est, quam q. demonstrari enim potest ut supra, quod si ' esset aequalis, vesp. b. maior, quam q: esset i ad m ratio non minor, q. h. quam cui propior potest: ese,ex C ad T G adH composita; contra assilmptum. constr. Cum itaque o, sit minor, quam q: erit 1, m t. s. ior, quam O; minor, quam . q: habetque i ad s, minorem rationem,quam l ad ο; idest,minorem, t. s. quam,cui propior potest esse C ad D. habet quoque s ad m, minorem rationem, quam q ad m: idest, minorem, quam, cui propior potest G ad H. Dp. Itaque i ad r, maior est, quam, cui propior h p. potest esse C ad D: M l ad A minor. Sed A adses b. B, quasi eadem est, quae C ad D: ergo A ad Z', potcst cile minor, quam ι ad r, & maior, quam V l ad .r. Similitcr r ad k maloi est,quam,cui proin

γρρtb.ipior potest esse G ad hes; di s ad m, minor: S est --:E ad F, quali eadem, quae G ad H: ergo E ad .F potest esse minor, quam x ad k; S maior, . b. t quam 41 ad m. Ergo ex aequali, potest ex A ad Γ,

115쪽

maior, quam, quae ex l ad δε & s ad m, compo- constramnitur, i ad m. Est autem ι ad k, sumpta quaelibet maior,quam cui propior potest esse composita ex C ad D, & G ad H; Se i ad m, minor. dera. b.iErgo composita ex A ad B,& E ad F, quasi eadem est, quae composita ex C ad D, Se G ad HQuod &c.

Theor. 2 2. Prop. 2 2.

O Vasi proportionales, permutando, sunt quasi proportionales. Hypoth. Sint quasi proportionales A ad B, ut C ad D. Dico permutando, quasi proportionales esse A ad C, ut B ad D. Demonis: lupoth. Sunt enim quasi eqdem rationes A ad B, se sai. h. ad Q quae N ad C, 8e C ad D: ergo ex aequali, A ad C, Se B ad D, rationes compOilip sunt quasi eaedem: Ergo A ad C, Se B ad D, sunt quasi proportionales. Quod &c.

116쪽

Theor. 23. Prop. 23.

R Ationes quasi eaedem, componendo, sunt quasi

eaedem.

Hypoth. A ad B, quasi eadem esto, quae C ad D. Dico componendo A Z ad B, quasi eandem esso, quae C D ad D.

Praepari

Assii matur e ad L, quaelibet ratio maior, quam cui propior potest esse C D ad D: ite I ad K quaelibet maioris inaequalitatis, sed minor

Quoniam e ad I maior est,quam cui propior potest esse C Dad D: diuidendo, e-s ad smaior est, quam cui propior potest esse C ad D. Item quoniam g ad b, minor est, quam cui propior potest esse C D ad D: diuidendo g-h ad h minor ell,quam cui propior potest este C ad D. Sed A ad B, quasi eadem est, quae C ad D: ergo A ad B, potest esse minor, quam e-fad s de maior, quam g - h ad h. Ergo componendo A B ad B potest esse minor, qua n e ad N maior, quam g ad h. Ergo AH B ad B, quasi eadem est, quae C D ad D. Quod&c. Quare &c.

117쪽

Theor. 26. Prop. et q.

R Ationes quasi eaedem, diuidendo, sunt .quasi eae

dem.

Hypoth. Sint rationes quasi eaedem A adf& C ad D. Dico diuidendo, quasi easdein esse rationes A - B ad B, &C- D ad D.

Praepara

libet minor. Demonsis.

Quoniam e ad Γ, maior est,quam, cui propior poteit esse C D ad D , R I ad F, minor: ergo componendo e -εI ad δε maior est,quam cui propior potest esse C ad D; S g- h ad b, minor. Sed A ad B, quasi eadem eli, quae C ad D: ergo A ad B potest minor esse, quam e --f ad ; &maior, quam gων ad h. Ergo diuidendo οἱ Rad potest minor esse, quam e ad In & maior, ef l quam a ad h. Eigo A--B ad 2 , quali ea cimi est, quae C- D ad D. Quod Scc.

R Ationes quasi eodem , per conuersionem rationis, sunt quasi eqdem Hypoth.

118쪽

opoth. Sint rationes quasi eaedem, A ad & C ad D. Dico per conuersione u rationis, quasi easdem esse rationes A ad A - 27, & C ad D.

Demonstr.

SI quotcunque quantitates fuerint quasi proportionales, colligendo , quasi proportionales erunt, omnes antecedentes, ad omies consequentes.

- . . Demon L

SI prima ad secundam quasi proportionalis suerit, sicut tertia ad quartam; de quiata ad se adam, quasi sicut

sexta

119쪽

sexta ad quartam: erit prima cum quinta ad secundam , quasi sicut tertia cum sexta ad quartam. Hypoth.

mpoth. 22. h. Dpoth. 22. b. I9. b. 2 3. h. Σῖ. h. poth. 2I. h. Praepara

QVasi partes, cum quasi aequemultiplicibus, in quasi

eadem sunt ratione, si prout sibi mutuo respondent, ita sumantur.

C; D: quasi tripla . . 3Dico A; C: quasi D. .

120쪽

Theor. 2 9. Prop. 2 9.

SI totam ad totam quasi proportionalis suerit, ut ablata ad ablatam: & reliqua ad reliquam, quasi propo

tionalis erit, ut tota ad totam . .

Quare &c. Theor. 3 P. Prop. 3 O.

QVantitates quasi proportionales, Sper homologiam , sunt quasi proportionales. '

Nam conuertendo, quasi proportionales fiunt, et oia& colligendo , 26, & 27. N aequemultiplicando, &λ qus palliendo, v8. se N permutando, et a. h: dc diuidendo, et Ir: &componendo, a 3. 3: N homologas ab ho-

a mologis